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1、龙文教育34 不等式问题的题型与方法一复习目标：1 在熟练掌握一元一次不等式 (组 )、 一元二次不等式的解法基础上， 掌握其它的一些简单不等式的解法通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力；2掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式 (组 )，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式；3通过复习不等式的性质及常用的证明方法 (比较法、分析法、综合法、数学归纳法等 )，使学生较灵活的运用常规方法 (即通性通法 )证明不等式的有关问题；4通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力；5能较灵活的应
2、用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题6通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识 二考试要求：1理解不等式的性质及其证明。2掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。3掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。4掌握简单不等式的解法。5理解不等式 |a|-|b| |a+b| |a|+|b|。 。三教学过程：（）基础知识详析1解不等式的核心问题是不
3、等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰2整式不等式 (主要是一次、二次不等式 )的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式 (组 )是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法方程的根、函数的性质和图象
4、都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用3在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰通过复习，感悟到不等式的核心问题是不等式的同解变形，能否正确的得到不等式的解集，不等式同解变形的理论起了重要的作用4比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法，比较法的一般步骤是：作差 (商 )变形判断符号 (值 )5证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强，这对发展分析综合能力、正逆思维等，将会起到很好
5、的促进作用在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因” ，后者是“由因导果” ，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的6证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的基本方法要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点7不等式这部分知识，
6、渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用因此不等式应用问题龙文教育35 体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中诸如集合问题，方程(组 )的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。8不等式应用问题体现了一定的综合性这类问题大致可以分为两类：一类是建立
7、不等式、解不等式； 另一类是建立函数式求最大值或最小值 利用平均值不等式求函数的最值时， 要特别注意 “正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件利用不等式解应用题的基本步骤： 10 审题， 20 建立不等式模型， 30 解数学问题， 40 作答。9注意事项：解不等式的基本思想是转化、化归，一般都转化为最简单的一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来求解， 。解含参数不等式时，要特别注意数形结合思想，函数与方程思想，分类讨论思想的录活运用。不等式证明方法有多种，既要注意到各种证法的适用范围，又要注意在掌握常规证法的基础上，选用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等
8、式时要注意调整放缩的度。根据题目结构特点，执果索因，往往是有效的思维方法。（） 范例分析b) M ，且对 M 中的其它元素 (c， d)，总有 c a，则 a=_分析： 读懂并能揭示问题中的数学实质，将是解决该问题的突破口怎样理解“对 M 中的其它元素 (c，d)，总有 c a”？ M 中的元素又有什么特点？解： 依题可知，本题等价于求函数 x=f(y)=(y+3) |y-1|+(y+3) (2)当 1 y 3 时，所以当 y=1 时， xmin=4 说明： 题设条件中出现集合的形式， 因此要认清集合元素的本质属性， 然后结合条件， 揭示其数学实质 即求 集 合 M 中 的 元 素 满 足 关
9、 系 式例 2解关于 x 的不等式： 092 2 aaaxx分析： 本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数 a进行讨论，而龙文教育36 是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。解： 当029929 222 aaxxaxaaxxaxax 即时，不等式可转化为abxa 17302992)( 222 aaxxaxaxaaxaxax 即时不等式可化为当aaaaxaax6173,323,(323故不等式的解集为或。例 3 己知三个不等式： xx 542 12322 xxx 012 2 mxx(1)若同时满足、
10、的 x 值也满足，求 m 的取值范围；(2)若满足的 x 值至少满足和中的一个，求 m 的取值范围。分析： 本例主要综合复习整式、分式不等式和含绝对值不等的解法，以及数形结合思想，解本题的关键弄清同时满足、的 x 值的满足的充要条件是：对应的方程的两根分别在 0, 和 ),3 内。不等式和与之对应的方程及函数图象有着密不可分的内在联系，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系。解： 记的解集为 A，的解集为 B，的解集为 C。解得 A=（ -1， 3） ；解得 B= )3,2()1,0BA,4,2()1,0（ 1） 因同时满足、的 x 值也满足， A B C 设 12)( 2 mxx
11、xf ，由 )(xf 的图象可知：方程的小根小于 0，大根大于或等于 3 时，即可满足3170173010)3(0)0( mmffBA 即（ 2） 因满足的 x 值至少满足和中的一个， 4,1(, BABAC 而 因此 0124,1( 2 mxxC 方程 小根大于或等于 -1，大根小于或等于 4，因而4411431,0314)4(01)1(mmmfmf解之得说明： 同时满足的 x 值满足的充要条件是：对应的方程 2x 2 +mx-1=0 的两根分别在 (-， 0)和3， + )内，因此有 f(0) 0 且 f(3) 0，否则不能对 A B 中的所有 x 值满足条件不等式和与之对应的方程及图象是
12、有着密不可分的内在联系的， 在解决问题的过程中， 要适时地联系它们之间的内在关系龙文教育37 例 4.已知对于自然数 a，存在一个以 a 为首项系数的整系数二次三项式， 它有两个小于 1 的正根， 求证：a 5分析： 回忆二次函数的几种特殊形式设 f(x)=ax 2 +bx+c(a 0)顶点式 f(x)=a(x-x 0 ) 2 +f(x 0 )(a 0)这里 (x 0 ， f(x 0 )是二次函数的顶点， x 0 =)、 (x 2 ， f(x 2 )、 (x 3 ， f(x 3 )是二次函数图象上的不同三点，则系数 a， b， c 可由证明： 设二次三项式为： f(x)=a(x-x 1 )(x
13、-x 2 )， a N依题意知： 0 x 1 1， 0 x 2 1，且 x 1 x 2 于是有f(0) 0， f(1) 0又 f(x)=ax 2 -a(x 1 +x 2 )x+ax 1x 2 为整系数二次三项式，所以 f(0)=ax 1 x 2 、 f(1)=a (1-x 1)(1-x 2 )为正整数故 f(0) 1， f(1) 1从而 f(0) f(1) 1 另一方面，且由 x 1 x 2 知等号不同时成立，所以由 、 得， a2 16又 a N，所以 a 5说明： 二次函数是一类被广泛应用的函数，用它构造的不等式证明问题，往往比较灵活根据题设条件恰当选择二次函数的表达形式，是解决这类问题的
14、关键例 5.设等差数列 a n 的首项 a1 0 且 Sm=Sn(m n)问：它的前多少项的和最大？分析 :要求前 n 项和的最大值，首先要分析此数列是递增数列还是递减数列解 :设等差数列 a n 的公差为 d，由 Sm=Sn 得ak 0，且 ak+1 0龙文教育38 (k N)说明： 诸多数学问题可归结为解某一不等式 (组 )正确列出不等式 (组 )，并分析其解在具体问题的意义，是得到合理结论的关键例 6 若二次函数 y=f(x) 的图象经过原点，且 1 f(-1) 2， 3 f(1) 4，求 f(-2) 的范围分析： 要求 f(-2) 的取值范围， 只需找到含人 f(-2) 的不等式 (组
15、 ) 由于 y=f(x) 是二次函数， 所以应先将 f(x)的表达形式写出来即可求得 f(-2) 的表达式，然后依题设条件列出含有 f(-2) 的不等式 (组 )，即可求解解： 因为 y=f(x) 的图象经过原点，所以可设 y=f(x)=ax 2+bx 于是解法一 (利用基本不等式的性质 ) 不等式组 ( )变形得( )所以 f(-2) 的取值范围是 6， 10解法二 (数形结合 ) 龙文教育39 建立直角坐标系 aob，作出不等式组 ( )所表示的区域，如图 6 中的阴影部分因为 f(-2)=4a-2b ，所以 4a-2b-f(-2)=0 表示斜率为 2 的直线系如图 6，当直线 4a-2b-f(-2)=0 过点 A(2 ， 1)， B(3 ， 1)时，分别取得 f(-2) 的最小值 6，最大值 10即 f(-2) 的取值范围是： 6 f(-2) 10解法三 (利用方程的思想 ) 又 f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1) ，而1 f(-1) 2， 3 f(1) 4， 所以 3 3f(-1) 6 +得 4 3f(-1)+f(1) 10，即 6 f(-2) 10说明： (1)在解不等式时，要求作同解变形要避免出现以下一种错解：2b， 8 4a 12， -3
