《自控理论第二章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《自控理论第二章（60页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 控制系统的数学模型,2-1 控制系统的时域数学模型1. 对控制系统的要求 对控制系统的要求最基本的是对系统的输出c(t)在时间域中的变化情况而提出. 最简单的理想情况如下图所示, 既当系统被,输入一个,信号后, 系统输出,立即以,一定的比例关系变化. 但由于实际系统具有质量, 惯性或延迟性及其它原因, 系统的实际输出往往为如下三种图形中的一种:,前一屏的(a)(b)(c)三图中,为在,输入信号下的理想输,出,为实际输出. (a)图的实际输出是衰减振荡的,(b)图的,实际输出是等幅振荡的,(c)图的实际输出是发散振荡的.由上面分析可知, 对控制系统的性能要求一般可归结为:稳定, 并有一定
2、的裕量;符合要求的瞬态响应, 即系统的瞬态质量, 也叫系统的过渡 过程性能;(3) 符合要求的控制精度, 即对系统的稳态误差的要求. 因此在工程上无非是对已有的控制系统分析它的稳定性,瞬态性能和稳态误差, 或根据用户提出的稳定性, 瞬态性能和稳态误差的定量指标设计一个满足要求的控制系统, 如下图所示:,对于分析或设计一个控制系统, 不能只满足于定性的分析或,设计, 而往往要求进行定量的分析或设计, 为此第一步的工作就需求出系统中各个环节的数学模型, 进而获得系统的数学模型.2. 系统的数学模型 控制系统的数学模型, 是描述系统内部各物理量(或变量)之间关系的数学表达式, 时域中数学模型的基本形
3、式是微分方程,而对于线性定常连续系统其最基本的时域数学模型为常系数线性微分方程,其一般形式可表为:,下面通过一个具体的例子来说明建立数学模型的一般原则和方法及步骤.,例1. 直流电动机的数学模型,直流电动机是在控制系统中常用的一种装置, 其示意图如下所示:,确定直流电动机的输入量和输出量,上图表明, 直流电动机的激磁电流, 从而,磁场恒定不变. 电机的转速与电枢电压,大小有关,与负载力矩,的大小有关. 因此输入量有两个,一个,是电枢电压, 另一个是负载力矩,输出量一个, 即转速,或角位移,列写原始方程式 将电动机分解成二个更简单的部分, 一个是电枢回路部分, 另一个是机械转动部分. 由基尔霍夫
4、定律, 电枢回路部分原始方程为:,式(1)中,是当电枢旋转时产生的一个与,方向相反的,感应电势. 根据力矩平衡原理, 机械转动部分的运动方程为,式(2)中,是电枢电流产生的电磁转矩,是电动机转动部分和负载折合到电动机轴上的转动惯量.,是电动机转动部分和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数.,(3) 消去中间变量,从式(1)和式(2)中可见,是中间变量, 要,消去它们, 就要找出中间变量与其它因素间的关系. 感应,电势,正比于转速,和激磁电流,产生的磁通量,由于激磁电流是恒定的, 所以磁通量也恒定, 感应电势仅取决于转速, 并可表示为:,式(3)中,为反电势系数.,电动机产生的电磁转矩,是激磁磁通
5、和电枢电流,的正比函数, 由于激磁磁通恒定, 故,可表为:,式(4)中,为电动机转矩系数.,将式(1),(2),(3),(4)联立得:,消去中间变量,得电动机输入输出方程为:,如果电动机的输出轴配有滚珠轴承并涂高效润滑油, 则粘,性摩擦系数,可忽略不计, 如果电动机输出轴不带负载, 即,则式(5)可简化为:,若令:,为机电时间常数,为电枢回路时间常数,则式(6)可写为:,有式(7)可知, 当电动机的转速稳定后,不再变化, 则, 从而,式(8)中,是电动机的传递系数. 由于电动机中的电枢回路有一个储能,元件,并且转动部分有惯性, 故描写电动机的微分方程式(7),的左端必为二阶微分, 且有二个时间
6、常数. 如果电动机电枢回路中的电感很小, 即电枢回路时间常数,很小可忽略不计,则式(7)可简化为:,二阶微分方程简化为一阶微分方程, 给数学处理带来很大的方便, 近一步, 如电动机为小型电动机, 其转动部分的,转动惯量,很小, 从而机电时间常数,很小可忽略不计,则,式(9)可近一步简化为,即式(8), 成为代数方程,例2. 电动机转速控制系统的数学模型,确定各环节的输入输出方程,运算器: 如采用的运算器仅起比例放大作用, 放大倍数为, 则,测速发电机: 如采用的是小型测速发电机, 则其输入输出,方程为:,式(11)中,为测速发电机的传递系数,电动机的微分方程,为式(7).(2) 消去中间变量联
7、立式(7),式(10),式(11), 消去中间变量,则系统,的微分方程为:,式(12)中,为系统中各环节传递系数的乘积, 称为系统的开环放大倍数.,2-2 控制系统的复数域数学模型,由2-1节的叙述可知, 对于线性定常连续系统来说,描述其性能的基本数学模型是常系数线性微分方程, 其一般形式为:,但从分析系统性能的方便与否这一角度衡量, 微分方程虽是基本的数学模型, 却并不是一个使用起来最方便的数学模型. 因为从微分方程出发分析系统的性能, 就必须求出,微分方程的解, 而对于阶数大于2的微分方程来说, 求,解并非易事. 其次, 当系统参数变化后对系统性能的影响也很难从微分方程本身及其解中很容易地
8、看出来, 这就对分析系统尤其是综合系统带来很大的困难. 对于解高阶微分方程的困难, 可用拉氏变换, 将微积分运算转换为代数运算, 求出微分方程的解.,从而人们设想, 能否利用拉氏变换这一工具, 不解,微分方程, 就能知道系统的性能, 甚至当系统参数变化后, 也能方便地看出它对系统性能的影响呢? 这就引出了传递函数概念. 传递函数在古典自控理论中是一个很重要的函数, 古典自控理论的两大分支, 根轨迹法和频率法, 就是在传递函数的基础上建立起来的. 1. 传递函数的定义和性质例: 一RC电路如下图所示, 设在开关K闭合的瞬间时刻,作为计时起点, 即t=0, 且此,时电容两端的电压为,开关K闭合后不
9、再打开, 则,在RC电路输入端加了一恒定的电压, 其幅值为,RC电路的微分方程为:,令,为RC电路的时间常数, 则式(13)为:,对式(14)两边进行拉氏变换, 得:,式(15)中, 而,因为,是幅值为,的阶跃电压, 故,代入式(16), 得:,对式(17)两边进行拉氏反变换, 得:,上式中等式右边第一项是在电容两端的初始电压,由输入电压,激励下的输出分量, 也叫零初始条件响应,第二项是由初始条件,激励下的输出分量, 也叫零输入,响应. 如令, 即初始条件为零, 则式(16)为,把,叫所举例中RC电路的传递函数, 从而RC电路可,用下面方块图表示:,由上例, 可得系统(或环节)的传递函数的如下
10、定义:,设单输入-单输出线性定常连续系统的微分方程为:,当初始条件为零时, 系统输出量的拉氏变换表达式与系统输入量的拉氏变换表达式之比, 称为该系统的传递函数,其一般表达式为:,下面给出传递函数的若干性质: 1) 传递函数是两个复变量s的有理多项式之比, 且m=n 即传递函数是复变量s的有理真分式函数, 具有复变函 数的所有性质. 两个多项式中的所有系数均为实数. 传递函数只取决于系统或环节本身的结构和参数, 而与 系统或环节的输入信号的形式和大小无关.,3) 传递函数的分母,称为,系统的特征多项式,如令分母,则叫系统的特征方程, 特征方程的根叫系统的极点, 也叫传递函数的极点, n叫系统的阶
11、数, 如令传递函数的分子,求得的根叫系统的零点, 也叫传递函数的零点. 从而,上式中传递函数的零点为,传递函数的极点为,而,称为传递函数的根轨迹增益. 当,s=0时,称为传递函数的传递系数.,系统的传递函数的零点和极点以及传递系数对输出的影响,请参见教材有关内容.传递函数本身的拉氏反变换是系统的单位脉冲响应 (或叫单位脉冲过渡函数)g(t), 因为,关于传递函数定义中的零初始条件作些说明. 将输入信号作用于系统的瞬间时刻t作为时间的起点, 即t=0, 则不管输入信号在t0期间是否客观存在, 对于系统来说, 输入信号及其各阶导数均为零, 可用数学语言表述为:,而对于系统本身来来讲, 在t0期间系
12、统处于稳定的工作状态, 且其稳定的工作状态为零状态, 即:,在上述意义下, 认为系统满足零初始条件.,2. 典型环节的传递函数,一个自动控制系统, 不管其多么复杂, 总是由若干个元件按不同的方式根据一定的目的组合而成. 从结构和作用原理角度来看元件, 可以有各种各样不同的元件, 如机械式, 电气式, 液压式, 气动式等等. 但从描述各种元件的行为特征的数学模型来看元件, 不管元件的结构和作用原理如何千差万别, 其数学模型却有可能完全一样. 因此从元件的数学模型来划分元件的种类, 只有几种最基本的元件或称为典型环节. 复杂一些的元件, 其数学模型可以是几个典型环节的数学模型组合. 而一个复杂的系
13、统的数学模型也无非是一些典型环节的数学模型组合而成. 因此从分析和综合系统的角度来看, 按数学模型来划分环节,更能抓住事物的本质. 在介绍典型环节的传递函数前, 先补充算子阻抗法.,补充算子阻抗法的目的是为了便于推导所举典型环节的物,理原型的传递函数. 设电阻R的输入信号是流过电阻的电流, 输出信号是电阻两端的电压, 如下图所示:,则,对其两边进行拉氏变换, 得:,从而, 称R为电阻的算子阻抗.,设电容C的输入信号是流过电容的电流, 输出信号是,电容两端的电压, 如下图所示, 则,设初始条件为零,对上式两边进行拉氏变,换,得:,称,为电容的算子阻抗.,设电感L的输入信号是流过电感的电流, 输出
14、信号是,电感两端的电压, 如下图所示, 则,设初始条件为零,对上式两边进行,拉氏变换,得:,称Ls为电感的算子阻抗. 由式(21),(22),(23)可见,都具有电阻的性质, 从而电路中电容和电感串联或并联连接时, 就与电阻的串联或并联的运算方法一样.,1) 比例环节,当右下图中的运放为理想运放,时,当输入电压,时, 比例环节输入和输出的波形如,右图所示:,一般情况下, 比例环节的传递函数为:,式(24)中K可大于零也可小于零.,2) 惯性环节(非周期环节)右图所示电路即为惯性环节,一般情况下,惯性环节的传递函数为:,当输入信号,时, 惯性环节输出的时间表达式为,其图形如下图所示,惯性环节传递系数K的物理含意是输出稳态值与输入稳态之比, 此结论具有普遍性. 惯性环节单位阶跃响应的变化速,度为:,上式表明, 在t=0时刻, 惯性环节单位阶跃响应的变化速度, 如输出保持t=0时刻的速度不变, 则达到其稳,态值K所需的时间即为惯性环节的时间常数T, 如下图所示,惯性环节的时间常数T, 也可由另一方法求出, 令t= T, 即惯性环节单位阶跃响应曲线在时刻T的值为:,如上图所示.3) 积分 环节 (a)理想积分 环节 其物理模型如下图所示:,所谓理想积分 环节, 是指不仅运放是理想的, 而且电路中,积分电容的漏电流为零, 即电容的漏阻无穷大, 则理想积分环节的传递函数为:,
