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1、2011年3月 高等学校计算数学学报 第33卷第1期 对 六 一 维分数阶变系数 扩散方程的数值解 沫 刘青霞 (厦门大学数学科学学院，厦门36005) 刘发旺 f澳大利亚昆士兰理工大学数学科学学院，GPO信箱2434) NUMERICAL S0LUT10N 0F THE TW0一DI ，IENS10NAL FRACT10NAL 0RDER ADVECTION-DISPERSION EQUATION WITI VARIABLE C0EFFICIENTS Liu Qingxia (School of Mathematical Sciences，Xiamen University，Xia iYle
2、n 361005) Liu Fawang (School of Mathema tical Sciences，Queensand Univeisity of Technology GPO Box 2434，Australia) Abstraet In this paper we coimider a twodimensional fraCtional advection dispersiolf equation f2DFADE1 with vafiable coe衔cients Oil a finite d(nnainWe adopt the GriinwaldLetnikov definit
3、ion of fractional deriwtiveand proDose a fl actioilal PeacelTlailRachf0rd scheme based on the alternating diI-ect ion method for 2DF_ADETlie stability and convergence of the fractional PeaceillallRacllford seheiTle are provedA method is combined with spatial extrapolation to obtain temporally and sp
4、atially second order accurate numerical methodSome nileri cal examples are presented to support our theoretical analysis 福建省自然科学基金(2010J01011，2010J05009)，国家自然科学基金(11026094)，澳大利业旧家 研究基金fI)P0559807)资助 收稿日期：20080404 82 刘青霞等：二维分数阶变系数对流扩散方程的数值解 第1期 Key words fractional advectiondispersion equation，altern
5、ating direction method，fractional PeacemanRachford scheme，stability analysis，convergence analysis AMS(2000)subject classifications 65M12，65M06，65Z05，26A33 中图法分类号O24182 1引 言 在古典的微分方程中，利用阶数为实数的分数阶导数代替整数阶导数，能更好地模拟许 多物理现象特别是具有复杂结构的多孔介质中的反常扩散问题近年来分数阶微分方程 在很多科学工程领域得到了广泛的应用4，6，7，9作为分数阶微分方程的一种，分数 阶对流一扩散方程在物
6、理学和地下水文学研究中已被用来模拟多孔介质中流体的流动情 况Baeumer等fl1在讨论在等待时间内保留在所在的轨道上的运动粒子时，提出了阶数 在1到2之间的时间分数阶对流一扩散方程但是遗憾的是，大多数分数阶微分方程的 精确解不能清楚的显示表示出来，所以很多作者讨论了分数阶对流扩散方程的数值解 f2，51Meerschaert等f31提出了求解一维变系数分数阶对流一扩散方程的数值方法，并 且通过模拟水流问题证实所提出的方法可行Tadjeran等10】采用交替方向法求解分数 阶扩散问题本文将此方法推广到分数阶对流一扩散方程 本文考虑有限区域 【0，is，Y【0，Ly上的二维变系数对流一扩散方程：
7、 =c(z)旦三 +d( )坌 +e( ) +，( ) (1) 其中00 同时假设方程在满足下面初边值条件时有足够光滑的唯一解： u(x，Y，0)= ( ，Y) (0， ， ) 夕1( ， )=0，札( ， ， ) g2( ， ) (3) u( ，0，t)=hi( ，t)：0， “( ，L ，t)： 2( ，t) 方程(1)中的算子杀， ，孑， 均为RiemannLiouville(R-L)分数阶导数 阶的R-L分数阶导数定义为 ：志Ot l+a dza I1f佗一 )d nn f 一) 一n 、 n是满足 1一 ： ll 一 ll = 一 9 ， 1时，一91+ M s=l gl+a 同时因
8、为， 0，D 0，以及矩阵 类似于A 的分块，可知它的特征 值位于中心在 ( ) s=Csg。，0+D 91+ ， 半径为 s s+1 一2+D g ， 1 f=1，lCs =11s C 9Q，0Dsg1+ 1 内因此矩阵 的所有特征值 均小于0注意到 是R 的特征值，当且仅当 是( ) 的特征值于是( ) 的谱半径小于1类似的，( )一 的谱半 径亦小于1 假设 。为离散初始条件时引入的误差，s 是计算到第礼层时累积误差，它满足： S,z”= 一 瞄 、 、 辟 + + 酩 丁一2 12 一 + 七 e e 卜l2 二2 + ，【，【 J、J + + 如 下一2 12 + 卜l2 三2 一
9、+ r ， ，l【 = 一 R 一 = 88 刘青霞等：二维分数阶变系数对流一扩散方程的数值解 第1期 由矩阵 ， 、 ， 互相可交换，有： e 一( ) )”( ) )“s。 而且( ) 、( ) 矩阵的谱半径都小于1，因此当n一。时，( ) )”一 0，(Sy)一 )“一+0，其中0表示零矩阵于是得到FPR格式(26)是稳定的 由Taylor展开定理可知用中心差商逼近一阶导数是二阶精度，于是从(15)、(16)可 以得到时间差分算子的局部截断误差是0(下 )，从【3可知，哪个空间差分算子的局部截 断误差分别是o(h )、O(h )由此证明了lF_PR格式是相容和稳定的，由Lax等价定理 f
10、8)可知此格式是收敛的，精度足O(T +h +h ) 4 Richardson外推提高逼近精度 假设在空间步长为h h 的粗糙网格上应用F-PR格式求解，数值解记为 ( ，h ) 取空间步长为 2、 2，细分空间网格，应用FPR格式求解，数值解记为u( 2，hy2) 通过计算札=2u(h 2，hy2)一u(h ，hy)得到外推解由此可以改进空间上的逼近精度 5数值例子 讨论下面的二维分数阶变系数对流一扩散方程： 其中， =c O0-8U百+d Ol8,tt+e GQO6u+，祭， (0 ，Y1，0t )， (27) 初边值条件为 c(x)=一r(a2) 0l8r(40)， e( )=一r(4)
11、y。F(46)， d(x)=r(22) (2r(4，0)， (y)=r(3) 。(2r(46)， 札( ，Y，0)：xay。 ，u(o，Y，t)=钆( ，0，t)=0，“(1，Y，t)=e-ty。，u(x，1，t)=e-tX。 (28) 此问题的解析解是 表1中对时间空间步长取不同值的最大误差情况进行了对比 高等学校计算数学学报 89 表1用外推和不用外推的FPR格式在t：1的误差对比 从表中可以看出，当空间步长减半时，不用外推求得的数值解与精确解的最大误差 几乎减半，而用外推后的最大误差几乎减少为四分之一，这与理论结果是一致的值得一 提的是，这篇文章的结果可以推广到三维分数阶对流一扩散方程中
12、 参考文献 1 Baeumer B，Benson D A and Meerschaert M MAdvection and dispersion in time and space Physica A，2005，(350)：245262 2 Liu FAnh V and Turner INumerical solution of the fractional advectiondispersion equation The proceeding of an international conference on boundary and interior layerscomputational
13、 and asymptotic methodsPerth，Australia，2002，159164 3 Meerschaert M M and Tadjeran CFinite difference approximations for fractional advection dispersion flow equationsJComputAppMath，2004，(172)：6577 4 Miller K S and Ross BAn intr0duction to the fractional calculus and fractional differential equations
14、New York：John Wiley 1993 5 Mornani S and Odibat ZNumericM solutions of the space-time fractionM advectiondispersion equationNumerMethPartDE，2008，6(24)：14161429 6 Oldham K B and Spanier JThe fractional calculusNew York and London：Academic press， 1974 7 Podlubny IFractional differential equationsNew Y
15、ork：Academic press1999 8 R ichtmyer R，D and Morton K WDifference methods for initialvalue problemsKrieger1994 9 Samko S G，Kilbas A A and Marichev O IFractional integrals and Derivatives：Theory and ApplicationsUSA：Gordon and Breach Science Publishers1993 10 Ta eran C，Meerschaert M M and Schemer HA second order accurate numerical method for the twodimensional fractional diffusion equationJComputPhys，2006，(213)：205213
