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1、方程、不等式文本解读,主讲人：柯宗友,七上第5章一元一次方程七下第4章二元一次方程组 第7章分式7.4分式方程八上第5章一元一次不等式八下第2章一元二次方程,方程、不等式章节安排：,（1）对代数预备知识遵循“突出重点、分散安排”的原则,（2）螺旋上升地呈现重要的概念和思想，不断深化对它们的认识。,（3）联系实际，体现知识的形成和应用过程，突出建立数学模型的思想。,“数与代数”章节安排有以下特点：,（一）本套教科书的编写根据学生的认知规律和各部分知识的内在联系按排章节，使“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”三方面知识各自相对集中，保持适当的系统性和灵活性，同时又注重这些知识的联系。,教科书的
2、体例：,教科书的体例：,（二）章的编写结构1.每章开头由以下部分组成：（1）章前图（2）引言（3）节目录2.章结尾由以下部分组成：（1）小结（2）目标与评定3.编入以“数学趣闻”“数学发现”“数学史”为主要题材的阅读材料。4.编入少量的选学内容（以阅读材料的形式出现）,教科书的体例：,（三）节的编写结构1.每节编入节前图，绝大部分节前图附有和课文有内在联系的简短说明。2.本套教科书按内容编节，对内容较多的节划分课时，节的编写有以下四个主要环节：问题情境数学活动（包括观察、实验、猜测、尝试、推理、交流、反思等）概括（包括建立模型）巩固、应用和拓展。正文表述中设置以下栏目：（1）“合作学习”。（2
3、）“做一做”。（3）“想一想”。（4）“课内练习”。（5）“探究活动”。3.每节后编入“作业题”作业题分三组：4.在某些节设置“设计题”（不同的设计题分布在不同的节中）。,第一学段（13年级）,在本学段中，学生将学习万以内的数、简单的分数和小数、常见的量，体会数和运算的意义，掌握数的基本运算，探索并理解简单的数量关系。 在教学中，要引导学生联系自己身边具体、有趣的事物，通过观察、操作、解决问题等丰富的活动，感受数的意义，体 会数用来表示和交流的作用，初步建立数感；应重视口算，加强估算，提倡算法多样化；应减少单纯的技能性训练，避免繁杂计算和程式化地叙述算理。,新课程标准各学段要求：,数的认识（2
4、）认识符号，的含义，能够用符号和词语来描述万以内数的大小。参 见例1案例例1 对于50，98，38，10，51这些数，请用大一些 、小一些、大得多、小得多等语言描述它们之间的大小关系；并用或表示它们的大小关系。,第二学段（46年级）,在本学段中，学生将进一步学习整数、分数、小数和百分数及其有关运算，进一步发展数感 ；初步了解负数和方程；开始借助计算器进行复杂计算和探索数学问题；获得解决现实生活中简单问题的能力。 教学时，应通过解决实际问题进一步培养学生的数感，增进学生对运算意义的理解；应重视口算，加强估算，鼓励算法多样化；应使学生经历从实际问 题中抽象出数量关系，并运用所学知识解决问题的过程；
5、应避免繁杂的运算，避免将运算与应用割裂开 来，避免对应用题进行机械的程式化训练。,具体目标3式与方程 （1）在具体情境中会用字母表示数。 （2）会用方程表示简单情境中的等量关系。 （3）理解等式的性质，会用等式的性质解简单的方程(如 3x+25，,第三学段（79年级）,（1）方程与方程组。 能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程。会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）。理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程。能根据
6、具体问题的实际意义，检验结果是否合理。,（2）不等式与不等式组。能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质。会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集。能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的问题。,第三学段（79年级）,1.能根据具体问题中的数量关系，建立数学模型，列出方程或方程组，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。 2.能用观察、画图或计算器等手段估计方程的解。3.会解一元一次方程。4.会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中分式不超过两个）5.理解配
7、方法。,本部分内容在2011年中考说明中的要求：,6.会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程。7.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。8.了解二元一次方程、二元一次方程组的有关概念。9.会解简单的二元一次方程组。,本部分内容在2011年中考说明中的要求：,10.根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义。11.探索并掌握不等式的基本性质。12.会解一元一次不等式并在数轴上表示出解集。13.会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并用数轴确定解集。,本部分内容在2011年中考说明中的要求：,一元一次方程 本章的内容是一元一次方程的概念、解法及应用。在小学阶段，学生已学
8、习过方程及其解的概念，学习过等式的性质，并会利用等式的性质解几类简单的方程，但没有学过方程中关于元的概念、次的概念。并且由于没有学过整式的加减运算，学生能解的方程非常有限。一元一次方程的概念、解法及其应用是进一步学习其他方程的必需的基础，许多方程最终都归为一元一次方程来解。一元一次方程在人们的日常生活和生产实践中有着许多直接的应用。所以，在小学阶段的基础上进一步学习一元一次方程是十分需要的。,内容安排：,二元一次方程组 本章的主要内容有二元一次方程、二元一次方程组的概念、二元一次方程组的解法和应用。二元一次方程组在解决生活和生产实际问题有较多的应用，通过消元化归为一元的思想方法能使学生获得解决
9、多元问题的经验，对学生进一步学习函数、方程等代数知识有较大的帮助。,内容安排：,一元一次不等式 本章的主要内容有不等式的概念及其基本性质，一元二次不等式和一元一次不等式组，以及列一元一次不等式（组）解应用题。本章是中学阶段代数不等式的起始内容，是今后进一步学习不等式的证明和解不等式的重要基础。客观世界中不仅存在着大量的相等关系，也存在着许许多多的不等关系。不等关系用不等式来表示，和方程一样，不等式也是刻画现实世界的一种重要的数学模型，它在生活和生产实际中有着广泛的应用。,内容安排：,一元二次方程 本章的主要内容有一元二次方程的概念、解法和应用。一元二次方程是一类重要的整式方程。分式方程、根式方
10、程。以及高次方程等都是通过转化为一元一次方程或一元二次来求解，因此，一元二次方程是今后继续学习方程的重要基础。一元二次方程与图形的面积、物体的运动、量的平均变化率等都有着密切的联系，在日常生活和生产实践中有着许多应用,内容安排：,任何一个一元一次方程都可以化成kx+b=0(k,b,为常数,k0)的形式,其解恰好就是一次函数y=kx+b(k,b,为常数,k0)当y=0时,自变量x的取值,反映在图象上,就是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标.,1. 根据一元一次方程与一次函数图象之间的关系,可利用图象法求一元一次方程的解.如利用图象法解方程3x-6=0可以分为以下几步:(1)根据方程3x-5=0,
11、写出相应的函数关系式y=3x-6;(2)建立直角坐标系,画出y=3x-6的图象;(3)确定图象与x轴交点的横坐标,写出方程的解.,一元一次方程与一次函数的图象的关系,2.根据一元一次方程与一次函数图象之间的关系,也可以通过解一元一次方程的方法求到图象与x轴的交点坐标.如求y= x-1.5与x轴交点横坐标,只要解方程 x-1.5=0,求到方程的解即可.,任何一个二元一次方程都可以转化一次函数的形式,任何一个一次函数关系式都可看作一个二元一次方程,函数图象上点的坐标就是二元一次方程的解. 二元一次方程组中的两个二元一次方程,都可以转化为一次函数的形式,也就对应着两条直线,两条直线的交点坐标也就是二
12、元一次方程组的解.,根据函数图象可以求二元一次方程组的解.其步骤(1)将方程组中的两个二元一次方程转化为函数关系式的形式(2)建立直角坐标系,根据两点法分别画出两个函数的图象 (3)确定两函数图象的交点坐标,二元一次方程(组)与一次函数图象的关系,任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b0或ax+b0的解集，在x轴下方的点所对应的自变量x的值，即为不等式kx+b0的解集。,用此法解不等式，关键是作图，求出与x轴的交点坐标,一元一次不等式与一次函数图象的关系,中国古代数学著作九章算术第八卷的卷名为“方程”，这是“方程”一词的最早出处。,“筹算”,“算” ,上面是“竹”字，下面是“具”字,“算”
13、 就是“竹制的计算工具”,“方程”一词的由来,古代数学家刘徽注释九章算术说，“程，课程也。二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”。这里所谓“如物数程之”是指有几个未知数就必须列出几个等式，一次方程组各未知数的系数用算筹表示时好比方阵，所以叫做方程。,九章算术第八卷的卷名为“方程”，,第一题导致一个线性方程组，现代写法如下：,中国古人在解题时把数据排成如图,现代意义上的列方程和解方程在我国古代称为“天元术”，这个方法大约在十三世纪出现在我国北方的数学界。李冶的侧圆海镜，益古演段，朱世杰（1300前后）算学启蒙、四元玉鉴都是十三、十四世纪的著作，他们用“天元术”来解决列方程的
14、问题。 什么是天元术？首先根据题意“立天元一为某某”，与现代数学中“设为某某”意义相同。其次再根据问题所设条件列出两个相等的多项式，两者相减，就得出一个一端为零的方程。,多项式的天元术记法相当于现代所谓的分离系数法：多项式按其各项幂的次数高低，自上而下直行书写，用中国数码字只记其相应系数，在一次项右边写一元字，常数项右边写一太字。例如，多项式：,的写法记为：,九章算术是中国古代数学专著，承先秦数学发展的源流，进入汉朝后又经许多学者的删补才最后成书，这大约是公元一世纪的下半叶。它的出现，标志着中国古代数学体系的形成。 后世的数学家，大都是从九章算术开始学习和研究数学知识的。唐宋两代都由国家明令规
15、定为教科书。1084年由当时的北宋朝廷进行刊刻，这是世界上最早的印刷本数学书。,九章算术简介,九章算术简介,九章算术是世界上最早系统叙述了分数运算的著作；其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造；“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。,九章算术简介,九章算术的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。,第一章“方田”,第二章“粟米”,第三章“衰（sui）分”,第四章“少广”,第五章“商功”,第六章“均输”,第七章“盈不足”,第八章
16、“方程”,第九章“勾股”,九章算术内容,一、教科书内容和课程学习目标,本章的主要内容包括：一元一次方程的有关概念和解法，利用一元一次方程解决实际问题，问题解决的基本步骤。,“一元一次方程”简介,1教科书内容,2本章知识结构图,实际问题情境,等式,方程,一元一次方程,解法,应用,等式的性质,问题解决的基本步骤,（1）经历“把实际问题抽象为数学方程”的过程，体会方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，了解一元一次方程及其相关概念，认识从算式到方程是数学的进步。（2）通过观察、归纳得出等式的性质，能利用它们探究一元一次方程的解法。（3）了解解方程的基本目标（使方程逐步转化为x=a的形式），熟悉解一元一次方程的一般步骤，掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想。,
