中考数学中的开放性问题_3

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1、EDCOBA（图 4）中考数学中的开放性问题江苏省泰州市九龙实验学校 顾广林（此文在国家级核心期刊中学数学教学参考 2007.4 上发表）新课程标准把逐步形成数学创新意识列为教学目标 ,各地中考数学命题为了实现这个目标都做了有益的尝试 ,并在不同程度上给予体现 ,主要表现在涌现出不少别具创意、 独特新颖的探索规律、 条件、 结论的开放性问题。这类试题不仅考查了学生观察、实验、类比、归纳、猜想、判断、探究等能力而且把解题的过程、考试的过程，变成了学生研究的过程，变成了探索规律、发现规律的过程。尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用 .下面例析活跃在 2006 年中考数学试题中的开放

2、性试题 . 一、开放题常见的题型开放性试题从结构特征上看主要分为三类：条件开放题、结论开放题及条件和结论都开放的试题。开放题是相对于传统的封闭题而言的，其显著特征是问题的答案不唯一（开放性） ，并且在设问方式上要求学生进行多方面、多角度、多层次探索1条件开放型例 1 （ 2006 海口）如图， D、 E 分别在 AC、 AB上，且 DE与 BC不平行，请填上一个你认为合适的条件：_，使得 ADE ABC. 分析：这是一道条件开放题，只要寻求其成立的一个充分条件即可 . 如 ADE= B 或AED= C或 AD： AB=AE： AC等 B或 AED= C或 AD： AB=AE： AC等 . 评注

3、：在上述问题中，结论已知，而条件需探求，并且具有开放性，这类问题称为条件开放题在解决此类问题时，通常采取执果索因的策略进行探求这类题型虽然考查的都是基础知识，但是给学生较大的思考空间，不是被动地套用解题模式，而是在问题情景中创造性地解决问题 . 2结论开放型例 2 （ 2006 南昌）如图 AB 是 O 的直径， BC 是 O 弦 OD CB 于点 E，交 BC 于点 D（ 1）请写出三个不同类型的正确结论：（ 2）连结 CD，设 CDB= ， ABC= ，试找出 与 之间的一种关系式并给予证明 . 解： （ 1）不同类型的正确结论不惟一以下答案供参考： BE = CE； BD = CD ；

4、BED = 90； BOD = A； AC OD； AC BC； 2 2 2OE BE OB ； S ABC = BC OE； BOD 是等腰三角形； BOE BAC；等等（ 2） 与 的关系式主要有如下两种形式答； 与 之间的关系式为 - =90 .证明： AB 为 O 的直径， A+ ABC=90又四边形 ACDB 为圆的内接四边形， A+ CDB=180 CDB- ABC=90 , 即 - = 90 . 答 与 之间的关系式为 2 . 证明 OD=OB， ODB= OBD又 OBD= ABC+CBD ， ODB ABC OD BC ， CD BD ， CD=BD CDO= ODB= 12

5、 CDB ， 12 CDB ABC，即 2 评注：本题是在一定条件下，探求问题的结论，属于结论开放题解决此类问题时，通常采用由因导果的策略进行探求。这类问题结论开放，学生可自主探索，自由发展，而第（ 2）小问中渗透的开放性问题，对知识的整合大有裨益。 解决这类问题的关键是通过观察、 分析， 发现图形所具有的特征及其中隐含的关系 这道开放题留给学生很大的想象空间 . 充分显示出思维的多样性，同时也体现了不同学生对数学学习的个性化 .教学中要引导学生多角度、多层次、多渠道地解答开放性的问题，培养学生的个性，从而全方位培养学生的创造能力 . A B C D E 3条件和结论都开放型例 3（ 2006

6、 汉川）如图，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题 _. (1)AE=AD (2)AB=AC (3)OB=OC (4) B= C 分析： ，四个条件任取二个，共有 6 种不同的组合要求写出相应的 6 种命题并一一进行研究，这是一个很有价值的研究性课题本题中只要求写出一个命题，具有明显的开放性通过证明 ABE ACD，即可组建真命题（ 1） （ 2）（ 4） ； （ 2） （ 4） （ 1） ； （ 1） （ 4） （ 2）等。点评：本题是条件和结论都开放的试题，可以充分考查学生对几何知识点的整合能力，它一改过去的传统模式，鼓励探究、关注过程，体现了“不同的

7、人在数学上得到不同的发展”这一新课程理念。这类开放性试题旨在让学生经历多角度认识问题，多策略思考问题，尝试解释不同答案合理性的数学活动，培养和提高创新意识及自主探索新知识的能力 . 二、按知识分类操作设计类开放题例 8 （ 2006 大连）如图 -l ， P 为 Rt ABC所在平面内任意一点 ( 不在直线 AC上 ) ， ACB=90， M为 A B 边中点操作：以 PA、 PC为邻边作平行四边形 PADC，连结 PM并延长到点 E，使 ME=PM，连结 DE 探究： (1)请猜想与线段 DE有关的三个结论； (2) 请你利用图 2、 图 3选择不同位置的点 P按上述方法操作； (3)经历

8、(2) 之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图 2或图 3 加以说明； ( 注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分 ) (4) 若将 Rt ABC改为“任意 ABC， 其他条件不变， 利用图 -4 操作， 并写出与线段 DE有关的结论 ( 直接写答案 ) 分析： (1)DE BC， DE=BC， DE A C (2) 如图 4、如图 5(3) 不同的方法见图评注：本题是一道操作型试题，这类问题的方案往往具有很强的开放性本题中已经就直角三角形的情形给出了提示，这样就降低了问题的开放性与难度数学课程标准明确提出“动手实践”是学生学习数学三种重要方

9、式之一。所以，数学学习无论是内容还是方法都要重视“实验” ，在“实验操作”中使学习活动成为一个生动活泼、主动并富有个性的过程，以D A B C E O 后这方面考查的力度会增强，因此教学中要注重实践活动，落实动手能力。例 4（ 2006 潍坊）如图 5，河边有一条笔直的公路 l ，公路两侧是平坦的草地在数学活动课上，老师要求测量河对岸 B 点到公路的距离，请你设计一个测量方案要求：（ 1）列出你测量所使用的测量工具；（ 2）画出测量的示意图，写出测量的步骤；（ 3）用字母表示测得的数据，求出 B 点到公路的距离解： （ 1）测角器、尺子；（ 2）测量示意图见右图，测量步骤如下：在公路上取两点

10、C D， ，使 BCD BDC， 为锐角；用测角器测出 BCD ，BDC ；用尺子测得 CD 的长，记为 m 米；计算求值（ 3）解：设 B 到 CD 的距离为 x 米，作 BA CD 于点 A，在 CAB 中， tanx CA ，在 DAB 中， tanx AD ，tan tanx xCA AD， ， CA AD m ， tan tanx x m ， tan tantan tanmx 评注：本题要求设计的测量方案具有开放性，因此该题属于设计方案类开放题解决此类问题，往往采用构造数学模型的策略来进行求解2猜想型开放题例 6. （ 2006 济南）定义一种对正整数 n 的“ F”运算：当 n 为

11、奇数时，结果为 3n 5；当 n 为偶数时，结果为 kn2 （其中 k 是使 kn2 为奇数的正整数） ，并且运算重复进行例如，取 n 26，则：若 n 449，则第 449 次“ F 运算”的结果是 _解析：根据定义的“ F”运算算几步： 449 1815121691352 81 ，就会发现规律，结果是 8. 点评：所谓猜想归纳，是指通过对已给出的材料和信息对研究的对象进行观察、实验、比较、归纳和分析综合，作出符合一定规律与事实的推测性想象，从而发现一般规律。它是发现和认识规律的重要手段 . 平时的教学不能局限于课本，可以设计一些猜想性、类比性的活动，让学生经历一个观察、试验等活动过程，在活

12、动中通过对大量特殊情形的观察猜想出一般情形的结论，从而探索事物的内在规律 . 3概率类开放题例 5 （ 2006 泰州）三人相互传球，由甲开始发球，并作为第一次传球（ 1）用列表或画树状图的方法求经过 3 次传球后，球仍回到甲手中的概率是多少？（ 2）由（ 1）进一步探索：经过 4 次传球后，球仍回到甲手中的不同传球的方法共有多少种？（ 3）就传球次数 n 与球分别回到甲、乙、丙手中的可能性大小，提出你的猜想（写出结论即可） 分析： （ 1）易得三次传球后 P(球回到甲手中 )=1/4 (2) 经过 4 次传球后球仍然回到甲手中的不同传球方法共有 6 种(3) 猜想： 当 n 为奇数时， P(

13、球回到甲手中 )P( 球回到乙手中 )=p( 球回列丙手中 )评注：本题（ 1）是常规的概率计算； （ 2）是在（ 1）基础上的进一步探索； （ 3）则是在前两问之下让你“提出你的猜想” 这个过程蕴含着发现数学结论的策略和方法，能够有效地考查学生的推理和探究能力。事实上，出活题，考能力，一直是中考命题的方向，许多中考试卷把改变问题的叙述方法，使问题具有开放性，着力考查学生的数学探究能力放在重要位置，这样既提高了数学试卷在考查学生数学能力方面的效度和区分度，又有利于促使教师在教学中重视数学知识的发生、发展过程，发展学生的数学素养，提高教学质量。4几何推理开放题（ 2006 江西 ）问题背景 某课

14、外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题 ：26 13 44 11 第一次F第二次F 第三次F ,公路 lBC A D （图 5） 如图 1，在正三角形 ABC 中， M、 N 分别是 AC、 AB上的点， BM 与 CN 相交于点 O，若 BON = 60，则 BM = CN. 如图 2，在正方形 ABCD 中， M、 N 分别是 CD、 AD上的点， BM 与 CN 相交于点 O，若 BON = 90 ,则 BM = CN. 然后运用类比的思想提出了如下的 命题： 如图 3， 在正五边形 ABCDE 中， M、 N 分 别 是 CD 、DE 上的点， BM 与 CN 相交于点 O， 若

15、 BON = 108，则 BM = CN. 任务要求（ 1） 请你从、 、 三个命题中选择一 个进行证明；（ 2）请你继续完成下面的探索： 如图 4，在正 n（ n 3）边形ABCDEF, 中， M、 N 分别是 CD、 DE 上的点， BM 与 CN 相交于点 O，问当 BON 等于多少度时，结论 BM = CN 成立？（不要求证明） 如图 5， 在正五边形 ABCDE 中， M、 N 分别是 DE、 AE 上的点， BM 与 CN 相交于点 O，当 BON = 108时，请问结论 BM = CN 是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由 . （ 1）我选 . 分析： （ 1） 命题只要证明 BCM CAN. 命题只要证明 BCM CDN. 命题只要证明 BCM CDN. 图 3ODENMCBA图 2NM图 1OAB CDONMCBA图 5ODEN MCBA（ 2） 当 BON = ( 2) 180nn时，结论 BM = CN 成立 . , 2