§1.5因式分解及唯一性定理

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1、一、不可约多项式,二、因式分解及唯一性定理,1.5 因式分解定理,因式分解与多项式系数所在数域有关,如：,（在有理数域上）,问题的引入,（在实数域上）,（在复数域上）,设 ，且 ，若,不能表示成数域 P上两个次数比 低的多项式的,Def.,乘积，则称 为数域P上的不可约多项式.,Remark, 一个多项式是否不可约依赖于系数域., 一次多项式总是不可约多项式.,一、不可约多项式, 多项式 不可约,的因式只有非零常数及其自身的非零常数倍.,或, 多项式 不可约，对有,证：设 则,或,即 或,不可约. ，若,则 或,证：若 结论成立 .,若 不整除 ，则,Th. 5,不可约，,则必有某个使得,Co

2、r.,若 ，则 可,唯一地分解成数域 P上一些不可约多项式的乘积.,所谓唯一性是说，若有两个分解式,1. Th.,则 ，且适当排列因式的次序后，有,其中 是一些非零常数,二、因式分解及唯一性定理,证：对 的次数作数学归纳.,时，结论成立,下证的情形.,设对次数低于n的多项式结论成立,（一次多项式都不可约）,若 是不可约多项式.,若 不是不可约多项式，则存在,且 使,结论显然成立,由归纳假设 皆可分解成不可约多项式的积.,再证唯一性 .,可分解为一些不可约多项式的积.,都是不可约,设 有两个分解式,多项式.,对 作归纳法,若 则必有,假设不可约多项式个数为 时唯一性已证.,由(),不妨设 则,使得,(1)两边消去,由归纳假设有,即得,总可表成,对,其中为 的首项系数， 为互不相同的，,首项系数为1的不可约多项式，,的标准分解式.,称之为,2. 标准分解式：,Remark, 若已知两个多项式 的标准分解式,则可直接写出,就是那些同时在 的标准,分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带,方幂指数等于它在中所带的方幂指数,中较小的一个,E. g. 若的标准分解式分别为,则有, 虽然因式分解定理在理论有其基本重要性，但并未给出一个具体的分解多项式的方法实际上，对于一般的情形普通可行的分解多项式的方法是不存在的而且在有理数域上，多项式的可约性的判定都是非常复杂的,