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1、- 1 - 函数问题1. （ 2012 安徽省 14 分） 如图， 排球运动员站在点 O 处练习发球， 将球从 O 点正上方 2m的 A 处发出， 把球看成点， 其运行的高度 y（ m） 与运行的水平距离 x(m)满足关系式 y=a(x-6)2+h.已知球网与 O 点的水平距离为 9m，高度为 2.43m，球场的边界距 O 点的水平距离为 18m。（ 1）当 h=2.6时，求 y 与 x 的关系式（不要求写出自变量 x 的取值范围）（ 2）当 h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（ 3）若球一定能越过球网，又不出边界，求 h 的取值范围。【答案】解： （ 1）把 x=0，
2、y=,及 h=2.6 代入到 y=a(x-6)2+h，即 2=a(0 6)2+2.6，1a60当 h=2.6时， y 与 x 的关系式为 y= 160 (x 6)2+2.6 （ 2）当 h=2.6时， y= 160 (x 6)2+2.6 当 x=9 时， y=160 (9 6)2+2.6=2.45 2.43，球能越过网。当 y=0 时，即160 (18 x)2+2.6=0，解得 x= 6+ 156 18，球会过界。（ 3）把 x=0,y=2,代入到 y=a(x-6)2+h得2 ha36 。x=9 时， y=2 h36 (9 6)2+h2 3h4 2.43 x=18 时， y=2 h36 (18
3、 6)2+h= h38 0 由 解得 h83 。若球一定能越过球网，又不出边界， h 的取值范围为 h83 。【考点】二次函数的性质和应用。【分析】 （ 1）利用 h=2.6，将（ 0， 2）点，代入解析式求出即可。（ 2）利用 h=2.6，当 x=9 时， y=160 (9 6)2+2.6=2.45与球网高度比较；当 y=0 时，解出 x 值与球场的边界距离比较，即可得出结论。（ 3）根据球经过点（ 0， 2）点，得到 a 与 h 的关系式。由 x=9 时球一定能越过球网得到 y 2.43；由 x=18 时球不出边界得到 y0 。分别得出 h 的取值范围，即可得出答案。2. （ 2012 宁
4、夏区 10分）某超市销售一种新鲜 “ 酸奶 ” ， 此 “ 酸奶 ” 以每瓶 3 元购进， 5 元售出 .这种 “ 酸奶 ” 的保质期不超过一天，对当天未售出的 “ 酸奶 ” 必须全部做销毁处理 . （ 1）该超市某一天购进 20 瓶酸奶进行销售 .若设售出酸奶的瓶数为 x（瓶） ，销售酸奶的利润为 y（元） ，写出这一天销售酸奶的利润 y（元）与售出的瓶数 x（瓶）之间的函数关系式。为确保超市在销售这 20 瓶酸奶时不亏本，当天至少应售出多少瓶？（ 2）小明在社会调查活动中，了解到近 10天当中，该超市每天购进酸奶 20瓶的销售情况统计如下：每天售出瓶数 17 18 19 20 频数 1 2
5、 2 5 根据上表，求该超市这 10天每天销售酸奶的利润的平均数；（ 3）小明根据（ 2）中， 10 天酸奶的销售情况统计，计算得出在近 10天当中，其实每天购进 19 瓶总获利要比每天购进 20 瓶总获利还多 .你认为小明的说法有道理吗？试通过计算说明 . 【答案】解： （ 1）由题意知，这一天销售酸奶的利润 y（元）与售出的瓶数 x（瓶）之间的函数关系式为 y=5x 60 当 5x 600 时， x 12，当天至少应售出 12瓶酸奶超市才不亏本。（ 2）在这 10 天当中，利润为 25元的有 1 天， 30元的有 2 天， 35 元的有 2 天， 40元的有5 天，这 10 天中，每天销售
6、酸奶的利润的平均数为（ 25+30 2+35 2+40 5） 10=35.5 。（ 3）小明说的有道理。理由如下：在这 10 天当中，每天购进 20瓶获利共计 355元 . 而每天购进 19瓶销售酸奶的利润 y（元）与售出的瓶数 x（瓶）之间的函数关系式为： y=5x 57 在 10天当中，利润为 28 元的有 1 天， 33元的有 2天， 38元的有 7 天，总获利为 28+33 2+38 7=360355 。小明说的有道理。【考点】一次函数的应用。【分析】 （ 1）根据此 “ 酸奶 ” 以每瓶 3 元购进， 5 元售出，该超市某一天购进 20瓶酸奶进行销售，即可得出 y 与x 的函数关系式
7、，再利用 y 大于 0 得出 x 的取值范围。（ 2）根据频数分布表得出总数，从而得出平均数即可。（ 3） 利用每天购进 19瓶销售酸奶的利润 y（元） 与售出的瓶数 x（瓶） 之间的函数关系式， 得出在 10天当中，利润为 28 元的有 1 天， 33 元的有 2 天， 8 元的有 7 天，从而得出总利润，比较即可得出答案。- 2 - 3. （ 2012 上海市 12 分） 如图， 在平面直角坐标系中， 二次函数 y=ax2+6x+c的图象经过点 A（ 4， 0） 、 B（ 1，0） ，与 y 轴交于点 C，点 D 在线段 OC 上， OD=t，点 E 在第二象限， ADE=90 ， tan
8、 DAE=12 ， EF OD，垂足为 F（ 1）求这个二次函数的解析式；（ 2）求线段 EF、 OF 的长（用含 t 的代数式表示） ；（ 3）当 ECA= OAC 时，求 t 的值【答案】解： （ 1）二次函数 y=ax2+6x+c 的图象经过点 A（ 4， 0） 、 B（ 1， 0） ，16a+24+c=0a 6+c=0 ，解得a= 2c=8 。这个二次函数的解析式为： y= 2x2+6x+8。（ 2） EFD= EDA=90 ， DEF+ EDF=90 ， EDF+ ODA=90 。 DEF= ODA。 EDF DAO。EF ED=DO DA 。ED 1= tan DAE=DA 2 ，
9、EF 1=DO 2 。 OD=t，EF 1=t 2 ， EF=1 t2 。同理DF ED=OA DA ， DF=2， OF=t 2。（ 3）抛物线的解析式为： y= 2x2+6x+8， C（ 0， 8） ， OC=8。如图，连接 EC、 AC，过 A 作 EC 的垂线交 CE于 G 点 ECA= OAC ， OAC= GCA（等角的余角相等） 。在 CAG 与 OCA 中， OAC= GCA ， AC=CA ， ECA= OAC， CAG OCA（ ASA） 。 CG=AO=4， AG=OC=8。如图，过 E 点作 EM x 轴于点 M ，则在 Rt AEM 中， EM=OF=t 2， AM=
10、OA+AM=OA+EF=4+1 t2 ，由勾股定理得：222 2 2 1AE AM EM 4+ t + t 22 。在 Rt AEG 中，由勾股定理得：222 2 2 21 5EG= AE AD 4+ t + t 2 8 t 442 4 。在 Rt ECF 中， EF=1 t2 ， CF=OC OF=10 t， CE=CG+EG=4+25 t 444由勾股定理得： EF2+CF2=CE2，即222 21 5t + 10 t = 4+ t 442 4 。解得 t1=10（不合题意，舍去） ， t2=6。 t=6。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，锐角三角
11、函数定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】 （ 1）已知点 A、 B 坐标，用待定系数法求抛物线解析式即可。（ 2）先证明 EDF DAO ，然后利用相似三角形对应边的比例关系以及三角形函数的定义求解。（ 3）通过作辅助线构造一对全等三角形： CAG OCA ，得到 CG、 AG 的长度；然后利用勾股定理求得AE、 EG 的长度 （用含 t 的代数式表示） ； 最后在 Rt ECF中， 利用勾股定理， 得到关于 t 的无理方程， 解方程求出 t 的值。4. （ 2012天津市 10分）已知抛物线 y=ax2+bx+c（ 0 2a b）的顶点为 P（ x0， y0） ，点 A（ 1，
12、yA） 、 B（ 0，yB） 、 C（ 1， yC）在该抛物线上（）当 a=1， b=4， c=10时，求顶点 P的坐标；求AB Cyy y -的值；（）当 y00 恒成立时，求AB Cyy y 的最小值【答案】解： （）若 a=1， b=4， c=10，此时抛物线的解析式为 y=x2+4x+10。 y=x2+4x+10=（ x+2） 2+6，抛物线的顶点坐标为 P（ 2， 6） 。点 A（ 1， yA） 、 B（ 0， yB） 、 C（ 1， yC）在抛物线 y=x2+4x+10 上， yA=15， yB=10， yC=7。AB Cy 15= =5y y 10 7 。（）由 0 2a b，得
13、 0bx 12a 。 - （ 3）小兰家 6 月份的用水量为 26吨，她家要缴水费 3 26 15=63元。【考点】一元一次方程和一次函数的应用。【分析】 （ 1）利用已知得出 4 月份用水 22 吨，水费 51 元， 5 月份用水 20 吨，水费 45 元，求出市场价收费标准为： （ 51 45） （ 22 20） =3（元 /吨） ，进而得出每吨水的基本价。（ 2）利用（ 1）中所求不同水价，再利用当 n 15时， m=2n，当 n 15时，分别求出即可。（ 3）根据（ 2）中所求得出，用水量为 26吨时要缴水费。12. （ 2012贵州黔东南 12分） 我州某教育行政部门计划今年暑假组织
14、部分教师到外地进行学习， 预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择，其收费标准均为每人每天 120 元，并且各自推出不同的优惠方案甲家是 35 人（含 35 人）以内的按标准收费，超过 35 人的，超出部分按九折收费；乙家是 45 人（含 45人） 以内的按标准收费， 超过 45人的， 超出部分按八折收费 如果你是这个部门的负责人， 你应选哪家宾馆更实惠些？【答案】解：设总人数是 x，当 x 35时，选择两个，宾馆是一样的；当 35 x 45时，选择甲宾馆比较便宜；当 x 45时，甲宾馆的收费是： y 甲 =35 120+0.9 120 （ x 35） =108x+420；乙宾馆的
15、收费是 y 乙 =45 120+0.8 120（ x 45） =96x+1080。当 y 甲 =y 乙时， 108x+420=96x+1080，解得： x=55；当 y 甲 y 乙时，即 108x+420 96x+1080，解得： x 55；当 y 甲 y 乙时，即 108x+420 96x+1080，解得： x 55。综上所述，当 x 35或 x=55 时，选择两个宾馆是一样的；当 35 x 55 时，选择甲宾馆比较便宜。当 x 55时，选乙宾馆比较便宜。【考点】一次函数的应用。【分析】当 x 35时，选择两个，宾馆是一样的；当 35 x 45时，选择甲宾馆比较便宜，当 x 35 时，两个宾
16、馆的收费可以表示成人数 x 的函数，比较两个函数值的大小即可。13. （ 2012贵州铜仁 12分） 为了抓住梵净山文化艺术节的商机， 某商店决定购进 A、 B 两种艺术节纪念品 若购进 A 种纪念品 8 件， B 种纪念品 3 件， 需要 950元； 若购进 A 种纪念品 5 件， B 种纪念品 6 件， 需要 800元（ 1）求购进 A、 B 两种纪念品每件各需多少元？（ 2） 若该商店决定购进这两种纪念品共 100件， 考虑市场需求和资金周转， 用于购买这 100件纪念品的资金不少于 7500 元，但不超过 7650 元，那么该商店共有几种进货方案？（ 3） 若销售每件 A 种纪念品可获利润
