正定矩阵的性质及推广本科论文

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1、LUOYANG NORMAL UNIVERSITY2012 届 本 科 毕 业 论 文正定矩阵的性质及推广院 （ 系 ） 名 称 数 学 科 学 学 院专 业 名 称 数 学 与 应 用 数 学学 生 姓 名 李 俊 霞学 号 080414076指 导 教 师 黄 盛 讲 师完 成 时 间 2012.5洛阳师范学院本科毕业论文1正定矩阵的性质及推广李俊霞数学科学学院 数学与应用数学专业 学号： 080414076指导教师：黄盛摘要：正定矩阵是一类比较重要且应用广泛的矩阵，作为一种特殊的矩阵，当然有许多与其它矩阵不同的性质，本文首先给出了正定矩阵的若干性质. 其次，给出了正定矩阵在证明不等式、求

2、函数的极值、多项式因式分解等方面的具体应用. 最后对正定矩阵作了进一步的推广，得到了广义正定矩阵的一些性质，并给出了相应的证明.关键词：正定矩阵；广义正定矩阵；正对角矩阵；实对称矩阵关于正定矩阵的定义1本科阶段学习的正定矩阵局限于实对称矩阵，它的常规定义为定义 阶实对称矩阵 称为正定的，如果对 ,都1nA0X12n, .,Txn1R有 .这种正定矩阵的全体记作 .0TXASP年， 首先提出了较广义的正定矩阵的定义，即197JohsRC定义 设 ，如果对 ，都有 ,则2n0X12n, .,Txn1R0TXA称 为正定矩阵,这种正定矩阵的全体记作 .AlP年，佟文廷把这种矩阵推广为1984定义 设

3、 ，如果对 ,都有正对角矩阵3nR0X12n, .,Txn1R= ，使得 ，则称 为广义的正定矩阵，记为 ，若 与 无DXTXAAXDP关，则记为 .DP年，夏长富对这种正定矩阵作进一步推广如下198定义 设 ，如果对 ,都存在 ,4AnR0X12n, .,Txn1RSXSP洛阳师范学院本科毕业论文2使得 ,称 为广义正定矩阵，这种广义正定矩阵的集合记为 ，若 与TXAS0 xSPX无关，则把这样的广义正定矩阵的集合记作 .SP正定矩阵的判定定理2定理 设 是 阶实对称矩阵，则下列命题等价1,52.An；SP对 ，都有 ；0X12n, .,xTn1R0TXA的正惯性指数为 ，负惯性指数为0；3

4、A的各阶顺序主子式都大于0；存在 阶可逆矩阵 ，使 ；nPTAEn为 阶 单 位 阵存在 阶可逆矩阵 ，使 = ；Q的各阶主子式都大于0；A存在正定矩阵 ，使 ；82A所有与 合同的矩阵是正定矩阵；9的特征值都大于0；A半正定且 ； 0设 ，则 和 是正定矩阵.123T1A132T存在对角元素全大于零的上 三角矩阵 ，使 .13 下 TA证明 等价于 因为 是实对称矩阵，所以 可对角化，即存在正交矩阵 ，使AAP，112,nPdiag其中 是 的特征值， ，所以1,2in i0洛阳师范学院本科毕业论文32112 112, ,n nAPdiagPdiagP 令 = ,则 是正定矩阵且 = . Q

5、P12,ndiag 1QAQ反之，因为 是正定矩阵，所以 是正定矩阵，即 是正定矩阵.2等价于 9设 是与 合同的矩阵， 正定，下证 正定，对TBAATBA，0X12n, .,xn1R作非退化线性替换 ，则YB，TABTY因为 是正定矩阵，所以A，0T即，TXBA所以 是正定矩阵.TBA反之，令 是正定矩阵，则TCB，11TTACB因为 是正定矩阵， 与 合同，由上面的证明可知， 是正定矩阵.A等价于 1是正定矩阵等价于 是正定矩阵，23TATPA,120E，1132TTAP等价于 和 是正定矩阵.1A132T洛阳师范学院本科毕业论文4要证 等价于 ，需先证明一个引理.13引理 设 为一个 级

6、实矩阵，且 ，则 可以分解成 ，其中 是.2An0AAQT正交矩阵， 是一上三角矩阵.T证明 设 ，其中 是 的列向量，因为 ，所12,n 1,2in 0以 线性无关，可作为 维线性空间的一组基，将其化为标准正交基，令12,n，1，2211,，32313,则= ，12,n 12,n2112,001nn将 ， ， , 标准化，令12 n，1,，22, ，,nn则洛阳师范学院本科毕业论文5，12,n 2111 2122, ,0,nnn n 是一组标准正交基，令12,n，12,nQ，11122,0,nnT 则 是正交矩阵， 是一上三角矩阵，且对角元素大于零.QT下面证明 等价于13是正定矩阵等价于存

7、在可逆矩阵 ，使APTTAQ2.1由 引 理 可 知， 是上三角矩阵且对角元素大于0，同样的方法可证明下三角矩阵的TTQ情况. 其余等价命题参考文献 .1正定矩阵的性质3性质 若 是正定矩阵，则 、 、 、 也是正定矩阵.1.ATA1*aA0证明 因为 是正定矩阵，所以存在 阶可逆矩阵 ，使 ，则nQTTT所以 是正定矩阵.TA另外， 的特征值 都大于 ，所以 都大于 ，即 的特征值都i1,2n 01i01A大于 ，所以 也是正定矩阵.01洛阳师范学院本科毕业论文6对于任意的 ， ，所以 是正定矩阵.12nX, .,0TxTTXaAX0aA因为 = ，所以 是正定矩阵.*A*A性质 设 ， 是

8、 阶正定实对称矩阵，且满足 ,则 也是正定实对62.3BB称矩阵.证明 因为 ，所以 是实对称矩阵，设 是 的一个TAAB AB特征值， 是对应于 的特征向量，则,，1BA，TT因为 , 是正定矩阵，所以 ， ，所以 ，即 的特征值都大AB100AB于 ，所以 也是正定实对称矩阵. 0由性质 的证明过程可知，正定矩阵乘积的特征值大于 . 23性质 若 、 都是正定矩阵，则 是正定矩阵. AB证明 显然 是实对称矩阵，对于任意的AB，12nX, .,0Tx有，TTTABXB所以 是正定矩阵.AB推论 若 、 都是正定矩阵，则 是正定矩阵.13ab0，性质 若 、 都是正定矩阵，则 .74. AB

9、证明 因为 是正定矩阵，所以存在可逆矩阵 ,使得 ，显然 是APTAETPB对称矩阵，则 可对角化，所以存在正交矩阵 ,使TPBQ=TQPB10n洛阳师范学院本科毕业论文7因为 是正定矩阵，所以 ，令 ，则TQPBi0=12,n， ， SPQTSAETB10n= TSAB1001n分别对上式两边求行列式得，21S，2nB，21+SA 12n+所以，222SBA因为，20所以.AB此性质说明了对任意一个正定矩阵 和一个实对称矩阵 ( 不一定是正定的),存B在可逆矩阵 ，使 和 都为对角矩阵.TTT性质 为 阶正定矩阵，则 的元素的绝对值最大者，一定在主对角元上.5.3An证明 因为 正定，从而

10、的一切二阶主子式都大于 ，当 时A0ij.2iijijijjaa0移项后，开方即得，ija12ij ,2jin洛阳师范学院本科毕业论文8设 的主对角元上最大元素为 ，再由上式，得， Aka= ，ij12ij12kkaij此即证.ijak,1,ijn即 的元素的绝对值最大者，一定在主对角元上.A性质 为 阶正定矩阵，则 ，其中 为 的主63n12nAa ia1,2n A对角元素.证明 设 ，其中 为 的 -1阶顺序主子式，1TnAa1121,Tnna因为 正定，所以 正定， 存在，于是A11A= ，11100nnTTEEAa110TnaA两边取行列式得，= ，A11Tn因为 正定，所以 正定，所

11、以1A1， .1T01A所以 ，同理 ，这样继续下去，可得1na1A21,na.,1n 12na性质 若 是正定矩阵，则 也是正定矩阵.7.3k是 正 整 数证明 因为 是正定矩阵，所以 的特征值 ，那么AA,0i，1,20kin即 的特征值都大于 0，所以 是正定矩阵 .k 是 正 整 数正定矩阵的应用4洛阳师范学院本科毕业论文9证明不等式94.1实对称矩阵 称为正定矩阵，是指如果实二次型 正定，ATXA，12, TnXx而二次型 正定是指对任意 ，恒有 ，所以可0012,TnXx 0TX用实对称矩阵中的正定矩阵来证明不等式.例 求证 .4xyz22564xyzyz、 、 为 不 全 为 零

12、 的 实 数证明 设二次型 = + ，则 的矩阵f, 24xzf= ，A56024的各阶顺序主子式 =-5 ， =26 ， =-80A1a05652604所以 是负定矩阵，则 ，即 .f4xyz22xyz求函数的极值2.4定义 假定 具有二阶连续偏导数，并记81.,f,0000 xyxxyfy PffPfH它称为 在 的黑赛 矩阵.f0Pes定理 设二元函数 在点 的某邻域 内具有二阶连续偏导数，81.24f0,Pxy0且 是 的稳定点.则当 是正定矩阵时， 在 取得极小值；当 是负定0f fHfP0fHP矩阵时， 在 取得极大值；当 是不定矩阵时， 在 不取极值.0P0f f0例 求函数 的

13、极值点.22,fxyyx解 由方程组201xyf洛阳师范学院本科毕业论文10得 的稳定点为 ， =2， ， ， ，那么f01,P0xf01xyfP01yxf02yfP，0002fyxyHff是正定矩阵，所以 是 的极小值点， .01, 1,多元函数的情形：定义 假设 具有二阶连续偏导数，并记2.412,nfx，11212 2120000000nnnnxxxfxxxfPffPHfff 它称为 在 的黑赛 矩阵.f0Pes定理 设多元函数 在点 的某邻域 内具有2.412,nfx 0012,nPx 0P二阶连续偏导数，且 是 的稳定点 . 则当 是正00f在 点 的 一 阶 偏 导 数 全 为 fH定矩阵时， 在 取得极小值；当 是负定矩阵时， 在 取得极大值；当fPfHf0是不定矩阵时， 在 不取极值.0fHf0例 求函数 的极值.321233121, xxxf 解 由方程组 02103221xfxxf得 的稳定点为 ， ，又 的二阶偏导数为 ，f1,01A1,42f 126xf， ， ， ， . 所以21xfxf32xf23f0312xf洛阳师范学院本科毕业论文11，201AHf其顺序主子式分别为0， ， ，所以 是4210