圆形薄板在均布载荷作用下的挠度

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1、78 第 四 节 平 板 应 力 分 析3. 4 平 板 应 力 分 析3. 4. 1 概 述3. 4. 2 圆 平 板 对 称 弯 曲 微 分 方 程3. 4. 3 圆 平 板 中 的 应 力3. 4. 4 承 受 对 称 载 荷 时 环 板 中 的 应 力3. 4. 1 概 述1、 应 用 ： 平 封 头 ： 常 压 容 器 、 高 压 容 器 ；贮 槽 底 板 ： 可 以 是 各 种 形 状 ；换 热 器 管 板 ： 薄 管 板 、 厚 管 板 ；板 式 塔 塔 盘 ： 圆 平 板 、 带 加 强 筋 的 圆 平 板 ；反 应 器 触 媒 床 支 承 板 等 。2、 平 板 的 几 何

2、特 征 及 平 板 分 类几 何 特 征 ： 中 面 是 一 平 面 厚 度 小 于 其 它 方 向 的 尺 寸 。分 类 ： 厚 板 与 薄 板 、 大 挠 度 板 和 小 挠 度 板 。t / b 1/ 5 时 ( 薄 板 )w/ t 1/ 5 时 （ 小 挠 度 ） 按 小 挠 度 薄 板 计 算3、 载 荷 与 内 力载 荷 ： 平 面 载 荷 ： 作 用 于 板 中 面 内 的 载 荷 横 向 载 荷 垂 直 于 板 中 面 的 载 荷 复 合 载 荷内 力 ： 薄 膜 力 中 面 内 的 拉 、 压 力 和 面 内 剪 力 ， 并 产 生 面 内 变 形 弯 曲 内 力 弯 矩 、

3、 扭 矩 和 横 向 剪 力 ， 且 产 生 弯 扭 变 形 当 变 形 很 大 时 ， 面 内 载 荷 也 会 产 生 弯 曲 内 力 ， 而 弯 曲 载 荷 也 会 产 生 面 内 力 ， 所 以 ，大 挠 度 分 析 要 比 小 挠 度 分 析 复 杂 的 多 。ozyx图 2-28 薄板79 本 书 仅 讨 论 弹 性 薄 板 的 小 挠 度 理 论 。4、 弹 性 薄 板 的 小 挠 度 理 论 基 本 假 设 - - - 克 希 霍 夫 Ki r chhof f 板 弯 曲 时 其 中 面 保 持 中 性 ， 即 板 中 面 内 各 点 无 伸 缩 和 剪 切 变 形 ， 只 有

4、沿 中 面 法线 w 的 挠 度 。 只 有 横 向 力 载 荷 变 形 前 位 于 中 面 法 线 上 的 各 点 ， 变 形 后 仍 位 于 弹 性 曲 面 的 同 一 法 线 上 ， 且 法 线 上各 点 间 的 距 离 不 变 。类 同 于 梁 的 平 面 假 设 : 变 形 前 原 为 平 面 的 梁 的 横 截 面 变 形 后 仍 保 持 为 平 面 ， 且 仍然 垂 直 于 变 形 后 的 梁 轴 线 。 平 行 于 中 面 的 各 层 材 料 互 不 挤 压 ， 即 板 内 垂 直 于 板 面 的 正 应 力 较 小 ， 可 忽 略 不 计 。 研 究 : 弹 性 , 薄 板

5、/ 受 横 向 载 荷 / 小 挠 度 理 论 / 近 似 双 向 弯 曲 问 题3. 4. 2 圆 平 板 对 称 弯 曲 微 分 方 程分 析 模 型t/2t/2zr+drddzQr drtrQr +PMMr MdPTMMQroora.b.c.d.p zMrrdQrdr drdrMr +dMr drdMrMr + dr drdrQr +dQr dryRr分 析 模 型 ： 半 径 R， 厚 度 t 的 圆 平 板 受 轴 对 称 载 荷 Pz， 在 r 、 、 z 圆 柱 坐 标 系 中 ，内 力 Mr 、 M 、 Qr 三 个 内 力 分 量轴 对 称 性 ： 几 何 对 称 ， 载 荷

6、 对 称 ， 约 束 对 称 ， 在 r 、 、 z 圆 柱 坐 标 系 中 ， 挠 度 w 只是 r 的 函 数 ， 而 与 无 关 。求 解 思 路 ： 经 一 系 列 推 导 （ 基 于 平 衡 、 几 何 、 物 理 方 程 ） 弯 曲 挠 度 微 分 方 程 （ zp w ） 求 w 求 内 力 rM M、 求 应 力 r 、80 微 元 体 ： 用 半 径 为 r 和 r +dr 的 圆 柱 面 和 夹 角 为 d 的 两 个 径 向 截 面 截 取 板 上 一 微 元体 。微 元 体 内 力 ：径 向 ： Mr 、 Mr +（ dMr / dr ） dr周 向 ： M 、 M横

7、向 剪 力 ： Qr 、 Qr +（ dQr / dr ） dr微 元 体 外 力 ：上 表 面 zP p rd drdzQr drtrQr +PMMr MPMorc.MrrdQrdr drdrMr +dMr drdMrMr + drdrQr +dQ rdry1、 平 衡 方 程微 体 内 力 与 外 力 对 圆 柱 面 切 线 T 的 力 矩 代 数 和 为 零 ， 即 MT=0t/2t/2zr+drddzdooa.b.ryRr81 2 sin 02 2rr r r zdM d drM dr r dr d M rd M dr Q rd dr p rd drdr0rr rdMM r M Q r

8、dr（ 2- 54）（ 圆 平 板 在 轴 对 称 载 荷 下 的 平 衡 方 程 ）2、 几 何 协 调 方 程 ( W )取 AB dr ， 径 向 截 面 上 与 中 面 相 距 为 z， 半 径 为 r 与 r dr 两 点 A与 B构 成 的 微 段板 变 形 后 ：zr+drddzQr drtMMr MdPTMMQroora.b.c.d.MrrdMrMr + dr drdrQr +dQr dryrdr drrn1nz A Bm m1+ddn n 1ABzzm1mza.b.rww82 微 段 的 径 向 应 变 为 r z d z dzdr dr（ 第 2 假 设 ）过 A 点 的

9、周 向 应 变 为 2 22r z rzr r（ 第 1 假 设 ）作 为 小 挠 度 dwdr， 带 入 以 上 两 式 ， 得应 变 与 挠 度 关 系 的 几 何 方 程 ：22rd wzdrz dwr dr（ 2- 55）3、 物 理 方 程根 据 第 3 个 假 设 ， 圆 平 板 弯 曲 后 ， 其 上 任 意 一 点 均 处 于 两 向 应 力 状 态 。 由 广 义 虎 克 定律 可 得 圆 板 物 理 方 程 为 ：2211r rrEE（ 2- 56）4、 圆 平 板 轴 对 称 弯 曲 的 小 挠 度 微 分 方 程( 2- 55) 代 入 ( 2- 56) 式 ：22 2

10、22 2111rE z d w dwdr r drE z dw d wr dr dr（ 2- 57）通 过 圆 板 截 面 上 弯 矩 与 应 力 的 关 系 ， 将 弯 矩 rM 和 M 表 示 成 w 的 形 式 。 由 式 （ 2- 57）可 见 ， r 和 沿 着 厚 度 ( 即 z 方 向 ) 均 为 线 性 分 布 ， 图 2- 31 中 所 示 为 径 向 应 力 的 分 布 图 。83 r 、 的 线 性 分 布 力 系 便 组 成 弯 矩 rM 、 M 。 单 位 长 度 上 的 径 向 弯 矩 为 ：222 22 22 2 1t tt tr rE d w dwM zdz z

11、 dzdr r dr22rd w dwM Ddr r dr（ 2- 58a）同 理221 dw d wM Dr dr dr（ 2- 58b）3212 1EtD参 照 38 页 壳 体 的 抗 弯 刚 度 ， “ 抗 弯 刚 度 ” 与 圆 板 的 几 何 尺 寸 及 材 料 性 能 有 关( 2- 58) 代 入 ( 2- 57) ， 得 弯 矩 和 应 力 的 关 系 式 为 ：331212rrM ztM zt（ 2- 59）( 2- 58) 代 入 平 衡 方 程 ( 2- 54) ， 得 ：3 23 2 21 1 rQd w d w dwdr r dr r dr D即 ： 受 轴 对 称

12、 横 向 载 荷 圆 形 薄 板 小 挠 度 弯 曲 微 分 方 程 ：1 rQd d drdr r dr dr D（ 2- 60）Qr 值 可 依 不 同 载 荷 情 况 用 静 力 法 求 得3. 4. 3 圆 平 板 中 的 应 力 （ 圆 平 板 轴 对 称 弯 曲 的 小 挠 度 微 分 方 程 的 应 用 ）承 受 均 布 载 荷 时 圆 平 板 中 的 应 力 ： 简 支 固 支承 受 集 中 载 荷 时 圆 平 板 中 的 应 力图 2-31 圆平板内的应力与内力之间的关系MrMrz zo orrt/2t/2ldzz84 一 、 承 受 均 布 载 荷 时 圆 平 板 中 的

13、应 力据 图 2- 32， 可 确 定 作 用 在 半 径 为 r 的 圆 柱 截 面 上 的 剪 力 ， 即 ：22 2rr p prQr代 入 2- 60 式 中 ， 得 均 布 载 荷 作 用 下 圆 平 板 弯 曲 微 分 方 程 为 ：12d d dw prrdr r dr dr D对 r 连 续 两 次 积 分 得 到 挠 曲 面 在 半 径 方 向 的 斜 率 ：31 216 2C r Cdw prdr D r（ 2- 61）对 r 连 续 三 次 积 分 ， 得 到 中 面 在 弯 曲 后 的 挠 度 。2412 3ln64 4C rprw C r CD（ 2- 62）C1、

14、C2、 C3 均 为 积 分 常 数 。对 于 圆 平 板 在 板 中 心 处 （ r =0） 挠 曲 面 之 斜 率 与 挠 度 均 为 有 限 值 ， 因 而 要 求 积 分 常 数C2 0 ， 于 是 上 述 方 程 改 写 为 ：31241316 264 4C rdw prdr DC rprw CD（ 2- 63）式 中 C1、 C3 由 边 界 条 件 确 定 。下 面 讨 论 两 种 典 型 支 承 情 况 ( 两 种 边 界 条 件 ) 周 边 固 支 圆 平 板 周 边 简 支 圆 平 板图 2-32 均布载荷作用时圆板内 Qr的确定rMrQrQrMrOr85 周 边 固 支

15、圆 平 板 周 边 简 支 圆 平 板图 2- 33 承 受 均 布 横 向 载 荷 的 圆 板1、 周 边 固 支 圆 平 板 ： （ 在 支 承 处 不 允 许 有 挠 度 和 转 角 ）周 边 固 支 圆 平 板, 0, 0dwr Rdrr R w将 上 述 边 界 条 件 代 入 式 （ 2- 63） ， 解 得 积 分 常 数 ：2143,864pRCDpRCD代 入 式 （ 2- 63） 得 周 边 固 支 平 板 的 斜 率 和 挠 度 方 程 ：2 222 21664dw prR rdr Dpw R rD（ 2- 64）将 挠 度 w对 r 的 一 阶 导 数 和 二 阶 导

16、数 代 入 式 （ 2- 58） ， 便 得 固 支 条 件 下 的 周 边 固 支圆 平 板 弯 矩 表 达 式 ：Rpa. b.RzrrRRzpa .RrRRzp86 2 22 21 3161 1 316rpM R rpM R r（ 2- 65）由 此 （ 代 入 2- 59） 弯 曲 应 力 计 算 试 ， 可 得 r 处 上 、 下 板 面 的 应 力 表 达 式 ：222 2262 2263 1 383 1 1 38rr ttM p R rtM p R rt（ 2- 66）周 边 固 支 圆 平 板 下 表 面 的 应 力 分 布 ， 如 图 2- 34( a) 所 示 。最 大 应 力 在 板 边 缘 上 下 表 面 ， 即22max34rpRt2、 周 边 简 支 圆 平 板将 上 述 边 界 条 件 代 入 式 （ 2- 63） ， 解 得 积 分 常 数 C1、 C3：代 入