中小学数学智力竞赛(数学逻辑推理题)

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1、全国中小学逻辑思维题（数学部分） 精选附答案 【 1】 假 设有一个池塘， 里面有无穷多的水。 现有 2 个空水壶， 容积分别为 5 升和 6 升。问题是如何只用这 2 个水壶从池塘里取得 3 升的水。解：记 5 升的水壶为 A， 6 升的水壶为 B。装满 B，将 B中水倒入 A 至 A 满，然后倒掉 A，将 B中剩余水倒入 A中，则此时 A中有水 1 升；装满 B，将 B中水倒入 A 至 A 满，然后倒掉 A，将 B中剩余水倒入 A中，则此时 A中有水 2 升；装满 B，将 B中水倒入 A 至 A 满，然后倒掉 A，将 B中剩余水倒入 A中，则此时 A中有水 3 升。【 2】 周 雯的妈妈是

2、豫林水泥厂的化验员。 一天，周雯来到化验室做作业。做完后想出去玩。 等等，妈妈还要考你一个题目， 她接着说， 你看这 6 只做化验用的玻璃杯，前面 3 只盛满了水，后面 3 只是空的。你能只移动 1 只玻璃杯，就便盛满水的杯子和空杯子间隔起来 吗 ? 爱动脑筋的周雯，是学校里有名的 小机灵 ，她只想了一会儿就做到了。请你想想看， 小机灵 是怎样做的 ? 解：将第 2 个玻璃杯中的水倒入第 5 个玻璃杯中，再将第二个玻璃杯放回。【 3】 三 个小伙子同时爱上了一个姑娘，为了决定他们谁能娶这个姑娘，他们决定用手枪进行一次决斗。小李的命中率是 30，小黄比他好些，命中率是 50，最出色的枪手是小林，

3、他从不失误，命中率是 100。由于这个显而易见的事实，为公平起见，他们决定按这样的顺序：小李先开枪，小黄第二，小林最后。然后这样循环，直到他们只剩下一个人。那么这三个人中谁活下来的机会最大呢？他们都应该采取什么样的策略？解：小李第一次肯定会对小林开枪。否则的话，如果小李一枪将小黄毙命，则自己也一定会被小林打死；如果小李没有将小黄打死【 4】 一 间囚房里关押着两个犯人。每天监狱都会为这间囚房提供一罐汤，让这两个犯人自己来分。起初，这两个人经常会发生争执，因为他们总是有人认为对方的汤比自己的多。后来他们找到了一个两全其美的办法：一个人分汤，让另一个人先选。于是争端就这么解决了。可是，现在这间囚房

4、里又加进来一个新犯人，现在是三个人来分汤。必须寻找一个新的方法来维持他们之间的和平。该怎么办呢？按：心理问题，不是逻辑问题。解： 一个人分汤，第二个人从中选一碗，第三个人从剩下的两碗中选一碗 没人要的那碗给分汤的人 （因为这碗另两个人都不想要， 所以给他别人没有意见） 把这两碗并作一碗，这样就又回归到了两个人分汤的方法上。附：按此方法，也可解决多人分汤的问题。【 5】 在 一张长方形的桌面上放了 n 个一样大小的圆形硬币。 这些硬币中可能有一些不完全在桌面内，也可能有一些彼此重叠；当再多放一个硬币而它的圆心在桌面内时，新放的硬币便必定与原先某些硬币重叠。请证明整个桌面可以用 4n 个硬币完全覆

5、盖。解：假想把这 n 个硬币的半径增大一倍 （变成 2r ） ， 则此时假想的硬币会完全覆盖桌面！否则，在没有覆盖的地方放一枚硬币，则这枚硬币不与任何硬币重叠，即与原题矛盾！这也就是说 n 个半径为 2r 的硬币可以完全覆盖桌面。 （ *）而能被半径为 2r 的圆覆盖的矩形定能被 4 个半径为 r 的圆所覆盖，这是显然的。（ * ）因为把这个矩形分成 4 个全等的小矩形后， 每个小矩形正好被半径为 r 的圆所覆盖，所以（也可以这样想：把大圆连同大矩形缩小为原来的一半，则面积变为原来的四分之一，所以） 。从这假想的 n 个大圆的每一个里取一个矩形， 则必存在一种取法能全取出的矩形能够完全覆盖桌面

6、！ （ * ）否则的话，不能覆盖的地方一定不在任何一个大圆内！ ，这与桌面被这 n 个大圆覆盖矛盾。由（ * ） 、 （ * ） 、 （ * ）论题马上得证！【 9】 一个教授逻辑学的教授，有三个学生，而且三个学生均非常聪明！一天教授给他们出了一个题，教授在每个人脑门上贴了一张纸条并告诉他们，每个人的纸条上都写了一个 正整数 ，且某两个数的和等于第三个！ （每个人可以看见另两个数，但看不见自己的）教授问第一个学生：你能猜出自己的数吗？回答：不能，问第二个，不能，第三个，不能， 再问第一个，不能，第二个，不能，第三个：我猜出来了，是 144！教授很满意的笑了。请问您能猜出另外两个人的数吗？解：第

7、一个学生的数是 54： ，第二个学生的数是： 90。为方便起见设这三个学生分别为 A， B， C。他们自己对应的数分别为 a， b， c。首先要知道：自己的数要么是另两个数的和，要么是另两个数的差！如果一个人看到两个相同的数字则马上能猜出自己的数就是这两个数之和！ （注意到正整数就可以了）第一轮中 A不知道，说明 b， c 不一样第一轮中 B不知道，说明 a， c 不一样第一轮中 C不知道，说明 a， b 不一样到此得知 a， b， c 都不一样！第二轮：若 A 知道的话，则必有： b=n， c=2n（或对调）推出 a=3n。因为若 a=n，第一轮中就会有人猜出！因为 A不知道，所以 b， c

8、 一定不是 1： 2（或 2： 1）的关系。所以若 B知道的话，则必有： a=3n， c=2n 推出 b=5n（或 a=3n， c=n 推出 b=4n） 。因为 B不知道，所以 a， c 一定不是 3： 2（或 3： 1）的关系。而此时 C知道了，所以必有 a=3n， b=5n推出 c=8n（或 a=3n， b=4n推出 c=7n） 。而 7 不整除 144，所以 a， b， c 的比例为 3： 5： 8 所以 a=54， b=90， c=144。附：此题类似数学中的递归，再推荐一道与此题相似的题目：村子里有 100 对夫妻，其中每个丈夫都瞒着自己的妻子偷情。村里的每个妻子都能立即发现除自己丈

9、夫之外的其他男人是否偷情，唯独不知道她自己的丈夫到底有没有偷情。村里的规矩不容忍通奸。任何一个妻子，一旦能证明自己的男人偷情，就必须当天把他杀死。村里的女人全都严格照此规矩办事。一天，女头领出来宣布，村里至少有一个丈夫偷情。请问接下来会发生什么事？答案： 这是一个典型的递归问题。一旦所有的妻子都知道至少有一个男人出轨， 我们就可以按递归方式来看待这个流程。 先让我们假设只有一个丈夫偷情。 则他的妻子见不到任何偷情的男人， 因此知道这个人就是自己丈夫，她当天就会杀了他。假如有两个丈夫偷情， 则他俩的妻子只知道不是自己丈夫的那一个男人偷情。 因此她会等上一天看那个人有没有被杀死。 假如第一天没人被

10、杀死， 她就能确定她自己的丈夫也偷了情。依此类推，假如有 100 个丈夫偷情，则他们能安全活上 99 天，直到100 天时，所有妻子把他们全都杀死。【 29】1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 下一行是什么？解：312211 解释：下一行是对上一行数字个数的统计！ （这个题我可没做出来哦）【 34】 一个巨大的圆形水池，周围布满了老鼠洞。猫追老鼠到水池边，老鼠未来得及进洞就掉入水池里。猫继续沿水池边缘企图捉住老鼠（猫不入水） 。已知 V 猫=4V鼠。问老鼠是否有办法摆脱猫的追逐？解：能。如下图，老鼠只要在 浅蓝 色环形带状区域内跑，就会把猫甩到最远（最远是指：猫鼠圆心在

11、同一直线上且猫鼠位于圆心两侧，此过程中鼠都在带状区域内，当然在带状区域内部也可以达到此目的， 但却不一定跑得掉， 不过在内部会有更优异的方法，此处不提） ，然后鼠马上跑到岸边就可以了。其中 OA 4 ,OB 1,OC 4OA指深蓝色圆的半径OB指浅蓝色圆环外沿到圆心的长度OC指大圆（水池）半径这时的数字只是比例。此处我再提一个问题：如果老鼠发出点在圆心，那么它跑到岸上而不被猫捉到的最短时间是多少？方案是什么样的？这个题是临时想到的，也许用中学方法无法解决。自己也还没有计算呢。对于有关爱因斯坦那些题，都是关系较多的推断题，但并不难，只要细心、耐心都能做的出来。只不过有快慢之罢了，所以在这不给出答

12、案。望自己做一下，挺有意思的。对于其它题的答案在此也不一一给出。所有题目如下：【 1】 假设有一个池塘， 里面有无穷多的水。 现有 2 个空水壶， 容积分别为 5 升和 6 升。问题是如何只用这 2 个水壶从池塘里取得 3 升的水。【 2】周雯的妈妈是豫林水泥厂的化验员。 一天，周雯来到化验室做作业。做完后想出去玩。 等等，妈妈还要考你一个题目， 她接着说， 你看这 6 只做化验用的玻璃杯，前面 3 只盛满了水，后面 3 只是空的。你能只移动 1 只玻璃杯，就便盛满水的杯子和空杯子间隔起来 吗 ? 爱动脑筋的周雯，是学校里有名的 小机灵 ，她只想了一会儿就做到了。请你想想看， 小机灵 是怎样做

13、的 ? 【 3】三个小伙子同时爱上了一个姑娘，为了决定他们谁能娶这个姑娘，他们决定用手枪进行一次决斗。小李的命中率是 30，小黄比他好些，命中率是 50，最出色的枪手是小林，他从不失误，命中率是 100。由于这个显而易见的事实，为公平起见，他们决定按这样的顺序：小李先开枪，小黄第二，小林最后。然后这样循环，直到他们只剩下一个人。那么这三个人中谁活下来的机会最大呢？他们都应该采取什么样的策略？【 4】一间囚房里关押着两个犯人。每天监狱都会为这间囚房提供一罐汤，让这两个犯人自己来分。起初，这两个人经常会发生争执，因为他们总是有人认为对方的汤比自己的多。后来他们找到了一个两全其美的办法：一个人分汤，

14、让另一个人先选。于是争端就这么解决了。可是，现在这间囚房里又加进来一个新犯人，现在是三个人来分汤。必须寻找一个新的方法来维持他们之间的和平。该怎么办呢？按：心理问题，不是逻辑问题【 5】在一张长方形的桌面上放了 n 个一样大小的圆形硬币。这些硬币中可能有一些不完全在桌面内，也可能有一些彼此重叠；当再多放一个硬币而它的圆心在桌面内时，新放的硬币便必定与原先某些硬币重叠。请证明整个桌面可以用 4n 个硬币完全覆盖【 6】一个球、一把长度大约是球的直径 2/3 长度的直尺 . 你怎样测出球的半径？方法很多，看看谁的比较巧妙【 7】五个大小相同的一元人民币硬币。要求两两相接触，应该怎么摆？【 8】猜牌

15、问题S 先生、 P 先生、 Q先生他们知道桌子的抽屉里有 16 张扑克牌：红桃 A、 Q、 4 黑桃 J、8、 4、 2、 7、 3 草花 K、 Q、 5、 4、 6 方块 A、 5。约翰教授从这 16 张牌中挑出一张牌来，并把这张牌的点数告诉 P 先生，把这张牌的花色告诉 Q先生。这时，约翰教授问P 先生和 Q 先生：你们能从已知的点数或花色中推知这张牌是什么牌吗？ 于是， S 先生听到如下的对话： P先生：我不知道这张牌。Q先生：我知道你不知道这张牌。P先生：现在我知道这张牌了。Q先生：我也知道了。听罢以上的对话， S先生想了一想之后，就正确地推出这张牌是什么牌。请问：这张牌是什么牌？【

16、9】一个教授逻辑学的教授，有三个学生，而且三个学生均非常聪明！一天教授给他们出了一个题，教授在每个人脑门上贴了一张纸条并告诉他们，每个人的纸条上都写了一个正整数， 且某两个数的和等于第三个！ （每个人可以看见另两个数，但看不见自己的）教授问第一个学生：你能猜出自己的数吗？回答：不能，问第二个，不能，第三个，不能，再问第一个，不能，第二个，不能，第三个：我猜出来了，是 144！教授很满意的笑了。请问您能猜出另外两个人的数吗？【 10】某城市发生了一起汽车撞人逃跑事件该城市只有两种颜色的车 , 蓝色 15% 绿色 85% 事发时有一个人在现场看见了他指证是蓝车但是根据专家在现场分析 , 当时那种条件能看正确的可能性是 80% 那么 , 肇事的车是蓝车的概率到底是多少 ? 【 11】有一人有 240 公斤水，他想运往干旱地区赚钱。他每次最多携带 60 公斤，并且每前进一公里须耗水 1 公斤（均匀耗