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1、杨锦义 楼可飞 对几类特殊函数的理解及应用 一、最值函数 1定义1 最大数、最小数 设口、b E R，记min口，b为n、b中较小的 数，max0，b为a,b中较大的数，如min1，一2 =一2,max1，一2=1，若口=b，贝0min口，b= maxa,b=口 定义2 最大函数、最小函数 设 )、g( )都为定义在，上的函数，记 minlAx)，g(x)为，( )、g( )中较小的函数， lnB,xf(X)，g( )为，( )、g( )中较大的函数若 )=g(x)，则minf( )，g(x)：max )， g( )= ) 例1 函数Y= rainI +1 I，I x一1 I的 单调增区间是
2、(A)0，+oo) (B)(一，0 y 1 l _ (C)(一，一1或O，1 (D)一1，0或1，+) 分析：作函数厂( )=I +1 I的图像：以点 B(一1，O)为端点的两条射线，作函数g( )= I 一1 I的图像：以点D(1，0)为端点的两条射 线，如图1，设 )=g( )得 =0即两个图像 交于点(0，1)当 0时 )g(x)，所 以原来函数的图像为折线ABCDE，所求的递增 区间是一1，0、1，+) 从三视图的角度看，最大函数的图像就是 俯视图，最小函数就是仰视图，本例中的最小函 数Y的图像就是折射ABCDE，最大函数 maxI +1 l，I 一1 Il的图像就是图1中的 虚线部分
3、 例2 若函数 )=max3+logx， log2 ，其中maxp，q 表示两者中的较大者， 则 )2的解集为 _ 分析：函数 )的 图像如图2中的实线部 y 0 j _ I I T 分ABC，当 =4时，Y=2，当 4时，Y=log (图 像为BC段)原不等式 )2即 ) 厂(4)，所求的解集是(0，4)u(4，+) 从图1、图2可以看到，最大函数有最小值， 最小函数有最大值 例3 对于函数 )： 眦， 似c0 ， LeOSX，sinif,1+1=2，所以 = 二 l 一 I，满足利普 =兰 =l 1一 2 l，满足利晋 0 L 1七 x 1 2 希兹类函数的定义 三、有界泛函数 定义 设函
4、数，( )的定义域为R，若存在 、 】2 与 无关的正常数m，使I )ImI l对一 切实数 均成立，则称厂( )为有界泛函数 例6 在下列四个函数( =2x；y= 2 ； = ； = sinx；y 中， 属于有界泛函数的序号是一 分析：当 O时I上l=22；l上I= I sinx I1； + +1，I上I= l I詈；当 4时 Ix2，I考 1 Il I=l I无界；I上l_I I无界 答案为 四、不动函数 定义 对于函数，( )，若存在 R，使 )： 。成立，则称点(， 。)为函数厂( )的 不动点 )称为点( 。， 。)附近的不动函数 例7 (I)已知函数八 )=ax + 一 b(a0)
5、有不动点(1，1)和(一3，一3)，求a、 b的值： ()若对于任意实数b，函数 )=口 + bxb总有两个相异的不动点，求实数口的取值 范围： ()若定义在实数集R上的奇函数g(x) 存在(有限的)17,个不动点，求证：n必为奇数 分析：(I)设n +bxb= ，县D +(b 一1) 一b=0，由题意知此方程有两个根1、 f1+(一3)=一 ， 一3，由韦达定理得 解得 l 1(一3)= ， 。 a a=1，b=3 ()由题意，方程0 。+(b一1) b=0 为一元二次方程，判别式=(b一1) +4ab 0即b +(4口一2)b+10对于任意实数b设 h(b)=b +(4a一2)b+l，它是
6、关于b的二次 三项式，要使对任意实数b都有h(b)0，则判 别式 =(4a一2) 一40，得0a1； ()因为奇函数g( )定义在实数集R 上，g(O)=0，即0是g( )的一个不动点设 。 是g(x)的非零不动点，即g( 。)= 。，则 一g( 。)=一 。，而g( )是奇函数即g(一 ) ：一g( )，所以g(一 )=一 ，由定义知一 是g( )的又一个非零不动点，这说明g( )的 孙 红 非零不动点成对出现且互为相反数，非零不动 点总个数为偶数，再加上零不动点0，不动点总 个数必为奇数 一追离考试题硇翩法搽究 导数是普通高中数学新课程标准中新 增加的内容之一，其目的是让学生有丰富的实 际
7、背景和广泛的应用，体会导数的思想与作用 从历年高考试题可以看出导数题型近几年逐渐 加大难度，难易结合，有基本题也有综合题，全 国卷及各省市卷在选择、填空和解答题中每年 总会有一道小题或大型综合题小题以考查运 算为主，大题则对思维能力要求较高导数内容 的考查常常把新课程增加的内容和一些传统内 容有机地结合在一起，往往与不等式、数列、解 析几何、三角函数等知识结合在一起，主要考查 学生的理解转换能力和知识的综合运用能力 根据最近几年命题立意的发展变化，要重点准 备导数综合题，要有针对性训练，并从“注重数 学思想方法，强化运算能力，重点知识重点训 练”的角度做好充分准备 含参数问题历来是高考的必考内
8、容，这种 题型涉及到的知识点多，综合性强，难度大，要 求高，经常与函数与方程、数列、不等式、导数、 圆锥曲线等内容有机地结合含参数类型的题 型，往往一道题目就整合了“函数方程思想，分 类讨论思想，数形结合思想，等价转化思想，” 等多种重要数学思想方法，这种类型的题目已 经成为考查学生数学知识，反映学生对数学思 想和方法的理解和掌握程度的良好载体接下 来我们就一道高考试题进行探讨 案例(2009年浙江卷)已知函数 )= 一(k2一k+1) +5X一2，g( )=k2x2+kx +1，其中k E R，(1)设函数p( )=厂( )+ g( )若p( )在区间(0，3)上不单调，求实数k 的取值范围
9、； 对于同一道题目，由于思考的角度不同，解 题的思路和方法也各异，也就是说从多个角度 去分析就会得到多种解法一题多解，就是启发 和引导学生从不同角度、不同思路，运用不同的 方法解答同一道数学问题，通过对基本的解题 方法与技巧的探究，使学生体会到多种数学知 识和方法解题，对沟通不同知识间的联系，开拓 解题思路，培养学生发散思维能力，激发学生的 学习兴趣都是十分有益的 一、变量分离法 新课程背景下高考函数客观题，注重知识 交汇与融合，注重用新观点新方法解决传统问 题，加强用“代数法”与“导数法”两种方法来 研究函数的性质在导数中引人了参数，结合函 数的性质求参数的取值范围是近几年高考的热 点之一 解法1：P( )= )+g( )= +(k一 1) +(k+5) 一1，P ( )=3x +2(k一1) +k+5由题意得，函数p(x)在区间(O，3)上不 单调，所以，P ( )：3x +2(k一1) +k+5= 0在区间(O，3)上有解，但无重根 |j(2x+1) l3
