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1、第一章 静电场,1-1电场强度电位,近代物理学的发展告诉我们：凡有电荷的地方，四周就存在着一种特殊形式的物质，称为电场。即任何电荷都在自己周围的空间激发电场。相对于观测者静止，且其电量不随时间而变化地电荷，在其周围空间产生的电场，即为静电场。1.1.1 电场强度表征电场基本特性的场矢量是电场强度，简称场强，用表示，它被定义为：,式中F表示试验电荷q0在点（x，y，z）所受的力，显然，E是一个无论大小和方向都与试验电荷无关的矢量，它只反映了电场本身的性质。,根据库仑定律，在无限大真空中有两个带电体，它们之间的相互作用力可表示为：,其中：q1、q2分别是两带电体的电荷量。R是两带电体之间的距离，e
2、21和e12是沿两带电体之间的连线方向的单位矢量，F的下标中第一个数是力的受体编号，第二个数是力的施体编号，例如F12表示第1个带电体受到第2个带电体的作用力。如图1-1所示。 0=109/36=8.851012F/m (法/米),以后，为了分析问题和计算上的方便，作如下记法约定： 在场的问题中，必须经常地区分两类“点”：一类是表明场源所在的点，简称源点，记为（x,y,z）；另一类是需要确定场量的点，简称场点，记为（x,y,z）。同时，我们规定用r表示从坐标原点到源点的矢量，用r表示从坐标原点到场点的矢量。因此，矢量差r-r就表示由源点到场点的距离矢量（见图1-2），通常用R表示之。,根据电场
3、强度的定义和库仑定律在无限大真空中r处的点电荷q，在r处引起的电场强度为,当q位于坐标原点时,1.1.2叠加积分法计算电场强度,由电场强度的迭加原理可知，当n个点电荷在空间一点形成电场时,该点的电场强度等于各个点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和：,根据物质结构理论，从微观上看，电荷是不连续的。但从宏观效果来看，人们往往把电荷看成是连续分布的。这样，就可以引入电荷密度的概念，其定义为：,它们在空间一点r产生的电场强度分别为：,例1-1 一均匀带电的无限大平面，其电荷面密度为，求距该平面前x处的电场。（p.5例1-2）,解：在平面上取一圆环，以观测点到平面的垂足为圆心，半径为a、宽为da，环上
4、的元电荷dq在观测点产生的电场为,其中eR是由dq指向观测点（x）的单位矢量，考虑整个圆环产生的电场，根据对称性，与平面平行的方向上合成电场为零，与平面垂直的方向上，合成电场为：,此时dq=dS=2ada，cos=x/R，R=(a2+x2)1/2，所以,E的量值是一常数，与场点和带电平面的距离无关。,1.1.3 电位考虑由点电荷q单独产生的电场中任意两点A、B间电场强度的线积分，参照图1-4，并考虑到erdl=dr，可得：,积分的结果只与A、B两点的位置有关，而与积分的途径无关。我们也可以沿图中虚线的途径积分，得到相同的结果。假如我们沿一条途径计算从A到B的积分，并从另一条途径计算由B到A的积
5、分，两者之和必为零，可表示成：,对于任意分布电荷得电场，可以看成点电荷电场得迭加，而每一分量均符合于上式，故相加的结果也符合于上式。由此可知：在静电场中沿任意闭合途径，电场强度的线积分恒等于零。这个结论也可看作是单位正电荷在电场作用下，沿闭合曲线移动一周时，电场力所作的功为零。它反映了静电场的一条重要性质，称为静电场的守恒性。,q,rB,rA,dl,dr,E,B,A,r,应用斯托克斯定理： 书P.328式（20）,其中S为以l为周界的任意曲面。此式告诉我们，静电场中场强的旋度的面积分在任何情况下总是零，所以被积函数一定为零，即,即静电场中电场强度矢量E的旋度到处为零，静电场是无旋场。,由矢量分
6、析知，任意一个标量函数的梯度的旋度恒等于零。因此，可引入标量函数，并定义,这个标量函数称为静电场的电位函数。负号表示电位沿电场的方向降低。,1.1.4叠加积分法计算电位,对于场源既有点电荷又包含各种分布电荷的一般情况，由叠加原理得场点（r）上的电位表达式为：,求出电位后，再由电位的负梯度求电场强度。,例1-2：求电荷面密度为，半径为a的均匀带电圆盘轴线上的电位和电场强度。（p.9例1-4）,解：如图所示，在圆盘上取一半径为r宽为dr的圆环，环上元电荷dq=（2r）dr，环上各点距离P点皆为 在轴线上一点P产生的电位为,（Z0）,（Z0）,圆盘上全部电荷在P点所产生的电位,由电荷分布的对称性可知
7、，在轴线上，电场强度只有z向分量，即,（Z0）,（Z0）,圆盘中心（z=0）的电位,圆盘中心表面处的电场强度,（Z=0+）,（Z=0-）,圆盘面两侧电位连续而电场强度E不连续。,例1-3：如图所示，两点电荷+q和-q相距为d。当rd时，这一等量异号的电荷q，称为电偶极子。计算任一点P处的电位和电场强度。（p.10例1-5）,解：应用叠加原理，由点电荷在空间任一点的电位公式得P点的电位为,因rd，则r1r2r2，r2r1dcos，所以有,上式改写成,式中p=qd，称为电偶极子的电偶极矩，p（d）的方向由负电荷指向正电荷，单位为Cm（库米）,因rd，则r1r2r2，r2r1dcos，所以有,推导：
8、P.334第1行，在球坐标系下,1.1.5电力线和等位面(线),电场和电位的分布也可用图形表示。即画出电力线（简称E线）和等位面（线），电力线上每一点的切线方向与该点电场强度的方向相一致；电位相等的各点连成的曲面或曲线，称为等位面或等位线。由于电场中每一点都有一个确定的电位值，故等位面（线）不会相交，否则等位面（线）交点处就会有两个不同的电位值，等位面（线）和电力线到处正交，等位面（线）愈密处,场强愈大。,图1.1.10 点电荷与接地导体的电场,图1.1.11 点电荷与不接地导体的电场,介质球在均匀电场中,导体球在均匀电场中,点电荷位于无限大介质上方,点电荷位于无限大导板上方,下 页,上 页,
9、返 回,1-2高斯定律,在物理学中，我们已有高斯定律的基本概念，但那里回避了场域内实体物质的存在，根据物体的静电表现，我们可以把它们分成两大类：导体和电介质。,1.2.1静电场中的导体,静电场中的导体必须满足静电平衡条件。就是说，不论导体是否带电，或是否受外电场的作用，它的内部或表面上任何部分都没有宏观的电荷运动，根据上述条件并考虑到导体具有自由电子的特点，可以推知：在静电场中导体内部的场强处处为零； 导体是个等位体，导体表面是个等位面；,导体外的场强处处与它的表面垂直； 导体如带电，则电荷只能分布于其表面。,1.2.2静电场中的电介质,电介质的特征是，它所含的自由带电粒子数量极其微小。实际上
10、，它的带电粒子是被原子内在力、分子内在力或分子间的力紧密束缚着，因此这些粒子的电荷叫做束缚电荷。即使在外电场作用下，这些电荷也只能在微观范围内移动。在静电平衡条件下，电介质内部可以长期地存在电场。这是电介质和导体在静电场中的基本区别。在外电场作用下,电介质被极化,极化的程度可用极化强度矢量表示。并定义电极化强度为每单位体积内的电偶极矩，即：,显然，在国际单位制中，极化强度的单位是库仑米（C/m2）,实验结果表明在各向同性的线性介质中，极化强度P与电场强度E成正比。即 P=E式中称为电介质的极化率。,再来讨论极化电荷体密度、面密度与极化强度P的关系。,已知电偶极子在场中任意点的电位为,则体积元V
11、内总电偶极矩p所产生的电位为,整个极化电介质所产生的电位为,由于,上式可改写成,再根据矢量恒等式,对上式应用散度定理，得,式中en是闭合面S的外法线方向的单位矢量。上式与体积电荷和面积电荷的电位积分式相比较，可以写成,可得极化电荷的体密度与面密度分别为,可以证明，当介质均匀时，P存在的条件，是自由电荷的体密度不为零。应该指出，P只能出现在每一种介质的表面上。此外，这两部分极化电荷的总和,应等于零，符合电荷守恒原理。,物理学中，对真空中静电场的高斯定律的表述为：在真空中，由任意闭合面穿出的通量，应等于该面内所有电荷的代数和与真空中的介电常数0的比值。其数学表达式为,1.2.3高斯定律,式中q是面
12、S所限定的体积内的全部电荷 。,高斯定理是建立在库仑定律的基础上的，在有介质存在时，它也成立，只不过在计算总电场的电通量时，应计及高斯面内所含的自由电荷q和束缚电荷qp。即,式中q与qP分别为闭合面S内的总自由电荷和总极化电荷其中,从而有：,所以：,令,并称D为电位移矢量，于是有,它比原来的公式优越的地方，在于其中不包含束缚电荷，但这并不表示D本身与束缚电荷无关。,应用高斯散度定律,因此,这就是高斯定律的微分形式，它表明静电场是一个有源场。,此外，对于各向同性的电介质，由于P=0E，所以,引入,则,上式中的为介质的介电常数，而r=/0称为相对介电常数。应该指出：D=0E+P是电位移D的一般定义
13、式，不问介质如何它都成立；而D=E这一关系，仅适用于各向同性的线性电介质,1.2.4用高斯定律计算静电场,当带电体的分布具有某种对称性时，电场的分布也将具有一定的对称性，这时应用高斯定律可以十分简捷地求得电位移D和电场强度E。,例1-4 有一半径为a，电荷面密度为的均匀带电球，试求：空间电场；电位分布。,1-3静电场基本方程分界面上的衔接条件,1.3.1静电场基本方程静电场基本方程是静电场基本性质的数学表示，有积分和微分两种形式,在各向同性的线性介质中,第式是静电场的环路特性,静电场E的环路线积分恒等于零，说明静电场是一个守恒场（又称为无旋场，位场、势场）。关于静电场的守恒性，不管介质如何，不
14、管是线性的还是非线性的，各向同性的还是各向异性的，只要是静电场都具有这个性质。所以它也是静电场的基本方程之一。,第式高斯定律的积分形式,它说明穿出闭合面的(电)通量恒等于闭合面内自由电荷的代数和。凡是静电场也必有此性质。所以。它是静电场的基本方程之一。,第式是高斯定律的微分形式。它表明静电场是一个有源（散）场。这与我们前面提到过的D线从正的自由电荷发出，终止于负的自由电荷的说法是完全相符的。,第式表示静电场中E矢量的旋度处处为零，静电场是无旋场。,1.3.2分界面上的衔接条件,要解决复杂的电场问题，必须知道在两种媒质的分界面上，场矢量与将如何改变。E与在分界面上各自须满足的关系，就是统称的两种
15、媒质分界面上的衔接条件。我们讨论的出发点是积分形式的静电场的两个基本方程。,电位移D的边界条件如图1-8，设两种媒质中紧靠分界面上一点P的电位移分别为D1、D2，它们相对于分界面的切线与法线分量分别为D1t、D1n和D2t、D2n，作一包围P点的小扁圆柱体，它的高度l0，上下两个面的面积均为S，柱体的闭合表面所包住的电荷应为： S+(1/2)(1+2)V,式中V为扁圆柱体的体积，为分界面上自由电荷密度，1、2分别为两种介质的电荷体密度。由于l0、V0，因此，,后面一项可以忽略不计。应用高斯通量定律于圆柱表面，可得：,-D1nS+D2nS=S或 D2n-D1n=如果分界面上没有作面分布的自由电荷，则上式可写成 D1n=D2n也就是说：D的法向分量不连续，是由于分界面上存在自由电荷。如果分界面上不存在自由电荷，则D的法线分量连续。,电场强度的边界条件如图1-9，设在第一种介质中紧靠点的电场强度是1，在第二种介质中紧靠点的电场强度2。,
