攀登未知高度的顶峰（续二）

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1、中小学数学 2014年1、2月中旬(初中) 攀登未知高度的顶峰【续二) 方运加 九、庞加莱猜想与佩雷尔曼 2005年夏天，世界顶尖的拓扑学家们(或称几何 学家)达成了一致意见，确认俄罗斯数学家佩雷尔曼 证明了庞加莱猜想。之后，2006年8月22日，在马德 里举行的国际数学家大会开幕式上，约翰鲍尔宣布 授予格里高利佩雷尔曼菲尔兹奖，但同时，他又告诉 与会者说“我很遗憾，佩雷尔曼博士谢绝了接受这个 奖项”。 我想，佩雷尔曼很可能认为证明庞加莱猜想这个 伟大工作无须菲尔兹奖添彩。事实上，佩雷尔曼拒绝 了一切他认为的与证明猜想工作本身无关的包括荣 誉、奖金在内的琐事。还是那句话，纯粹的人做纯粹 的数学

2、、出纯粹的成果，他们对附着于数学却不属于 数学的那些繁琐绝不感兴趣，这正是伟大数学家之伟 人所在。 中小学数学在2012年第6期所刊一说“数学 潜能”给教师和家长一文中提到佩雷尔曼在小 学五年级时被其母亲送入了“列宁格勒先锋宫”数学 俱乐部，这似乎类似我国的“奥校”；但佩雷尔曼13岁 时就在这个俱乐部里接触到了拓扑学。我国的以升 学或竞赛为目标的奥校不大可能让学生接触拓扑学 这样的中考、高考均不考的知识。从这个意义上讲， 俄罗斯的“数学俱乐部”与我国的“奥校”有质的不同。 拓扑学就是现代的几何学；小学和中学学习的平 面几何和立体几何是古代的几何学；而解析几何和微 分几何可算是近代的几何学。这样

3、比喻不定合适， 但不管他，大致意思就是这样的。 近几十年来，在几何领域发生了一些重大进展， 产生了一些新的方向或概念，用翻天覆地来形容这个 方向的进展也不为过。例如，最有代表性的就是将物 理和数学高度统一起来的弦理论，在这个理论上冲锋 陷阵的是目前极为活跃的一流的几何学家。而这个 理论的先驱竟然是我们曾经提到的拉马努金。早在 上个世纪初他就为怀尔斯证明费尔马猜想时用到的 “椭圆模函数”做出了贡献，这其中的拉马努金函数若 再加上两个维度，就成了弦理论的10维和26维空 间。数学家们认为这是我们现存空间的真正的维 数。这个空间是南振动的弦构成的(现有的技术手段 第116页 还观察不到这些弦)。空间

4、度量的最小长度自然单位 称为普朗克长度，约为16X 10。 厘米，相当于质子大 小的1O万亿亿分之一(10 )。后来，天才数学家爱德 华威腾于1994年和剑桥大学的保罗汤森德(Paul Townsend)从数学上发现，存在着11个维度的空间理 论，将1O维度的弦和l1维度的膜统一起来能够解释 现存世界的一切。 不懂吧，我也不懂!不过没关系，将来当你有机 会把这一切搞清楚，并能用证明的方法来判断是与非 时，你就是俯视万物的先知了。总之，对弦理论的验 证取决于纯数学，而不是实验。 今天的几何真正地走入了现代化。而数论，虽然 运用了最现代的数学方法，但其似乎从未脱离开古典 的、人人皆可意会的优雅。而

5、产生于几何领域的这些 新观点有可能极具震撼地改变我们对空间、对物质世 界的认识。这些新观点、新认识是不同于以往的创新， 要理解他们、找到确实的证据，可能要在这些新思想诞 生很多年以后。就如同几百年前费尔马的猜想，在今 天才获得了证明一样(当然，弦理论与费尔马定理不同 ，她是数学的前沿领域，有待开拓和发展，不会如问 题个案那样地有最后的解决或证明)。数学总是走在 前面，数学家的想象力总是超前的，甚至可以说他们以 “脱离实际”见长。当然，有许许多多专门解决实际问 题的工程师，他们需要运用数学家创造的工具或思想 来解决各种各样的实际问题。 拓扑学被认为发端于I736年的圣彼得堡。在那 儿教书的瑞士数

6、学家欧拉(Leonhard Euler)做了一 件开创性工作，他将几何学从距离、面积、角度的度量 中解放出来，连形状如何，方不方、圆不圆、大不大、小 不小都不必顾及，只需保留相交、连通一类的性质即 可揭示研究对象的本质。他发表了一篇论文，文中给 出了如今世人皆知的格尼斯堡七桥问题的解决。这 个问题同其他立志类故事一样，是褒扬数学家智慧的 恰当例举，只不过教师在讲给学生听时要设法讲出其 智慧之处。 欧拉在文章中并不讨论桥与桥之间的距离，也不 研究桥的长宽，更不涉及被连接陆地的大小，与对几 何问题的传统研究方法不同，欧拉抛弃了一切与度量 中小学数学 20t4年l、2月中旬(初中) 有关的概念和方法

7、，因为他认识到这些方法对于解决 “七桥问题”是无用的。 他创造了新的研究方法，创造了不用尺的几何 学，通过将桥和被河流分隔的陆地用线和点来表达， 将不重复的走遍每一座桥转化为研究点线相联的方 式和数量规律，从而成功解决了“七桥问题”。今天， 这件事在我们的数学活动中经常被提起，这相当于拓 扑学思想的开端，我们熟知的有关多面体的点、线、面 之间的数量关系的欧拉公式就是在这个背景下产生 的，不管大小、长短，只须建立顶点数与棱数和面数的 关系就行。 几何脱离了距离和形状的束缚，把自己的前半生 的一部分交给了建筑学家或工程师，只保留了逻辑证 明的传统；然后借助解析和分析方法，将研究领域扩展 至更广阔的

8、天地，大大延伸了度量概念，发展出解析几 何和微分几何。但还不够，欧拉进一步实现了研究方 法和研究思想的变革，彻底抛弃了形状和度量的束缚， 这使得几何学在19世纪中叶即已开始了与现代代数 学的融合，几何学家有了更广阔的研究空间以及更强 有力的工具，并最终使得“庞加莱猜想”获证。而这个 猜想是如何产生的呢?它说的是什么?不是在谈数论 的事吗?怎么又聊到几何去了?别急!咱们继续聊。 天高任鸟飞，聊哪算哪，数学就是这么自由，让思想自 由的流淌，这应该是学习数学的至高思想境界。 1904年，亨利庞加莱(Poincar6，l8541912)发表 了一篇论文，给出了著名的“庞加莱猜想”。这个猜想 是关于几何

9、的，不是数论。但谁知道呢?前面提到的 “费尔马猜想”明明是个数论问题，可怀尔斯的论文标 题就含有几何方面的名词椭圆曲线(事实上，这 个“椭圆曲线”与中学讲的椭圆没有关系，是从几何中 借用的名词)。我们会有机会详谈这个事。 现在，代数就是几何，几何就是代数，数论也不似 传统意义上的那么单纯(事实上，传统也不那么单纯， 古希腊时，数论和几何密不可分；中国古代数学亦无 明确学科分工，是混成一块的。那时候代数还没形 成，正处于孕育准备阶段)，函数概念产生了，她就运 用了函数方法；微积分产生了，她就用上了微积分，形 成了解析数论。数论是运用一切先进数学思想和方 法的典范，同时，她对传统的包容也堪称楷模。

10、数学 分化出的学科、分支越来越多，据说现在有80多个学 科，400多个分支，他们彼此间的被需要也越来越多， 以致关系缠绕、血统混杂。正如传说人类之先祖是亚 当和夏娃一般，数学的祖先还就是数论和几何。 若想真正搞清楚“庞加莱猜想”，起码应该读完大 学数学系本科课程。这个猜想涉及了流形、微分流 形、微分同胚等现代数学专业知识，这使得非专业人 士摸不着头脑。但正如“孪生素数猜想”一样，庞加莱 阐释的猜想实际上是一个很简单、很平常但却完全需 要依靠想象和抽象才能把握的事情。 何谓流形?中文的流形一词最早出现于(1994年 发现的)战国道家佚书中的(竹简)篇题凡物流形： 易经彖中的“云行雨施，品物流形”

11、，意指繁育万物， 赋予形体；以及文天祥正气歌中的“天地有正气，杂 然赋流形”。数学中的欧氏空间就是流形最简单的实 例。欧氏空间是指我们所熟悉的平直空间，换个说 法，数千年来，我们对自己赖以生存的空间的认识在 数学上被表述为欧氏空间，是一种以平直为基础的对 空间的认识。这个认识到了高斯那里，发生了巨变。 高斯第一个清楚地把曲线和曲面本身也构想为 空间。习惯于平直的认识空间的人们，自此转变了观 念，意识到空间本身也可能就是弯曲的，就如同我们 生活的地球表面是弯曲的一样。只是我们身处地球 上的某一处，感觉大地是平的，但事实上是不平的。 感觉不一定可靠，要借助数学才能避免发生错觉。黎 曼是在数学中采用

12、流形(manifold)的第一个人，这是 个德国术语，意为“多层”，与正气歌中的流形意义 相近，表达的是空间存在形式或形态的多样性，是用 平直的低维局部空间来研究高_维的整体曲空间的 基本数学结构。庞加莱猜想“所有闭的单连通的三维 流形都同胚于三维闭球面”。“庞加莱猜想”最令外行 人痛苦的是其表述远非数论中的那些经典猜想好理 解。还有个广义庞加莱猜想：若一闭的n维流形与Js 有相同的代数拓扑，则它与s 同胚。 短短的猜想表达包括了一整串无法经验或体验 的名词概念。不妨看看二维的情形，借助体如砖头的 面包块和形如救生圈的面包圈来说明这个猜想。 面对这两种外形显著不同的面包，不考虑其大 小、长短、

13、轻重、口感、材质、功能，也不必顾及面包的 定义，这只不过是个名称，仅仅是为了说着方便。那 还考虑什么?几乎只剩下从形状上来考虑了。从表 面看，一个是实心物，一个是环状物，如何把握并描述 实心物和环状物的本质区别，看着简单，实则不容易。 一般人会说实心的就是没有洞，中间不空；环状 就是中间有洞像个救生圈。你能听懂他的意思，但从 逻辑角度考虑，洞、中间、不空、救生圈是什么东东? 似乎都需要解释或定义，事情变复杂了，反而离问题 本身越来越远。所以，对那些与所解决问题无关的名 词要少用或不用，定义越少越有利于明晰对象，一旦 牵扯到定义更复杂的事，这就是自找麻烦了。数学不 做这类无用功，而是致力于确定二

14、者的本质性区别， 第117页 中小学数学 2014年l、2月中旬(初中) 这还真不那么简单。如何表达这两种仅仅是名字叫 面包的物的本质区别? 我们可以用中文、英文、俄文、斯瓦希里语、波斯 语来表述，但都有可能因语言表述上的差异而引发争 议。世界上只有一种语言、一种表述可以做到毫无争 议，这就是数学语言、数学表达。用数学方法说明事 物间的本质区别是最准确无误的，所以科学百科离不 开数学。 数学的不二法门是抽象，就如对上述两种面包的 抽象一样，别的属性都剥离了，只剩下与形状有关的 属性，并且就连形状也只剩下无洞和有洞的属性，方 圆、大小、尺寸、形状规整否一律不予考虑，这个抽象 可算是够彻底的了。然

15、后就是如何用数学方法解释 二者的区别了。 假设有个人将一个用于扎女孩子的小辨子的环 状猴皮筋套在实心面包表面，然后坚定的、不停顿的 收缩橡皮筋，并假定其根本无断裂崩断的可能性，越 收越紧，因实心面包被假定为如铅球般的不可入侵， 最终结果是猴皮筋以最有利于自己收缩的方式，紧贴 实心面包表面逐渐滑动收紧，可以设想只要收缩过程 持续下去，猴皮筋最终会收缩成一个点。 若将这个猴皮筋如两环相套般的套在面包圈上， 则无论将猴皮筋收得多么紧，其只能如同围着一根连 接地面和屋顶的柱子，再怎么收缩也只能收缩为一个 圈，而不能收紧成为一个点。 如此描述面包块和面包圈的最本质的几何区别 似乎是合理的，也是可以理解的

16、，更重要的是这可以 用已有的数学概念和方法予以描述和界定。在解决 这个问题中，有关“简单连通”和“不简单连通”的数学 表达已经为用数学方法表达上述区别提供了方法，使 之成为一个纯粹的数学问题。 若你还不明白，没关系，拿两张空白复印纸，将其 中一张的中间剪一个窟窿，试比较出二者的区别。这 两张复印纸如同两个平面，一个有洞、一个无洞。在 无洞的平面上画圈可以越画越小最后小到差不多成 了一个点；而在有洞的平面上，只要所画的圈没有围 住那个洞，还是可以同无洞平面一样，最终小到近乎 一个点。两张复印纸代表的平面似乎并无区别。但 数学不会放过一个有洞、一个无洞这个事实，不仅如 此，还能运用最简单的方式反映二者的本质区别，即 若围住这个洞来画圈，则这个圈无论画得多小，也小 不过这个洞去，断无收缩成点的可能性。如此，我们 就说清楚了这两个代表不同平面的复印纸的本质区 别。当然，我希望有人能够设想出更好的办法来说明 这个事。不过，上述表达区别的办法，经过了不计其 第118页 数的数学工作者的思考，很成熟也很有效。 俗话庞加莱猜想