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1、1第一章 量子力学的诞生1.1 设质量为 m 的粒子在一维无限深势阱中运动， axxV0,)(试用 de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。解：据驻波条件，有 ),321(2na（1）/又据 de Broglie 关系（2）/hp而能量（3）22/1,234Emhnna1.2 设粒子限制在长、宽、高分别为 的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。cb,解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为 轴方向，把粒子沿 轴三个方向zyx, zyx,的运动分开处理。利用量子
2、化条件，对于 x 方向，有 ,321,xnhdp即 （ ：一来一回为一个周期）ax2a,nx/同理可得， , ,bhpychnpz2/321,zx粒子能量 2222)( cnbampmE zyxzyxnzyx ,31,zyx1.3 设质量为 的粒子在谐振子势 中运动，用量子化条件求粒子能量 E 的可能取值。2)(xV提示：利用 )(,2, VEpnhxdp2解：能量为 E 的粒子在谐振子势中的活动范围为（1）ax其中 由下式决定： 。 0 a21()xVm aax由此得 ， （2）2/E即为粒子运动的转折点。由量子化条件x hnama dxadxa 22 22)1(得 （3）mnha22代入（
3、2） ，解出（4）,1,En积分公式： cauuadua rsin2221.4 设一个平面转子的转动惯量为 I，求能量的可能取值。提示：利用 是平面转子的角动量。转子的能量 。,1,20 nhpp IpE2/解：平面转子的转角（角位移）记为 。它的角动量 （广义动量） ， 是运动惯量。按量子化条件 .I,321,220 mhpdx，因而平面转子的能量，IIpEm2/2,31()Vx3第二章 波函数与 Schrdinger 方程2.1 设质量为 的粒子在势场 中运动。m)(rV（a）证明粒子的能量平均值为 ，wdE3（能量密度）w*2（b）证明能量守恒公式 0st（能流密度） *2ttms证：（
4、a）粒子的能量平均值为（设 已归一化）（1）VTrdE32*（势能平均值） （2）Vrd*3*322*3 )(值rdmT其中 的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为 。因此 T 0（3）*32rdT结合式（1） 、 （2）和（3） ，可知能量密度（4）,2*Vmw且能量平均值 。rdE3（b）由（4）式，得 *.* *2.2.* .*.*2.2.*.*2 .*.*.*.*2Es VmVmVtw4（ ：几率密度）tEs（定态波函数，几率密度 不随时间改变）所以 。0stw2.2 考虑单粒子的 Schrdinger 方程（1）triVrtmtri ,2, 21 与 为实函数。1V2
5、（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。（b）证明粒子在空间体积 内的几率随时间的变化为 *32*32rdVSimrdtS 证：（a）式（1）取复共轭， 得（2）*21*2*iVti （1）- （2）,得*2*22* iVmti （3）*2it即 ，0Vjt此即几率不守恒的微分表达式。（b）式（3）对空间体积 积分，得 *23*3*32rVdSimirdt S 5上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积 的几率（ ） ，而第二项代表体积 中Sdj “产生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。2.3 设 和 是 Schrdinger 方程的两个解，证明12。0,2*13trrdt证：
6、 （1）1Vmti（2）222ti取（1）之复共轭： （3）*12*1Vmti（3） （2）,得2*12*122*1ti对全空间积分： 2*12322*13, rdmtrrdti 2*1*122*1232m2*1232 rd， （无穷远边界面上， ）022*1Sdm 0,21即 。,.2*13trrdt2.4）设一维自由粒子的初态 ， 求 。/0,xipet,解： /20,tmxpiet2.5 设一维自由粒子的初态 ，求 。x0,2,t6提示：利用积分公式 2sincos22dd或 。4expexp2ii解：作 Fourier 变换： ，dipx10,， 21)(2,21 xeexp ipip
7、x（ ）dtxEtpxi/,m2（指数配方）epxtmi21dptxittix 22令 ，则2tpmt42exp212, 4/222tmitetdtetxitixitimx。ttx,22.6 设一维自由粒子的初态为 ，证明在足够长时间后，0,xtmxtiitm2exp4e,式中 是 的 Fourier 变换。dxkik0,210,提示：利用 。exii24/lim7证：根据平面波的时间变化规律， ，tkxiikxemkE2任意时刻的波函数为 dkektxmtxi2/21, （1） 22/ ptxtitimx 当时间足够长后（所谓 ） ，上式被积函数中的指数函数具有 函数的性质，取t ， ， （
8、2）2txku参照本题的解题提示，即得 kdtmxketmetxitix 4/21,（3）txttixi2/4/（4）2,tmtx物理意义：在足够长时间后，各不同 k 值的分波已经互相分离，波群在 处的主要成分为 ，即xtmxk，强度 ，因子 描述整个波包的扩散，波包强度 。mktx2kt t12设整个波包中最强的动量成分为 ，即 时 最大，由（4）式可见，当 足够大以后， 的0k02k 2最大值出现在 处，即 处，这表明波包中心处波群的主要成分为 。0ktxmtx 0k2.7 写出动量表象中的不含时 Schrdinger 方程。解：经典能量方程 。rVmpE2在动量表象中，只要作变换 ，dp
9、i所以在动量表象中，Schrdinger 为：。EdpiVm28第三章一维定态问题3.1）设粒子处在二维无限深势阱中， 其 余 区 域 ,0),(axyxV求粒子的能量本征值和本征波函数。如 ，能级的简并度如何？b解：能量的本征值和本征函数为 mEyxn22nayx,21, ,sii yxyxn nbbyx 若 ，则 ba)(22yxnmaEyx nyxnyxsii这时，若 ，则能级不简并;若 ，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如yxyx与 ）5,10xn2,1 yxn3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即 其 余 区 域 , 0,0),( czbyaxzyxV求粒子的能量本征值和本征
10、波函数。如 ，讨论能级的简并度。解：能量本征值和本征波函数为,)(22cnbamnEzyxzyx ,31, ,siisi8zyx zyxnczyx 当 时，cba)(222zyxmanEzyx aynnzyxzyx siisi3时，能级不简并；zyxn三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。z,9三者皆不相等时，能级一般为 6 度简并的。zyxn,如 )9,63()10,5(2086120 743523.3）设粒子处在一维无限深方势阱中， ax0, ,),(yxV证明处于定态 的粒子)(n)61(2)x-( ,22nax讨论 的情况，并于经典力学计算结果相比较。 n证：设粒子处
11、于第 n 个本征态，其本征函数.xanxsi)(（1）2si2020 axddan 分 部 4)( 2022xxna )cos1(202adxa（2）)6(22n在经典情况下，在 区间粒子除与阱壁碰撞（设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向a ,0改变，但动能、速度不变）外，来回作匀速运动，因此粒子处于 范围的几率为 ，故xdadx， （3）20adx，302（4）4)(222axx当 时，量子力学的结果与经典力学结果一致。n3.4）设粒子处在一维无限深方势阱中，102 ,0),(axyxV处于基态 ，求粒子的动量分布。)1(n解：基态波函数为 , （参 P57， （12） ）axcos1动量的几率分 2cos22cos1s1121)(2112)(3 22222)()(paqpaa epiepiadxeeadep apiapiapiapipaipai axixiixaipx 布 2cs4)(223paap3.5）设粒子处于半壁高的势场中（1）axVx,0 ,)(求粒子的能
