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1、专业代码：XXXXXX学号：XXXXXXXX0X X X X 大 学（本 科）毕 业 论 文题 目：浅谈圆锥曲线在高考及竞赛中的地位与作用学 院：数学与计算机科学学院专 业：数学与应用数学年 级：YYYY 级姓 名： ZZZZ指导教师：XXXX （讲师）完成时间：2010 年 月 日2浅谈圆锥曲线在高考及竞赛中的地位与作用XXX摘要：本论文主要从高考解析几何及竞赛试题中圆锥曲线的定义、几何性质、直线和圆锥曲线的位置关系这三个方面进行了探究。其中定义的探究主要是揭示圆锥曲线的本质特征，几何性质的探究主要从方程的角度，将代数语言转化为几何语言去理解圆锥曲线的几何性质，其目的在于说明圆锥曲线在中学数
2、学中的地位与作用。关键词：圆锥曲线;椭圆；双曲线；抛物线;准线方程；焦点弦；离心率Abstract：This thesis is mainly the definition of the curve of taper from analytic geometry of college entrance examination and examination question of the contest, geometirc property, straight line, taper position relation 3 these of curve probe into. Define
3、it probes into to be to announce taper essential characteristic of curve mainly among them, to probe into, in terms of equation, turn algebra language into geometirc language go, understand the geometirc properties of curve of taper mainly geometirc property. its purpose lies in explaining taper cur
4、ve position and function in mathematics of middle school.Keyword：Curve of taper; Oval; Hyperbola; Parabola; Directrix equation; Focus string; At odds with the community or the leadership rate引言 圆锥曲线在生活或生产中被广泛应用。是一种常见的曲线，主要是椭圆、双曲线、抛物线，比如倾斜着的圆柱形水杯的水面的边界线，电影放映机的聚光灯泡的反射面是椭圆面，灯丝在一个焦点上，影片门在另一个焦点上；利用两个不同的观
5、测点测得同一炮弹爆炸的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线方程，如果在增设一个观测点还可以确定爆炸点的准确位置，这是双曲线的一个重要应用；探照灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星的天线、射电望远镜等都是利用抛物线的原理制成的。1. 圆锥曲线的定义及标准方程1.1.椭圆的定义及标准方程（1） 椭圆的第一定义：平面内与两个定点 F1，F2 的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距12F离叫做焦距.（2） 椭圆的第二定义;平面内点 M(,)与一个定点 F（c，0）的距离和它到3定直线：x= 的距离比试常数 e= (ac0)的点 M 的轨迹是椭圆，定2acca点是
6、椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数 e 是椭圆的离心率.（3） 椭圆的标准方程：焦点在 x 轴上： (ab0)焦点 (-c,0)、21yab1F（c，0） ；焦点在 y 轴上: （ab0）焦点是 （0，-c） 、2F2 1(0,c)21.2.双曲线的定义及标准方程（1） 双曲线的第一定义：平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于常数（小于 ）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线12F的焦点，两焦点的距离叫做焦距.（2） 双曲线的第二定义：平面内点 M(,)与一个定点 F（c，0）的距离和它到定直线：x= 的距离比试常数 e= (ca0)的点 M 的轨迹是双2acca曲线，
7、定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数 e 是双曲线的离心率.（3） 双曲线的标准方程：焦点在 x 轴上： （a0，b0）焦点21yab（-c，0） 、 （c，0） ；焦点在 y 轴上： （a0，b0）焦1F2 2x点 （0，-c） 、 （0， c）.12F1.3.抛物线的定义及标准方程（1） 抛物线的定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点 F 叫做抛物线的焦点.直线叫做抛物线的准线.（2） 抛物线的标准方程：焦点在 x 轴上 =2px(p0)、F( ，0)、x=- 或2y2p2p=-2px（p0） 、F(- ，0)、x= .焦点在 y 轴上 =2
8、py（p0）2y2px4F(0， )、y=- 或 =-2py（p0） 、F(0，- )、y= .2p2x2p2. 圆锥曲线的发展背景解析几何的产生：(主要是圆锥曲线)十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体试验着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。具体地说，平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有序的实数
9、对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了。从这里可以看到，运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来。解析几何的产生并不是偶然的。在笛卡尔写几何学以前，就有许多学者研究过用两条相交直线作为一种坐标系；也有人在研究天文、地理的时候，提出了一点位置可由两个“坐标” （经度和纬度）来确定。这些都对解析几何的创建产生了很大的影响。3. 圆锥曲线的意义：圆锥曲线的研究方面，高度综合了二次方程，二次不等式和二次函数等的有关知识，将繁杂的问题简单化，使问题轻松易快的得以解决，通过学习解析几何知识，
10、由于解析几何在研究数学及其他自然科学时所具有的方法论意义上的重要性；同时对解决生活中的实际问题具有深远意义。3.1. 应用“圆锥曲线”思想方法，培养学生对数学知识的记忆能力对圆锥曲线的“相伴”性质的探索中，通过对圆的相关性质与椭圆联系起来，仿照圆性质的相似性对椭圆的探索，定性分析任意离心率相等的圆锥曲线相似，如任意抛物线相似，任意圆相似等，按相似曲线的变换法定义猜测其圆锥曲线的相伴性，同时对一些其他的相似性质：正向变式（变更命题的结论，可以是纵向也可以是横向） 、逆向变式（即逆命题） 、类比引申或拓展，通过对问题的反思、回顾、总结、概括与提炼，构建自己的知识体系，整理出一类通用模型，从而培养学
11、生对数学知识的记忆能力3.2. 应用“圆锥曲线”思想方法，激发学生的学习兴趣兴趣是最好的老师，在圆锥曲线的学习过程中，繁杂问题比较多，因此主要是将代数语言转化为几何语言， （无理不等式解方程、无理函数求最值、定点5与动点求轨迹方程、焦点弦的长度、图形面积等的求法）与圆锥曲线的联系十分密切，解析几何开创了形与数的对应结合的研究方法，要在教学中渗透数形结合思想，要让学生重视数形互助，培养代数结果与几何意义互相转化的能力，让学生体会如何借助于坐标系用代数方法研究几何问题，体会这种方法所体现的数形结合思想。使问题直观、清晰、易懂、易行，这样不仅激发学生的学习兴趣，还能够达到事半功倍的效果。3.3. 应
12、用“圆锥曲线”思想方法，提高学生的理解能力和创新思维能力。由于在圆锥曲线的研究方面，高度综合了二次方程，二次不等式和二次函数的有关知识。因而在解析几何教学中，特别是在解题过程中，当采用常规方法走不通或较繁时，如果引导学生采用一种易“变通” 的方式，将一种语言“等价转化”为另一种语言，来刻画和展示命题的本质含义，就会找到更加巧妙的解题途径，从而提高学生的理解能力和创新思维能力。3.4. 应用“圆锥曲线”思想方法，培养学生的数学素质一个学生不仅要在学习成绩上好，更重要的是在学科中具有良好知识的素质，因此教师在教学中药加强这方面的培养，尤其在复杂的圆锥曲线中更应注重这样的教学，巧妙的构思，化“数”成
13、“形”的思想直观、清晰、易行，故我们在解题中要充分运用这种数学思想方法，培养学生的数学素质是抽象问题具体化，这对解题能力、逻辑思维的提高有很大的帮助。4. 中学数学中的圆锥曲线所涉及的问题在中学数学中圆锥曲线所涉及的问题十分的广泛：主要研究的是椭圆、双曲线、抛物线的轨迹方程、焦点坐标位置、准线方程位置、离心率的变化、焦点弦长的变化、直线与圆锥曲线的交点关系及直线斜率的变化情况、 （相交、相切、相离） 、过焦点弦的三角形或四边形的周长面积的求及角度的变化求解问题、过焦点的一些定理的探讨与研究。5. 圆锥曲线思想方法的地位与作用5.1. 圆锥曲线在函数中的地位与作用5.1.1 构造圆锥曲线解无理函
14、数最值问题（1）构造椭圆和抛物线求最值例 求函数 f（x）= 6x- 的最大值和最小值.（2000 年河北省高2214x中数学竞赛试题）解析：令 f（x）=t，则有 6x-t= ，令 C1：y= 6x-22x2xt，C 2：y= ，故 y 0，将 C2两边平方后，化简整理得 214 2(3)6+y2=1,如图所示，C 1表示对称轴为 x=3，开口向上的抛物线；C 2表示椭圆在 x 轴上方的图像，且 C1 与 C2有公共点。当 C1 过点（3，2）时 t=-11；当 C1 过点（3 ，0）和（3+ ，0）时，t=-7.所以2函数的最大值为-7，最小值为 -11.（2）构造双曲线求最值例 求函数
15、f(x)= 的最大值和最小值（第 14 届 2003 年“希224384xx望杯”高二）分析：令 m= ， n= （m 0， n= 0） ，则 m+n= f(x)=y22即;n=-m+y,2m 2 n 2=2,建立 mOn 坐标系，则原题转化为直线 n=m+y 与双曲线2m2 n 2=2 在第一象限（含坐标轴）内有公共点时，直线在 n 轴上的截距.如图，根据数形结合，不难看出 y 只有最小值，而无最大值，当直线过（1，0）时，y的最小值为 y=1故 f(x)= 的最小值为 1224384xx从以上几个例题中，此类问题题型新颖，构思巧妙，具有极强的探索性和开放性，其目的在于考查学生的想象能力和创
16、造能力，解决这类问题，重在对图形的观察、审视，并利用形象思维产生创意，总言之，构造圆锥曲线解决无理函数最值问题的关键在于：按照题设条件，正确选择构造方法，其方法具有较强的灵活性和创造性，是因为在解决过程中往往可以找到结论和条件的逻辑通道，使问题简洁明快地获得解决，运用这些方法加以引申、拓展能够解决更多的难题，这一专题的内容进行探讨研究，其最终目的在于说明圆锥曲线在高考及竞赛中的重要地位与作用，故值得重视。5.2. 圆锥曲线在三角形中的地位与作用 5.2.1 过圆锥曲线焦点弦的三角形的面积例（08 年宁夏）经过椭圆 的又焦点 F 作斜率为 2 的直2154xy线交椭圆与 A，B 两点，O 是坐标原点，求OAB 的面积 S分析：因为 a= ，b=2，c=1，e= ，ep= （p 为焦点 F 到相应准线的距离）515F（1，0） ，k=2，则AB 方程 y=2（x1） ，代入椭圆
