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1、OA11 OEDCBA专题四 圆开放性试题的解题思路一、方法简述由于圆图形的特殊性，在中考中经常设置为以圆为载体的几何综合题。试题可分为两类：一类是传承旧教材试题的材料观点，思维方法与命题思路，考查学生逻辑推理的能力；另一类是把它设置成开放性试题，对考查学生思维能力和创造性能力有积极的作用，是近几年中考命题的新热点，对初中数学教学产生了导向性的作用。通常这类题目有：条件开放、结论开放、条件与结论都开放、解题策略的开放等；二、具体方法1. 条件开放给出问题的结论，让解题者分析探索使结论成立应具备的条件，而满足结论的条件往往不唯一，这样的问题是条件开放的问题，从结论出发，执果索因，逆向推理，逐步探
2、求使结论成立的条件或将可能产生结论的条件一一列举，逐一分析。2. 结论开放给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往显现多样性，或者相应结论的“存在性”需要进行推断，甚至要求探求条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性问题。它要求充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论。解决这类问题的一般思路是：从剖析题意入手，充分捕捉题意信息，通过由因导果，顺向推理或联想类比、猜测等，从而获得所求的结论。三、典例分析例 1. 如图，已知点 O为 Rt ABC斜边上一点，以点 O为圆心， OA长为半径的O 与 BC相切于点 E，与 AC相交于点 D ，连接 AE. (
3、1) 求证： AE平分 CAB；(2) 探求图中1 与C 的数量关系，并求当 AE=EC时 tanC 的值 . 解： （ 1）证明：连接 OE，O 与 BC相切于点 E， OE BC。 AB BC， AB OE。 BAE= AEO。 OA=OE， 1= AEO。 1= BAE，即 AE平分 CAB。（ 2） 2 1+ C=90，33tan C 。理由如下： EOC是 AOE的外角， 1+ AEO= EOC。 1= AEO， OEC=90， 2 1+ C=90。当 AE=CE时， 1=C 2 1+ C=90， 3 C=90， C=30。 tanC=tan30=33 。评析： （ 1）连接 OE，
4、则 OE BC，由于 AB BC，故可得出 AB OE，进而可得出 BAE = AEO，由于 OA=OE，故 1= AEO，进而可得出 1= BAE。（ 2） 由三角形外角的性质可知 1+ AEO= EOC， 从而得到 2 1+ C=90； 当 AE=CE时， 1= C，再根据 2 1+ C=90即可得出C 的度数，由特殊角的三角函数值得出 tanC。例 2. 如图，直线 l 与O 交于 C、 D两点，且与半径 OA垂直，垂足为 H，已知 OD=2， O=60，（ 1）求 CD的长；（ 2）在 OD的延长线上取一点 B，连接 AB、 AD，若 AD=BD，求证： AB是O 的切线解： （ 1）
5、解： OA CD，H 为 CD的中点，即 CH=DH。在 Rt OHD中， O=60， ODH=30。又 OD=2， 121 ODOH 。根据勾股定理得： 322 OHODHD 。 CD=2HD= 32 。（ 2）证明： OA=OD， O=60， AOD 为等边三角形。 OD=AD。 OAD= ODA。又 AD=DB， DAB= DBA。 OAD+ ODA+ DAB+ DBA=2（ ODA+ DAB） =180， ODA+ DAB=90，即 OAB=90。又 OA是O 的半径， AB 为圆 O的切线。评析 （ 1）由 OA垂直于 CD，利用垂径定理得到 H为 CD的中点，在 Rt ODE中，由
6、 O=60求OPF ECMHPOHPF EDCBA出 ODH=30，根据 30角所对的直角边等于斜边的一半，由 OD的长求出 OH的长，再利用勾股定理求出 HD的长，由 CD=2HD即可求出 CD的长。（ 2）由 OA=OD且 O=60，得到 OAD 为等边三角形，可得出 AD=OD，利用等边对等角得到一对角相等， 再由 AD=DB， 利用等边对等角得到一对角相等， 又这四个角之和为 180， 等量代换可得出 OAB为直角，即 OA垂直于 AB，即可得到 AB为圆 O的切线，得证。例 3. 如图， Rt ABC 的内切圆O 与 AB、 BC、 CA分别相切于点 D、 E、 F，且 ACB 90
7、， AB 5， BC 3。点 P 在射线 AC上运动，过点 P作 PH AB，垂足为 H。（ 1）直接写出线段 AC、 AD以及O 半径的长；（ 2）设 PH x， PC y，求 y 关于 x 的函数关系式；（ 3）当 PH与O 相切时，求相应的 y 值。解： （ 1） AC=4； AD=3，O 半径的长为 1。（ 2）在 Rt ABC中， AB=5， AC=4，则 BC=3。 C=90， PH AB， C= PHA=90。 A= A， AHP ACB。ABPCACABAPBCPH ，即543yx 。 435 xy ，即 y 与 x 的函数关系式是 435 xy 。（ 3）如图， P H与O
8、相切于点 M，连接 OD， OE， OF， OM。 OMH = MH D= H DO=90， OM=OD，四边形 OMHD 是正方形。 MH =OM=1。 CE、 CF是O 的切线， ACB=90， CFO= FCE= CEO=90， CF=CE。四边形 CEOF是正方形， CF=OF=1。 P H =P M+MH =P F+FC=P C，即 x=y。又由（ 2）知， 435 xy ， 435 yy ，解得23y 。评析 （ 1）连接 AO、 DO， EO， FO，设O 的半径为 r ，在 Rt ABC中，由勾股定理得 422 BCABAC ，OF EDCB ADCO BAO 的半径 1)53
9、4(21)(21 ABBCACr CE、 CF是O 的切线， ACB=90， CFO= FCE= CEO=90， CF=CE。四边形 CEOF是正方形。 CF=OF=1。又 AD、 AF是O 的切线， AF=AD。 AF=AC-CF=AC-OF=4-1=3，即 AD=3。（ 2）通过相似三角形 AHP ACB 的对应边成比例知，ABPCACABAPBCPH ，将“ PH=x，PC=y”代入求出即可求得 y 关于 x 的函数关系式。（ 3）根据圆的切线定理证得四边形 OMH D、四边形 CFOE为正方形；然后利用正方形的性质、圆的切线定理推知 P H =P M+MH =P F+FC=P C，即
10、x=y；最后将其代入（ 2）中的函数关系式即可求得 y 值。四、巩固练习1. 如图，O 是 ABC的外接圆， AB为O 的直径，弦 CD交 AB于 E， BCD BAC . （ 1）求证： AC AD；（ 2）过点 C作直线 CF，交 AB的延长线于点 F，若 BCF 30 , 则结论“ CF 一定是O 的切线”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举反例 . 2. 如图， 在 ABC中， 点 O在 AB上， 以 O为圆心的圆经过 A， C两点， 交 AB于点 D， 已知 A= ， B= ，且 2 =900（ 1）求证： BC是O 的切线；（ 2）若 OA=6， 3sin =5，求 BC的长-
11、6 -5 -4 -3 -2 -1-6-5-4-3-2-1654321654321yxPONMOPEDCBA3. 如图，P 的圆心为 P（ 3， 2） ，半径为 3，直线 MN过点 M（ 5， 0）且平行于 y 轴，点 N在点 M的上方（ 1）在图中作出P 关于 y 轴对称的 P根据作图直接写出 P与直线 MN的位置关系（ 2）若点 N在（ 1）中的 P上，求 PN的长4. 如图，在 ABC中， AB=AC，以 AB为直径的O 交 AC于点 E，交 BC于点 D，连结 BE、 AD交于点 P. 求证：（ 1） D是 BC的中点；（ 2） BEC ADC；（ 3） AB CE=2DPADOFEDC
12、BAFOE DCBA5. 已知 ABC 内接于 O， AC 是 O 的直径， D 是 AB的中点过点 D 作 CB 的垂线，分别交 CB、 CA 延长线于点 F、 E（ 1）判断直线 EF 与 O 的位置关系，并说明理由；（ 2）若 CF 6， ACB 60，求阴影部分的面积6. 如图， 在 Rt ABC中， C为直角，以 AB上一点 O为圆心， OA长为半径的圆与 BC相切于点D，分别交 AC、 AB于点 E、 F（ 1）若 AC=8， AB=12，求 O的半径；（ 2）连接 OE、 ED、 DF、 EF若四边形 BDEF是平行四边形，试判断四边形 OFDE的形状，并说明理由OFED BCA
13、OFEDCBA7. 如图， AB是O 的弦， AB=4，过圆心 O的直线垂直 AB于点 D，交O 于点 C和点 E，连接 AC、BC、 OB， cos ACB=13，延长 OE到点 F，使 EF=2OE（ 1）求O 的半径；（ 2）求证： BF是O 的切线8. 如图，O 的直径 AB的长为 10，直线 EF经过点 B 且 CBF= CDB.连接 AD. （ 1）求证：直线 EF是O 的切线；（ 2）若点 C是弧 AB的中点， sin DAB= 35, 求 CBD的面积 . ADOFEDCBADO OOPPPCCBB B AAA9. 如图， ABC和 ABD都是O 的内接三角形， 圆心 O在边
14、AB上， 边 AD分别与 BC， OC交于 E，F 两点，点 C为 的中点（ 1）求证： OF BD；（ 2）若 FE 1ED 2，且O 的半径 R=6cm求证：点 F 为线段 OC的中点；求图中阴影部分（弓形）的面积10. 已知， AB是O 的直径，点 P 在弧 AB上（不含点 A、 B） ，把 AOP沿 OP对折，点 A的对应点 C恰好落在O 上（ 1）当 P、 C都在 AB上方时（如图 1） ，判断 PO与 BC的位置关系（只回答结果） ；（ 2）当 P在 AB上方而 C在 AB下方时（如图 2） ， （ 1）中结论还成立吗？证明你的结论；（ 3） 当 P、 C都在 AB上方时 （如图
15、3） ， 过 C点作 CD直线 AP于 D， 且 CD是O 的切线， 证明：AB=4PDF EDOCB AO DCBA专题四 圆解答题1. 解： （ 1）证明： BCD BAC， BC BD。 AB 为O 的直径， AB CD， CE DE。 AC AD。（ 2）解：不正确，如当 CAB 20时，CF不是O 的切线。如图， 连接 OC。 OC OA， OCA 20。 ACB 90， OCB 70。又 BCF 30， FCO 100。 CO与 FC不垂直 . 。此时 CF不是O 的切线 . 。2. 解： （ 1）证明：如图，连接 OC，则 BOC =2 A=2 ， BOC+ B=2 =900。 BCO=900，即 OC BC。 BC 是 的 O 切 线 。（ 2） OC=OA =6，由 (1) 知， OC BC，在 BOC
