数字信号处理第三版西安科大出版高西全丁玉美课后答案第5章[1]

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1、第5章时域离散系统的网络结构及 数字信号处理的实现,4.1教材第5章学习要点4.2按照系统流图求系统函数或者差分方程4.3按照系统函数或者差分方程画系统流图4.4例题4.5教材第 5 章学习要点4.6教材第 5 章习题与上机题解答,4.1 教材第5章学习要点数字信号处理系统设计完毕后， 得到的是该系统的系统函数或者差分方程， 要实现还需要按照系统函数设计一种具体的算法。 不同的算法会影响系统的成本、 运算的复杂程度、 运算时间以及运算误差等。 教材第5章的学习要点如下： (1) 由系统流图写出系统的系统函数或者差分方程。,(2) 按照FIR系统的系统函数或者差分方程画出其直接型、 级联型和频率

2、采样结构、 FIR线性相位结构以及用快速卷积法实现FIR系统。 (3) 按照IIR系统的系统函数或者差分方程画出其直接型、 级联型、 并联型。 (4) 一般了解格型网络结构， 包括全零点格型网络结构系统函数、 由FIR直接型转换成全零点格型网络结构； 全极点格型网络结构及其系统函数。,4.2 按照系统流图求系统的 系统函数或者差分方程具体的网络结构一般用流图表示。 掌握教材第5章内容就是必须能根据流图正确地求出系统函数。 求系统函数的方法在先修课“信号与系统”中已讲过， 这里仅帮助大家复习。 求系统函数的方法有两种。 一种是先根据流图写出各节点的节点方程， 联立节点方程， 求出输入和输出之间的

3、关系， 得到系统函数； 另一种是根据梅荪（Masson）公式直接写出系统函数。 显然， 后一种简单。 下面仅介绍根据Masson公式直接写出系统函数的方法。,按照梅荪公式写出系统函数为,式中， 称为流图特征式， 其计算公式如下：,式中, 表示所有的环路增益之和； 表示所有的每两个互不接触的环路增益乘积之和；表示所有的每三个互不接触的环路增益乘积之和； Tk表示从输入节点到输出节点的第k条前向支路的增益； k表示不与第k条前向通路接触的值。下面用例题说明利用梅荪公式直接写系统函数的方法。,例4.2.1 写出图4.2.1 中流图的系统函数。,图4.2.1,解： 该流图有两个环路， 一个是w2w2w

4、2， 另一个是w2w2w1w2， 环路增益分别为a1z1和a2z2。 没有互不接触的环路， 这样流图特征式为=1(a1z1a2z2)=1+a1z1+a2z2流图中有三条前向通路： 第一条T1是x(n)w2y(n)， 它的增益是T1=b0； 第二条T2是x(n)w2w2y(n)， 它的增益是T2=b1z1； 第三条T3是x(n)w2w2w1y(n)， 它的增益是T3=b2z2。,流图中的两个环路均与所有的前向通路相接触， 因此对应于三条前向通路的1=1， 2=1，3=1。 这样可以直接写出该流图的系统函数为,4.3 按照系统函数或者差分方程画系统流图 按照系统函数设计系统的实现方法主要依据的是系

5、统函数的特点和要求， 画出系统流图， 然后根据流图设计用硬件或软件进行实现。 系统的网络结构有很多， 但最基本的是FIR和IIR网络结构。 这两类结构各有特点。 FIR结构一般没有反馈回路， 单位脉冲响应是有限长的， 系统稳定， 但相对IIR结构， FIR结构的频率选择性不高， 换句话说， 要求频率选择性高时， 要求FIR有很高的阶数。,FIR中主要有直接型结构、 线性相位结构和频率采样结构。 IIR网络结构主要有直接型结构、 级联型结构和并联型结构。 IIR网络结构有反馈回路， 单位脉冲响应是无限长的， 存在稳定性问题， 但频率选择性高。 画这些结构的流图时， 最好能熟悉前一节介绍的梅荪公式

6、， 这样画起来得心应手。,4.3.1 FIR中的线性相位结构 FIR线性相位系统具有以下特点:(1) FIR线性相位系统单位脉冲响应满足下式: h(n)=h(Nn1)式中, h(n)是实序列; N表示序列的长度。 该式说明h(n)对序列的(N1)/2位置偶对称（公式中取“”号）或奇对称（公式中取“”号）。 (2) FIR线性相位系统系统函数满足下面公式:,N为偶数,N为奇数,(3) FIR线性相位系统零点分布具有四个一组的特点， 即如果z1是零点， 那么z1*、 z11、 (z11)*也是零点。 以上三点的分析和公式推导请参考教材第5章内容。 只要满足上面任意一个特点， 就可以判断该系统具有线

7、性相位的特点。 按照该系统函数的特点， 就可以构成它的线性相位结构， 因此并不是所有FIR系统都能形成线性相位结构。 线性相位结构的优点是能节约近一半的乘法器。,4.3.2 FIR中的频率采样结构 由频率采样定理得到公式：,式中, H(k)是在02区间对传数函数等间隔采样N点的采样值， 可以对单位脉冲响应h(n)进行DFT得到。 这里要注意采样点数必须大于等于h(n)的长度， 否则会发生时域混叠现象。 因为IIR系统的单位脉冲响应是无限长的， 因此不能用频率采样结构实现。,该公式是频率采样结构的基本公式， 但它是一个不考虑稳定性， 又可以应用复数乘法器的公式。为了稳定， 且使用实数乘法器， 应

8、使用如下公式： 当N为偶数时，,当N为奇数时，,式中a0k=2ReH(k),4.3.3 IIR中的级联结构和并联结构IIR基本结构有直接型、 级联型和并联型。 一般低阶的用直接型， 高阶的用级联型或并联型。 在设计级联型结构时， 需要将分子式和分母式进行因式分解， 阶数高时可借助于MATLAB语言用计算机解决。 设计并联结构时要进行部分分式展开。 部分分式展开要求分子多项式的阶数低于分母多项式的阶数， 否则是一个假分式（分子多项式的阶数不低于分母多项式的阶数）， 要将其化为整数和真分式之和， 然后再对真分式进行部分分式展开。 部分分式的各系数通过待定系数法解决。 部分分式的一般表达式为,式中,

9、 pk是极点l， C是常整数， Ak是展开式中的系数。 一般pk、 Ak都是复数。 为了用实数乘法， 将共轭成对的极点放在一起， 形成一个二阶网络， 公式为,上式中的系数均是实数。 总的系统函数为,式中，L是(N+1)/2的整数部分。 当N为奇数时， Hk(z)中有一个是实数极点。 按照上式形成IIR的并联型结构， 其中每一个分系统均是一阶网络或者是二阶网络。 每个分系统均用直接型结构。,4.4 例 题 例4.4.1 设FIR滤波器的系统函数为,求出其单位脉冲响应， 判断是否具有线性相位， 画出直接型结构和线性相位结构（如果存在）。,图4.4.1,解： 单位脉冲响应为,序列的长度为N=5， 序

10、列对n=2对称， 因此系统具有线性相位特性。 画出其直接型结构和线性相位结构如图4.4.1(a)和(b)所示。,例4.4.2 假设系统函数如下式， 画出它的并联型结构。,解： 上式的分子分母是因式分解形式， 再写成下式:,上式的第二项已是真分式， 可以进行因式分解。,再根据等式两边同次项系数必须相等的法则确定系数B和C， 得到B16， C20,最后得到,按照上式画出系统并联结构的流图如图4.4.2所示。,图4.4.2,例4.4.3 为了保证滤波器的因果稳定性， 其系统函数的极点必须保证全部集中在单位圆内。 如果有极点在单位圆上， 则可以形成一个正弦波发生器。 利用这一原理试设计正弦波发生器。

11、解： 假设有两个系统函数,令x(n)=A(n)， X(z)=A, 得到,见配套教材第54页表2.5.1， 上面两式对应的时域信号分别为y1(n)=A sin(0n)u(n)y2(n)=A cos(0n)u(n),上面两式说明系统H1(z)和H2(z)分别在x(n)=A(n)的激励下可以分别产生正弦波和余弦波。H1(z)和H2(z)的极点为p1,2=ej0, 这正是在单位圆上的两个极点， 极点的相角为0。 这样，H1(z)和H2(z)可以分别称为正弦波和余弦波发生器， 画出H1(z)实现结构图如图4.4.3所示， 共需要两个乘法器、 两个加法器和两个移位器。 运行时要用x(n)=A(n)作激励。

12、也可以令图中的v(n)起始条件为v(0)=A， v(1)=0，v(2)=0， 代替输入信号x(n)=A(n)。在实际应用中有时需要两个正交相位正弦波， 可以将H1(z)和H2(z)进行组合， 同时产生正弦波和余弦波， 实现结构如图4.4.4所示。,图4.4.3,图4.4.4,例4.4.4 研究一个FIR滤波器， 其频率响应函数为,式中, n0不一定为整数。 设该系统的单位脉冲响应h(n)的长度N=15， n0=15/2， 且,(1) 画出该系统的频率采样结构;(2) 求出系统的单位脉冲响应h(n)， 并画出直接型结构， 要求用最少的乘法器。 解： (1) 已知,代入N=15， n0=15/2及

13、Hk的值, 得到,由频域采样的z域内插公式有,系统频率采样结构如图4.4.5所示。,图4.4.5,(2),显然， 式中, h(0)=0。 因为h(n)=h(Nn)， 所以其直接型结构的高效形式（乘法运算最少）如图4.4.6所示。,图4.4.6,4.5 教材第9章学习要点数字信号处理的实现方法一般有软件实现和硬件实现两种。 教材第9章主要学习一般实现中的有关重要问题。 教材第9章学习要点如下：(1) 数字信号处理的实现中的重要问题是运算误差问题， 运算误差主要来自于有限字长效应， 表现在数字量化及其量化误差上。 量化误差引起量化效应， 量化效应主要有A/D变换器中的量化效应、 系数量化效应、 运

14、算量化误差等。 这些量化效应主要和计算中用的寄存器长度有关， 寄存器长度愈长， 量化效应愈小。,(2) A/D变换器中的量化效应使A/D变换器输出端的信噪比降低， 如果不考虑输入信号中的噪声， 仅考虑A/D变换器中的量化效应， A/D变换器输出端的信噪比为,(3) 系数量化效应会影响系统的频率特性， 表现在使系统的零、 极点位置改变。 极点变化严重时， 会使系统不稳定。 为减少极点位置对于量化效应的敏感程度， 应尽量加长寄存器长度， 尽量采用阶数低的结构， 以及极点不很密集的结构。,(4) 运算量化效应主要表现在定点运算中的乘法运算中以及浮点运算中的加法、 乘法运算中。 运算量化效应会使网络输出端的信噪比降低。 运算量化效应的大小主要和寄存器的长度有关， 它的长度愈长， 运算量化效应愈小。 另外， 也和网络结构有关， 比较起来， 一般直接型结构的运算量化效应较大， 级联型结构的次之， 并联型的最小。 (5) 注意在加法运算中可能会产生溢出问题， 要考虑适当加防溢出的措施。 (6) 数字信号处理有软、 硬件两种实现方法， 配套教材中主要介绍了软件实现方法， 其中包括如何考虑网络结构的软件实现方法。,4.6 教材第5章习题与上机题解答1. 已知系统用下面差分方程描述:,试分别画出系统的直接型、 级联型和并联型结构。 式中x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出信号。 ,