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1、南充高中 20012 年面向省内外自主招生考试数学试卷第 1 页 共 6 页南充高中 2012 年面向省内外自主招生考试数 学 试 卷（时间： 120 分钟 满分： 150 分）一、填空题（每小题 6 分，共 84 分，请将你的答案填到答题卷的相应位置处） ）1、已知 3, 1,a b ab 则 3 3a b2、若 2 1 0x x 则 3 22 3x x x3、若 0, 0,x xy 则 1 5y x x y4、 1 2 3 2011 2012 2011 3 2 1等于 的平方5、在有理数范围内分解因式： ( 3)( 1)( 2)( 4) 24x x x x6、甲、乙、丙三名学生分 20 支
2、相同的铅笔，每人至少 1 支，则不同的分配方法有 种7、已知 a 、 b 、 2 分别为三角形三边的边长，且 a 、 b 为方程 2 2(3 4 1)(3 4 5) 12x x x x 的根（ a 、 b 可以相等） ，则三角形的周长为8、一动点 P 从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以每前进 5 个单位、后退 3 个单位的程序运动 . 已知动点 P 每秒前进或后退 1 个单位 , 设 nx 表示第 n 秒时点 P 在数轴的位置所对应的数（如4 5 64, 5, 4x x x ） . 则 2012x9、关于 x 的方程 2 2 3 1x x k 有四个相异的实数根，则 k 的取值范围是10、
3、ABC 中， 90 , 7, 24.B AB BC ABC 内部有一点 P 到各边的距离相等，则这个距离为11、某中学派 41 名学生参加南充市中学生田径运动会，其中得金牌的 12 人，得银牌的 5 人，得铜牌的 8 人，同时得金、银牌的 2 人，同时得金、铜牌的 6 人，同时得银、铜牌的 3 人，同时得金、银、铜牌的 1 人，那么这所中学派出的学生中没有得奖牌的有 人 . 12、已知直线 AB 的方程为： y kx m 经过点 ( , ), ( ,8 )( 0, 0).A a a B b b a b 当 ba是整数时，满足条件的 k13、 如图， 在梯形 ABCD 中， / / , 3, 9
4、, 6, 4.AD BC AD BC AB CD 若 / / ,EF BC 且梯形 AEFD与梯形 EBCF 的周长相等，则 EF 的长为14、 若 x 表示不超过实数 x的最大整数， 例如 3.1 3, 3.1 4，则方程： 2 3x x 的解为二、选择题（每小题 5 分，共 20 分 , 下列各题只有一个正确的选项，请将正确选项的番号填入答题卷的相应位置）15、当式子 1 2 3 1999x x x x 取得最小值时 , 实数 x 的值是（ ）B A77C DE F （ 13 题南充高中 20012 年面向省内外自主招生考试数学试卷第 2 页 共 6 页B A7755C D E （ 18
5、题图）A 1 B 999 C 1000 D 1999 16、计算4 41 11 3 2 3 1 3 2 3+ 24 2 3（ ）A 1 B -1 C 2 D -2 17、已知 2 1(0 1).1 8x xx x则 1xx的值为（ ）A 7 B 7 C 5 D 518、如图，过 ABC的顶点 A 分别作对边 BC上的高 AD和中线 AE， D 为垂足， E 为 BC的中点，规定 ,A DEBE特别地，当点 D 与 E 重合时，规定 0A . 对 B 、 C 作类似的规定 . 给出下列结论 : 若 90 , 30,C A 则 11, .2A C若 1,A 则 ABC为直角三角形 . 若 1,A
6、则 ABC为钝角三角形；若 1,A 则 ABC为锐角三角形 . 若 0,A B C 则 ABC为等边三角形 . 其中 , 正确结论的个数是（ ）A 1 B 2 C 3 D 4 三、解答题（共 46 分）19、 （ 10 分）如图，抛物线 2 3y ax bx 与 x轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点 C，且 3 .OB OC OA直线 1 13y x 过点 B 且与 y 轴交于点 D， E 为抛物线顶点 . 若 , ,DBC CBE（ 1）求抛物线对应的方程；（ 2）求 的值 . O A B C D Ex y (19 题图 ) 南充高中 20012 年面向省内外自主招生考试数学试卷第 3
7、 页 共 6 页20、 （ 10 分）已知： AB是 O的直径， C 是 AB上一点， ,PC AB 交 O于 F ， PDE是割线，交 O于 D 、 E. 求证 : 2PC PD PE AC CB21、 （ 12 分）若关于 x 的方程 22 1 12 2k x kxx x x x只有一个解（相等的解也算作一个） ，求 k 的值 . A B C P D O （ 20 题图）F 南充高中 20012 年面向省内外自主招生考试数学试卷第 4 页 共 6 页22、 （ 14 分） 已知抛物线 2 3y x x c过两点 ( ,0)m 、 ( ,0)n 且 3 23 ( 2) 2 8,m m c m
8、 n c 抛物线与双曲线 kyx的交点为 (1, )d . 求抛物线与双曲线的解析式；已知点 1 2 2012, , ,P P P 都在双曲线 ( 0)ky xx上，它们的横坐标分别为 ,2 , ,2012 ,a a a O为坐标原点，记1 2 1 3 1 41 2 3, , ,PP O PP O PP OS S S S S S 点 Q在双曲线 ( 0)ky xx上， 过 Q作 QM y轴于 M ， 记 QMOS S . 求 1 2 20112 3 2012S S SS S S 的值 . 南充高中 20012 年面向省内外自主招生考试数学试卷第 5 页 共 6 页数学试卷答案一、 填空题答案：
9、1 36 2. 1 3 -4 4 2012 5 2( 2)( 3)( 8)x x x x 6 171 7 163或 2038 506 9 0 2k 10 3 11 26 12 9 或 15 13 39514、 5二、选择题答案： 15 C 16 D 17 C 18三、解答题、19 、 （ 1）解：易知， (0,1), (0, 3), ( 1,0), (3,0).D C A B 则 ( 1)( 3) 1.y a x x a从而抛物线对应的解析式为 2 2 3y x x （分）（ 2）解：由（ 1）可知 (1, 4)E 于是 3 2, 2, 2 5.BC CE BE2 2 2 , .BC CE B
10、E BCE 为直角三角形故1 1tan . tan ,3 3.CE ODDBOCB OBDBO又 则DBO OBC 45.故 （分）20、证明：延长交 O于，由割线定理，得2PD PE=PFPG., AC CB CF CGAB FG,CF=CGAC CB=CF.PD PE=PFPG由相交弦定理 得 =直径2 22 2 22.PCCFPD PE AC CB PC CF CFPC=（ CF)(PC+CG)=(PC-CF)(PC+CF)=PC即 2PC PD PE AC CB （分）21、解：原分式方程可化为2 2 1 0. 0, 2)kx x x x（ （ 1）当 10 .2k x时， 是分式方程
11、的一个解（ 4 分）（ 2）当 20 4 0 1, 1 .k k k x时， =2 时， 是分式方程的一个解 （ 8 分）（ 3） 当 0 0k 时， 时，方程 的两个根一个是分式方程的增根， 另一个是分式方程的根 . 当 2x南充高中 20012 年面向省内外自主招生考试数学试卷第 6 页 共 6 页是分式方程的增根时 , 代人方程得 2 3( 2) 2 ( 2) 1 04k k .此时 , 方程的另一个根 23x是分式方程的一个解；当 0x 是分式方程的增根时 , 代人方程得 20 2 0 1 0k 不可能成立 . 故 30 1 .4k的取值为 或 或（ 12 分）22、解：依题意有22(
12、 3 ) 2( ) 83 03m m m c m n cm m cm n2c2 3 2y x x抛物线的解析式为 （ 2 分）21, ),1 3 1 2, 221dd dk kd因为抛物线与双曲线的交点为（于是2 .x所以，双曲线的解析式为 y= （ 4 分）（）解： 1 1 2P ( 1,2, ,2011)n nx点 P、 都在双曲线 y= (x0) 上 ,且横坐标分别为 1 1 2 2, 1) ,( 1)na n a P a n a（ 所以，点 、 P 的纵坐标分别为 、过点 1 1 1 1 1 n+1 1 1/ , / / B .n n nP a x b y x a作直线 轴交 y轴于
13、A 过 P 作直线 轴交 轴于 、交 于 C则 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2( 1) ( 1) ( 1)2 2 ( 1) 2 ( 1)nn PP OS S n a a n a n a aa a n a a n a = .1nnn（ 8 分）设 1 1 1( , )( 0)Q x y x 则 112yx 于是 1 11 12QMOS S x y（ 10 分）1 2 2011 2 3 20121 2 2011 1 1 1(1 ) (2 ) (2011 )2 3 2012 2 3 20121 2 2011 1 2011(1 2011) 2011 20112S S SS S S故2025077 （ 14 分）/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /
