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1、本科毕业论文（设计）题 目 二次型的有定性及其应用院（系） 数学系专 业 数学与应用数学学生姓名 XXXXXX学 号 09014039指导教师 XXXX 职称 XXXX论文字数 7000完成日期: 年 月 日巢湖学院本科毕业论文(设计)诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文(设计)，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担本人签名： 日期：巢湖学院本科毕业论文 (设计)使用授权说明本人完全了解巢湖
2、学院有关收集、保留和使用毕业论文 (设计)的规定，即：本科生在校期间进行毕业论文(设计)工作的知识产权单位属巢湖学院学校根据需要，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许毕业论文 (设计)被查阅和借阅；学校可以将毕业论文(设计)的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编毕业，并且本人电子文档和纸质论文的内容相一致保密的毕业论文(设计)在解密后遵守此规定本人签名： 日期：导师签名： 日期：巢湖学院2013届本科毕业论文（设计）I二次型的有定性及其应用摘要二次型的有定性是二次型中有重要地位的内容。二次型的有定性指的是二次型的正定性、半正
3、定性、负定性、半负定性。该文章没有考虑复二次型情况，只分析了实二次型的正定性，半正定性以及它们在数学以及其他科学上的应用。该文章先介绍二次型的定义，以及正定性，半正定性的定义和性质以及一些相关定理的证明，接着举例说明实二次型的有定性（正定性、半正定性）在高等数学以及物理学等科学上的应用。该文分两部分，先是总结并给出了实正定二次型的性质定理，以此为基础，再论述出半正定二次型的相关性质、定理，并总结出了其在处理数学问题方面的应用。关键字： 实二次型；正定性；正定性应用；半正定性；半正定定性应用二次型的有定性及其应用IIThe qualitative matrix and its applicati
4、onAbstractDefiniteness of quadratic form holds an important position in quadratic form. Thedefiniteness of quadratic form refers to positive definite, positive simi-definite, negativedefiniteness , negative simi-definite in quadratic form. In this paper, It did not takecomplex quadratic form into ac
5、count, but analyzing the positive definiteness ,positivesimi-definite of real quadratic form and their roles in mathematics and other scientificapplications. This paper introduced the definition of the quadratic form ,along with thedefinition and the properties of the positive definiteness, positive
6、 simi-definite and someproof of relevant theorem at first ,then illustrate the real quadratic formarequalitative(positive qualitative, positive simi-definite)in advanced mathematics,physics and others scientific applications. This paper is divided into two parts, firstly , itsummarized and given the
7、 properties of the real positive definite quadratic form theorem,as a basis, and then discusses the related properties ,theorem of positive semi-definitequadraticform ,and summed uptheirapplications in dealing with math problems .Keywords: Real quadratic form, positive definiteness, applicationsof p
8、ositive definiteness, semi-positive definite, semi-definite qualitativeapplications目 录中文摘要.英文摘要.引言.11二次型正定（半正定）的定义.22. 二次型有定性的相关性质以及定理.42.1二次型正定性的判别定理.42.2二次型半正定性的一些判别方法.53.二次型正定性及半正定性的应用.53.1二次型的正定性在数学解题中的应用.63.2用二次型的正定性求三元函数极值问题.63.3二次型半正定型的判定定理，性质，及简单的应用.103.4用二次型半正定性证明不定式.15参考文献.19巢湖学院2013届本科毕业论
9、文（设计）1前言实二次型的正定性在大学课本以及相关教材中都有大量的涉及，但却很少有关于半正定的研究。鉴于两者在研究方法上式一致的，所以本文在论述了二次型正定性的有关定义、性质定理之上研究了半正定二次型的相关定理及应用。该文分两部分，先是总结并给出了实正定二次型的性质定理，以此为基础，再论述出半正定二次型的相关性质、定理，并总结出了其在处理数学问题方面的应用，特别是应用二次型的半正定性解决不等式的证明。我们知道任何二次型都有相对应的矩阵，对于二次型的研究就变成了对于矩阵的研究，因此我们即需考虑半正定矩阵的半正定性以及正定性。所以该文，从二次型正定性出发，在前人研究成果的基础上，给出了正定性的相关
10、性质定理，并由此又引出了半正定的定义，性质，和一系列简单的应用。文章重点在于半正定的研究，我分析了其基本定义，并给出了几个等价定义，由此又得出了一些半正定二次型的性质，应用。在大学高等代数的学习中，二次型占了较大的比重。二次型的有定性是研究二次型的基础，其包含正定性（负定性），半正定性（半负定性）。然而在整个数学学习中，实二次型的半正定性一直很少提及，对于其定义，性质以及应用也出现不多，但是对实二次型的正定性的相关内容作了详细的分析。因为两者思路接近，所以有必要对半正定的性质，判定定理作相应的研究。由于课本中对半正定性基本上并没有提及，所以我查阅了很多相关文献，了解到半正定性的应用很广泛，该文
11、主要是在了解的基础上，对半正定性的定义，判定定理，性质，做出了总结，并归纳出它在数学解题中的应用。本文分为两大块，先是给出了总体上给出了正定及半正定的定义，及相关定理，对前人的研究成果加以总结，得出了正定二次型的一些应用。接下来就是文章的主要论述，即半正定的判定定理，性质，以及在数学上的应用。此论文主要是考虑了当前半正定矩阵应用前景比较广泛，而有关此类的论文并不是很多，所以我在参考了有关学术研究的基础上，对半正定做了些归纳，主要是因为二次型的半正定性与正定性在思想上是一致的，所以我先论述了正定的性质，定理再总结半正定的有关内容。二次型的有定性及其应用21二次型正定（半正定）的定义定义1.1 1
12、 2 3x , , , nn x x x含有个变量 的二次函数21 2 11 1 12 1 2 13 1 3 1 1( , , , ) 2 2 2n n nf x x x a x a xx a xx a xx 222 2 23 2 3 2 22 2 n na x a x x a x x 2nn na x1 1n n ij i ji j a xx ( , , 1,2, , )ij jia a i j n 称为二次型。对该二次型进行可逆线性变换1 11 1 12 2 12 21 1 22 2 21 1 2 2 ,.n nn nn n n nn nx c y c y c yx c y c y c yx c y c y c y 该二次型变成了 2 2 21 2 1 1 2( , , ) ,n n nf x x x dx d x d
