《对几类特殊函数的理解及应用》由会员分享,可在线阅读,更多相关《对几类特殊函数的理解及应用(3页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、杨锦义 楼可飞 对几类特殊函数的理解及应用 一、最值函数 1定义1 最大数、最小数 设口、b E R,记min口,b为n、b中较小的 数,max0,b为a,b中较大的数,如min1,一2 =一2,max1,一2=1,若口=b,贝0min口,b= maxa,b=口 定义2 最大函数、最小函数 设 )、g( )都为定义在,上的函数,记 minlAx),g(x)为,( )、g( )中较小的函数, lnB,xf(X),g( )为,( )、g( )中较大的函数若 )=g(x),则minf( ),g(x):max ), g( )= ) 例1 函数Y= rainI +1 I,I x一1 I的 单调增区间是
2、(A)0,+oo) (B)(一,0 y 1 l _ (C)(一,一1或O,1 (D)一1,0或1,+) 分析:作函数厂( )=I +1 I的图像:以点 B(一1,O)为端点的两条射线,作函数g( )= I 一1 I的图像:以点D(1,0)为端点的两条射 线,如图1,设 )=g( )得 =0即两个图像 交于点(0,1)当 0时 )g(x),所 以原来函数的图像为折线ABCDE,所求的递增 区间是一1,0、1,+) 从三视图的角度看,最大函数的图像就是 俯视图,最小函数就是仰视图,本例中的最小函 数Y的图像就是折射ABCDE,最大函数 maxI +1 l,I 一1 Il的图像就是图1中的 虚线部分
3、 例2 若函数 )=max3+logx, log2 ,其中maxp,q 表示两者中的较大者, 则 )2的解集为 _ 分析:函数 )的 图像如图2中的实线部 y 0 j _ I I T 分ABC,当 =4时,Y=2,当 4时,Y=log (图 像为BC段)原不等式 )2即 ) 厂(4),所求的解集是(0,4)u(4,+) 从图1、图2可以看到,最大函数有最小值, 最小函数有最大值 例3 对于函数 ): 眦, 似c0 , LeOSX,sinif,1+1=2,所以 = 二 l 一 I,满足利普 =兰 =l 1一 2 l,满足利晋 0 L 1七 x 1 2 希兹类函数的定义 三、有界泛函数 定义 设函
4、数,( )的定义域为R,若存在 、 】2 与 无关的正常数m,使I )ImI l对一 切实数 均成立,则称厂( )为有界泛函数 例6 在下列四个函数( =2x;y= 2 ; = ; = sinx;y 中, 属于有界泛函数的序号是一 分析:当 O时I上l=22;l上I= I sinx I1; + +1,I上I= l I詈;当 4时 Ix2,I考 1 Il I=l I无界;I上l_I I无界 答案为 四、不动函数 定义 对于函数,( ),若存在 R,使 ): 。成立,则称点(, 。)为函数厂( )的 不动点 )称为点( 。, 。)附近的不动函数 例7 (I)已知函数八 )=ax + 一 b(a0)
5、有不动点(1,1)和(一3,一3),求a、 b的值: ()若对于任意实数b,函数 )=口 + bxb总有两个相异的不动点,求实数口的取值 范围: ()若定义在实数集R上的奇函数g(x) 存在(有限的)17,个不动点,求证:n必为奇数 分析:(I)设n +bxb= ,县D +(b 一1) 一b=0,由题意知此方程有两个根1、 f1+(一3)=一 , 一3,由韦达定理得 解得 l 1(一3)= , 。 a a=1,b=3 ()由题意,方程0 。+(b一1) b=0 为一元二次方程,判别式=(b一1) +4ab 0即b +(4口一2)b+10对于任意实数b设 h(b)=b +(4a一2)b+l,它是
6、关于b的二次 三项式,要使对任意实数b都有h(b)0,则判 别式 =(4a一2) 一40,得0a1; ()因为奇函数g( )定义在实数集R 上,g(O)=0,即0是g( )的一个不动点设 。 是g(x)的非零不动点,即g( 。)= 。,则 一g( 。)=一 。,而g( )是奇函数即g(一 ) :一g( ),所以g(一 )=一 ,由定义知一 是g( )的又一个非零不动点,这说明g( )的 孙 红 非零不动点成对出现且互为相反数,非零不动 点总个数为偶数,再加上零不动点0,不动点总 个数必为奇数 一追离考试题硇翩法搽究 导数是普通高中数学新课程标准中新 增加的内容之一,其目的是让学生有丰富的实 际
7、背景和广泛的应用,体会导数的思想与作用 从历年高考试题可以看出导数题型近几年逐渐 加大难度,难易结合,有基本题也有综合题,全 国卷及各省市卷在选择、填空和解答题中每年 总会有一道小题或大型综合题小题以考查运 算为主,大题则对思维能力要求较高导数内容 的考查常常把新课程增加的内容和一些传统内 容有机地结合在一起,往往与不等式、数列、解 析几何、三角函数等知识结合在一起,主要考查 学生的理解转换能力和知识的综合运用能力 根据最近几年命题立意的发展变化,要重点准 备导数综合题,要有针对性训练,并从“注重数 学思想方法,强化运算能力,重点知识重点训 练”的角度做好充分准备 含参数问题历来是高考的必考内
8、容,这种 题型涉及到的知识点多,综合性强,难度大,要 求高,经常与函数与方程、数列、不等式、导数、 圆锥曲线等内容有机地结合含参数类型的题 型,往往一道题目就整合了“函数方程思想,分 类讨论思想,数形结合思想,等价转化思想,” 等多种重要数学思想方法,这种类型的题目已 经成为考查学生数学知识,反映学生对数学思 想和方法的理解和掌握程度的良好载体接下 来我们就一道高考试题进行探讨 案例(2009年浙江卷)已知函数 )= 一(k2一k+1) +5X一2,g( )=k2x2+kx +1,其中k E R,(1)设函数p( )=厂( )+ g( )若p( )在区间(0,3)上不单调,求实数k 的取值范围
9、; 对于同一道题目,由于思考的角度不同,解 题的思路和方法也各异,也就是说从多个角度 去分析就会得到多种解法一题多解,就是启发 和引导学生从不同角度、不同思路,运用不同的 方法解答同一道数学问题,通过对基本的解题 方法与技巧的探究,使学生体会到多种数学知 识和方法解题,对沟通不同知识间的联系,开拓 解题思路,培养学生发散思维能力,激发学生的 学习兴趣都是十分有益的 一、变量分离法 新课程背景下高考函数客观题,注重知识 交汇与融合,注重用新观点新方法解决传统问 题,加强用“代数法”与“导数法”两种方法来 研究函数的性质在导数中引人了参数,结合函 数的性质求参数的取值范围是近几年高考的热 点之一 解法1:P( )= )+g( )= +(k一 1) +(k+5) 一1,P ( )=3x +2(k一1) +k+5由题意得,函数p(x)在区间(O,3)上不 单调,所以,P ( ):3x +2(k一1) +k+5= 0在区间(O,3)上有解,但无重根 |j(2x+1) l3