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1、浅析分类讨论思想在数学中的意义及应用目 录中文摘要2外文摘要31分类讨论思想方法的含义1.1 分类讨论思想方法的含义42在数学教学中渗透分类讨论思想方法的意义和原则2.1 什么是数学思想方法和数学思想方法教学的原则52.2 在数学教学中渗透分类讨论思想方法的意义63数学教学中渗透分类讨论思想方法的实践 3.1 怎样在数学教学中渗透分类讨论思想法73.2 根据问题中有可能出现的各种情况进行分类讨论93.3 根据研究对象的不同类型进行分类讨论103.4 根据曲线类型进行分类讨论114. 分类讨论思想在高中数学中的应用4.1 分类讨论思想在集合中的应用124.2 分类讨论思想在函数中的应用124.3
2、 分类讨论思想在不等式中的应用144.4 分类讨论思想在排列组合中的应用164.5 分类讨论思想在数列中的应用164.6 分类讨论思想在圆锥曲线中的应用174.7 分类讨论思想在立体几何中的应用184.8 分类讨论思想在实际问题中的应用19结束语20参考文献21致谢22摘要: 分类讨论思想是人们常用的重要思想方法，是重要的数学思想，也是一种逻辑方法。在解数学问题时，通过正确应用分类讨论，可以使复杂的问题得到清晰，完整，严密的解答。本文首先介绍了分类讨论思想，分类讨论的要求与原则，重点讲述了分类讨论思想在高中数学中的具体应用，最后强调了根据问题的特殊性和简单性，避免分类讨论，简化分类讨论过程，从
3、而提高分类讨论的效果。关键词：分类讨论思想 正确分类 应用 简化分类AbstractClassified discussion thought is commonly used in an important way of thinking, is an important mathematics thought, but also a logical method.In solving mathematical problems, the correct application of classified discussion, can make the complex problem to
4、 be clear, complete, exact solution.This paper first introduces the classified discussion thought, discuss the requirements and principles, focus on classified discussion thought in high school mathematics in the specific application, finally emphasizes the particularity of this problem and simplici
5、ty, avoid discussion of classification, a simplified classification discussion process, thereby improving the classification to discuss effect.Key word :Classified discussion thought correct classification using a simplified classification1. 分类讨论思想方法的含义1.1 分类讨论思想方法的含义分类讨论法就是对问题进行分情况讨论的方法。当问题含有多种可能的情
6、况，人们难以对它进行统一处理时，可以按其出现的各种情况分类进行讨论，分别得出与分类相应的结论，综合这些结论，便得到问题的答案。这种分析问题，解决问题的方法称为分类讨论法。比如在逻辑学中，是从集合的观点来认识分类讨论法。集合的分类，是指把一个非空集合分成若干非空子集合，这些子集合中任意两个的交是空集，所有子集合的并为原集合。由于任何概念的外延都是集合，所有集合的分类包含了逻辑意义上的概念分类。在中学教学中，分类讨论法广为使用，几乎贯穿于全部教学过程之中。从横向看，在定义，计算，合情推理与演绎推理，数学证明等方面都有广泛的运用；从纵向看，则运用于中学各年级的所有科目的数学教学之中。分类讨论是初等数
7、学一种重要的数学思想，它是我们必须具备的数学素养，是思维广阔性的要求，也是思维深刻性，批判性的基础。思维过程是对事物经过分类，将事物区分为一定从属关系的不同等级，从而使知识更加具有层次性和系统化，任何事物都有异同点，按照事物的共性，把事物归为较大的类，再根据差异性把事物划分为较小的类，为事物的认识和再认识创造条件。在解决综合问题或复杂问题时，可将所研究对象的集合按照一定的标准，划分为若干个部分去分析研究，再把分析研究的结果综合起来，从而使问题得以解决。分类讨论是按照数学对象的相同点和相异点将数学对象区分为不同种类的思想方法：分类讨论是根据需要对研究对象进行分类，然后将划分的每一类别分别进行求解
8、，综合后即得答案。分类讨论贯穿在整个数学学习的全过程，通过分类可以使大量繁杂的材料条理化，系统化，从而为人们进行分门别类的深入研究创造条件，分类讨论不仅在数学知识的探究和概念学习中十分重要，而且在解决数学问题过程中起着重要作用。学会用这种思想方法解决问题，对提高学生思维能力，解决问题能力有很大作用。特别地，有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性，综合性，探索性，能训练人的思维条理层次性和概括性。2.在数学教学中渗透分类讨论思想方法的意义和原则分类讨论是一种数学思想方法，那么什么是数学思想方法？下面加以说明。2.1 什么是数学思想方法和数学思想方法教学的原则数学思想方法是数学的灵魂，是开启数
9、学知识宝库的金钥匙，是层出不穷的数学发现的源泉，是实现数学教学面向全体学生的重要内容。数学教学必须在数学知识的教学和解题活动中突出数学思想方法。进行知识的教学必须要遵循一定的原则，数学思想方法是数学知识的重要范畴，进行数学思想方法的教学，也应符合一般的教学原则，根据数学思想方法的特性还应该遵循其他一些原则。也就是必须遵循渗透性，反复性，明确性和实践性的教学原则。数学思想方法在数学教学中具有重要地位，分类讨论法作为数学思想方法，它在数学教学中的作用不言而喻。分类讨论贯穿在整个数学教学之中。通过分类可以使大量繁杂的问题条理化系统化，从而为人们进行分门别类的深入研究创造条件，分类讨论不仅在数学知识和
10、概念学习中十分重要，而且在解决数学问题过程中起着十分重要作用。学会用这种思想方法解决问题，对提高学生思维能力，解决问题的能力有很大作用。特别的，有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性，综合性，探索性，能训练人的思维条理性和概括性。所以在数学教学中渗透分类讨论是非常重要的，而且也是必要的。2.2 在数学教学中渗透分类讨论思想方法的意义分类讨论数学思想方法，它应用于函数，方程，不等式，排列组合等各个方面，在初中数学中有许多体现“分类讨论”思想方法的内容，无论在代数还是在几何中都能找到。它们分布在概念的定义，定理的证明，运算的法则（性质），图形（象）的性质和具体问题的解决中。如在概念的定义中有：
11、有理数的定义；绝对值的定义等。在定理的证明中有：圆周角定理的证明。在运算的法则中有：一元一次不等式（组）的解法；一元二次方程根的判别式等。在图形（象）的性质中有：点和圆，直线和圆，圆和圆的位置关系；函数图像的性质等。对分类讨论数学思想方法的学习中，常常在存在这样那样的问题。其一在分析问题时分类讨论的意识不强，如在解分式不等式时往往不注意讨论分母的正负，而给不等式的两边同乘以分母。分类讨论时存在盲目性。分类讨论问题的关键是在解决好分类的合理性，而分类的合理性在很大程度上有取决于分类的标准“分界点”的确定，学生往往就是因为不能准确地确立“分界点” ，而导致盲目地使用分类讨论法，以致出现求解的失误。
12、分类讨论时存在的主观性。凡在数学问题的求解中，遇到数量的大小或符号不能确定，图形位置或形状不确定都应分类讨论，但分类讨论应该是在计算推理的过程中自然的展开，而不是一开始就主观的认为应该怎样讨论。基于以上原因，在教学中应从以下几个方面，对学生加以引导，帮助学生增强分类讨论的意识，克服分类讨论中的盲目性和主观性。在概念，定义本身就是分类叙述的。如有关双曲线，椭圆，抛物线位置不定的。用分类讨论叙述的某些性质，如在数中含字母的指数或对数不等式。公式，定理具有分类讨论的附加条件，如等比数列求和公式及求极限问题。具有分类讨论的运算法则。几何图形具有分类讨论的位置关系。如何进行合理的分类。这是分类讨论思想的
13、核心和灵魂，首先要有扎实的基础知识，同时要掌握好分类的基本原则和分类的步骤.分类的原则：分类应该按同一标准进行；分类应当没有遗漏；分类应当没有重复 分类的步骤：确定要讨论的对象及讨论对象的取值范围；正确选择分类标准合理分类；逐类逐段分类讨论；归纳整合。3数学教学中渗透分类讨论思想方法的实践如何进行合理的分类，这是分类讨论思想的核心。在数学教学中合理分类，是要精心设计的。3.1 怎样在数学教学中渗透分类讨论思想方法在数学教学中，从来都存在一种发展的眼光来看待数学思想方法，不仅要求体会概念和结论所蕴含的数学思想方法，同时要求体会他的在后续学习中的作用。它是数学知识发生过程的提炼，抽象概括和升华，要经过教师长期的，有意识的，有目的教学活动去渗透，提示，归纳。并使学生能在后续的学习与解题的实践中去运用与领悟，才能最终转化为他们自己的东西。很显然，数学思想方法教学的渗透性与实践性决定了数学教学中并不直接明显所指，而只能通过精心设计教案，努力营造教学氛围，引导学生积极主动的参与到数学知识的发生和发展过程，或者通过学生的自主学习与主动探究。以这种很自然与合理的方式来揭示，归纳与应用。案例：已知 aR, 函数 f(x) 。2xa(1) 略 （2 ） 求函数 在区间 上的最小值。()yf1,2这是一道以研究函数性质。重点考察学
