《《数学物理方法》课程八》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《数学物理方法》课程八（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、主讲教师:冉扬强,数学物理方法,第六章 一维波动方程的付氏解第一节 波动方程的建立第二节 齐次方程的分离变量法,主要内容 (1)、一维波动方程的建立 (2)、齐次方程的分离变量法 (3)、付氏解的物理意义 (4)、非齐次方程的求解 (5)、非齐次边界条件的处理,重点和难点重点：一维波动方程的导出以及定解条件的提出；齐次方程的分离变量法；非齐次方程及非齐次边界条件的处理难点：如何把物理规律转化为数学物理方程以及提出定解条件方法；用分离变量法求解一维波动方程的方法,第六章 一维波动方程的付氏解第一节 波动方程的建立 一、弦振动方程的建立 本节以弦振动为例，讨论如何把物理规律转化为数学物理方程，要求
2、掌握这种方法.数学物理方程的导出步骤为： 1、确定研究的物理量u . 2、从研究的系统中任取一部分，根据物理规律分析邻近部分和这小部分的相互作用，并略去不重要的因素.,3、将相互作用在短时间内如何影响物理量u用算式表达出来. 4、化简整理得数学物理方程. 设弦的长度为 ，密 度为 ，把它绷紧固定 在 上，在不振动时是 一条直线，取直线的方向 为x轴，如图所示，当它在平衡位置附近作垂直于x 轴的微小振动时，研究弦上各点的位移u与坐标x 及时间t 的关系即,其中 是横向加速度 ，对于小振动，,令 时，则有 其中：令,令,二、定解条件的提出 具体问题还与其特定的环境和历史有关，即定边界条件和初始条件
3、。 这就是边界条件或称为边值条件， 这就是初始条件，或为初值条件，边界条件和初值条件称为定解条件. (i).第一边界条件:,令,(ii).第二边界条件: (iii).第三边界条件: 其中 为已知函数， 为常数。如果 则称为齐次边界条件。,第二节 齐次方程的分离变量法 一、分离变量法 考虑两端固定弦的自由振动，即定解问题： 其中 为已知函数. 波的函数,该等式左端只是t 的函数，等式右端只是 x 的函数. 而x , t 是两个相互独立的变量，所以只有两边都是常数时，等式才能成立，把这一常数记作 ，则有：,(i). , 方程 的解为：,(ii). ， 的解为： (iii). , 的通解为： （n
4、为正整数）,（n 为正整数） 分离变数过程中所引入的常数 不能为负数或零，甚至也不能是任意的正数，它必须取 所决定的特定值，才可能从方程 和边界条件 解出有意义的解： 除此以外，只能得到恒等于零的解。常数,的特定数值叫做特征值(本征值)，相应的解叫作特征函数(本征函数)。,以上的求解方法称为分离变量法，其基本思想是把分离变量形式的试探解代入偏微分方程，从而把它分解为几个常微分方程，问,题就转化为求解常微分方程。上述分离变量形式的解正是付里叶正弦级数，我们把这种形式的解，称为付氏解。,二、付里叶级数法 根据边界条件 试把 展为付里叶正弦级数，即,这正是我们分离变量法中所求结果。以上这个方法就称为付里叶级数法。它不是一个独立 的方法。因为级数展开的基本函数 正是分离变量法所求得的本征函数。 三、付氏解的物理意义,这实际上表示一个驻波，在所考察的弦上各点以同一圆频率作谐振动，其振幅 依赖于点x的位置，在 这些点上，振幅为零这n+1个点称为驻波的波,节，在两个波节之间，各点的振动都有相同的位相，它们同时又达到自己的最达位移， 又同时通过平衡位置。在 这些点上，振幅达到最大值，称为波腹，两相邻节点间隔应为半个波长，从而驻波波长 ，驻波的圆频率 。 解 是由一系列频率不同(成倍增长)，相位不同，振幅不同的驻波叠加而成的，这些驻波也叫作两端固定弦的本征振动。,
