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1、1 平行线中的开放性问题如右图所示， AB 、 CD 是两根钉在木板上的平行木条， 将一根橡皮筋固定在 A 、 C 两点，点 E 是橡皮筋上的任意一点，拽动点 E 将橡皮筋拉紧后，请你探索 A 、 C、 AEC 之间的关系，并说明理由。分析：本题是一个开放性的问题，因为原题当中并没有说明点 E 拽动后的位置，所以结合实际情况，可以将点 E 拽动后的位置分为四种情况。解：第一种情况（如图 1） ， AEC A C 理由：经过点 E 做 EF AB ，因为 AB CD ，所以 AB EF CD （平行于同一条直线的两条直线互相平行）所以 A 1， C 2（两直线平行，内错角相等）所以 1 2 A
2、C 即 AEC A C 第二种情况（如图 2） ， AEC A C 360理由：经过点 E 做 EF AB ，因为 AB CD ，所以 AB EF CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）所以 1 A 180 ， 2 C 180 （两直线平行，同旁内角互补）所以 1 A 2 C 360即 A C AEC 360第三种情况（如图 3） ， AEC A C 理由：经过点 E 做 EF AB ，因为 AB CD ，所以 AB EF CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）所以 A AEF， C 1（两直线平行，内错角相等）E A C B D 图 1 21A BCDEF图 2 21A BC DEF
3、图 3 1A BCDEF2 所以 A C AEF 1 即 AEC A C 第四种情况（如图 4） ， AEC C A 理由：经过点 E 做 EF AB ，因为 AB CD ，所以 AB EF CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）所以 C 2 180 ， A AEF 180 （两直线平行，同旁内角互补）所以（ C 2）（ A AEF） 180 180 0 所以 C 2 A AEF 0 所以 C A AEF 2 AEC 即 AEC C A . 舞动在两平行线间的折线有一些题目由于看起来太简单，往往很少进一步思考，其实若能从多个角度进行探索思考，可能会有许多发现，使我们对数学的学习更加深入 .
4、 题目：如图 1，已知 AB EF. 试说明： BCF= B+ F. 解：过点 C 作 CD AB. 因为 AB EF，所以 CD EF. 所以 BCD= B， FCD= F（两直线平行，内错角相等） . 所以 BCD FCD = B F，即 BCF= B+ F. 我们在做完之后，可对本题做进一步的反思和探究 . 1.从说明方法上探究解法 1：如图 2，延长 BC 交 EF 于 D. 因为 AB EF，所以 B= BDF. 在三角形 CFD中， BDF F DCF 180 ，又 BCF DCF =180 ，所以 BCF= B+ F. 解法 2：如图 3，过 C 点作 DG AB 分别交 AB
5、、 EF 于 G、 D. 因为 AB EF，所以 DG EF. 因为 BCF= 180 （ BCG+ DCF）=（ 90 BCG ） +（ 90 FCD） ，即 BCF= B+ F. 图 4 21A BCDE F图 1 图 2 图 3 3 2.从点 C 的位置上探究在上述问题中，折线在 AB 、 EF 之间，如果改变点 C 的位置，点 C 不在 AB 、 EF 之间，而在 AB 、 EF 的外侧，如图 4、图 5 所示， BCF 的结果会是多少呢？解： 如图 4， 过点 C 作 CD AB. 因为 AB EF， CD EF， 所以 BCD= B， DCF= F. 所以 BCF BCD DCF
6、B F. 如图 5， 过点 C 作 CD AB. 因为 AB EF， CD EF， 所以 BCD= F， DCB= B. 所以 BCF BCD DCB F B. 变式训练：1.如图 6， 1 2/l l ， 1 120 ， 2 100 ，则 3 （ ）A 20 B 40 C 50 D 602.如图 7， AB CD ， BAC 的平分线和 ACD 的平分线交于点 E，则 AEC 的度数是 3.如图 8， AB CD ， 直线 EF 与 AB 、 CD 分别相交于 E 、 F 两点， EP 平分 AEF ，过点 F 作 PF EP 垂足为 P ，若 PEF 30 0 ，则 PFC _答案： 1.
7、A 2. 90o 3. 60 图 5 图 4 图 6 图 7 图 8 4 两条平行线与一组折线构造的角的一类探析例题：如图已知， AB CD . ,AF CF 分别是 EAB 、ECD 的角平分线， F 是两条角平分线的交点；求证： 12F AEC . 分析：作辅助线，可以探究： AEC 与 BAE 及DCE 之间的关系来，结合角的平分线的性质，可以探究出F 与 AEC 之间的关系来：证明：过 ,E F 分别作 AB 的平行线，可证明下面的结论：AEC BAE DCE , 1 12 2AFC BAE DCE , 所以 12F AEC评注： 两条平行线之间一组折线构造出的三个角， 两条折线构造的
8、角等于两条折线分别与平行线构造的角的和； 其实还可以得出结论： 两平行线 ,AB CD 之间有一组折线： ,AE CE ( E为交点 )， ,AF CF 分别是 EAB 、 ECD 的角平分线， F 是两条角平分线的交点；则有结论： 1 ( )2F BAE DCE ；一般地：如图所示： AB CD .一组折线 ,BE DE 交于点,E 如果有条件： mABN ABEn ， mCDN CDEn（ ,m n 都是正整数， 且 n m 0） ; ,BN DN 交于点 N ,那么 N（即 BND ） 与 E（即BED ）的比值是 mn，即有： BND m BEDn ; 练习： 1、如图已知， AB C
9、D . ,AF CF 分别是 EAB 、ECD 的角平分线， F 是两条角平分线的交点；80BAE ， 70DCE ，计算： （ 1） AEC 的度数；（ 2） AFC 的度数；答案（ 1） 150 ； （ 2） 75 ；D B C A F E F N B A C D E M N D B C A F E M N D B C A F E 5 2、 如图已知， AB CD .一组折线 ,BE DE 交于点：,E （ 1）当 34ABF ABE , 34CDF CDE , ,BF DF 交于点 F 那么 F 与 E （即 BED ）的比值是多少？验证你的结论；（ 2）当 20082009ABF AB
10、E ，20082009CDF CDE ， ,BF DF 交于点F 那么F 与 E （即 BED ）的比值是多少？请直接写出答案；答案（ 1） 34； （ 2） 20082009；3、如图已知， AB CD .一组折线 ,BE DE 交于点：,E 且： (1) 1ABM ABEn ， 1CDM CDEn（其中 n 是正整数） ， ,BM DM 交于点 ,M那么 M 与 E （即 BED ）的比值是多少？(2) 1nABN ABEn , 1nCDN CDEn （其中 n是正整数） , ,BN DN 交于点 N ,那么 N 与 E （即 BED ）的比值是多少？答案（ 1） 1n； （ 2）1nn；F E A C D B E M N A C D B C D F E A B
