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1、则上图的脉冲传递函数为:,需指出的是,例1: 求下图所示开环系统的脉冲传递函数,解:,例2: 求下图所示开环系统的脉冲传递函数,解:,例3: 求下图所示有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数,解: 令,则:,由Z变换的滞后定理可得:,B. 闭环系统的脉冲传递函数,由于采样开关在闭环系统中可以有多种配置可能性, 因此闭环系统的结构图较连续系统的结构图来的复杂. 下图是一种常见的离散闭环系统的结构图形式:,由上图经推导可得:,叫闭环系统的误差脉冲传递函数. 实际系统的输出一般是连,续信号, 故如上图所示, 在输出端虚设一采样开关, 才可得到闭环系统输出对输入的脉冲传递函数.,因为, 所以,上式中,叫闭
2、环系统的特征多项式,叫闭环系统,的开环Z传递函数. 在有些情况下, 无法得到闭环系统的Z传递函数, 而只能得到闭环系统输出的Z变换表达式, 见下图:,例: 求下图所示系统的Z传递函数, 采样周期T=0.07s.,解:,6.4.3 离散系统数学模型的模式之二_离散动态方程,离散控制系统的被控对象一般都是连续的, 当用连续动态方程描述被控对象时,就需将连续动态方程离散化. 现假设被控对象连续动态方程的一般形式为:,设初始时刻为,初始状态为,状态方程的解为:,令, 代入上式得:,假设采用零阶保持器, 则当,时有,上式为:,令:,对上式进行变量代换, 令, 则, 当,时, 当,时, 将上述变量关系代入
3、上式得:,从而得到离散化后的动态方程为:,上式中,. 动态方程的结构图见P.351图6.4.2,例: 设连续动态方程为:,试求其离散化动态方程, 设采样周期T=1s,解: 可求得状态转移矩阵为:,令t=T, 则:,而:,当T=1时, 可得:,系统离散化状态方程为:,课外习题:P.414第6.9题(2)(3), 第6.10题(a)(b)(c)(d),第6.11题 第6.13题(1)(2),下面讨论离散动态方程的求解方法.,设离散动态方程为:,1. 递推法. 令:,将上面方程从上往下逐个依次迭代, 得:,递推法给出的状态方程的解不是闭合形式, 但便于用计算机求,解. 由输出方程可方便地求出输出.
4、2. Z变换法 对状态方程,两边进行Z变换得:,Z变换法给出的状态方程的解是闭合形式的.由输出方程可方便地求出输出. 令:,称为离散系统的状态转移矩阵.,例: 采样周期T=1s的离散系统的齐次状态方程为:,求其解.,解:,6.6 离散控制系统的性能分析,6.6.1 离散控制系统的稳定性 1. 稳定条件 在线性连续系统理论中已知, 其稳定的充要条件是系统的所有极点均在S平面的左半平面上. S平面的虚轴是稳定区域的边界. 在线性离散系统中, 如用拉氏变换, 则变换式中含有,项, 从而系统的特征方程为超越方程, 其极点不好求. 但,经过Z变换后, 离散系统的特征方程D(z)为Z平面上的代数方程但在Z
5、平面上, 离散系统的稳定条件又如何表述? 设离散系统的特征方程为D(z), 令D(z)=0, 设其极点为, 则系统稳定的充要条件是, 在Z平面上,均在以原点为圆心, 半徑为1的单位圆内, 即,当, 即只要有一个极点在单位圆周上,则系统是临界稳定的.,当, 即只要有一个极点在单位圆外,则系统是不稳定的.,上述结论的正确性可说明如下:,设在S平面上,有,经Z变换后, 它在Z平,面上的映像为:,由上式可得: 当,时, s在S平面的左半平面上, 而,z在Z平面上的单位圆内. 当,时,s在S平面的虚轴上,而,z在Z平面上的单位圆周上. 当,时, s在S平面的右半平面上,而, z在Z平面上的单位圆外.,2
6、. 劳斯稳定判据在离散控制系统中的应用 劳斯稳定判据只能根据代数方程的系数, 判别代数方程的根在根平面的左半平面上还是在根平面的右半平面上, 而无法判别代数方程的根的模是大于1还是小于1, 或是等于1.,为此需把Z平面再进行一次变换, 令:,或令:,将上述变换叫作双线性变换, 也叫Z-W变换, 即把Z平面变换到W平面. Z和W均为复变量, 可表为:,即:,将式(2)代入式(1), 有:,由上式可见, W平面上的虚轴对应于上式中的,而,在Z平面上正好是单位圆的圆周. 由于,所以当,时, 即u0,w在W平面的右半平面上,而,在Z平面上即为单位圆的外部.,有上述ZW变换, 可将Z平面上的特征方程D(
7、z)变换为W平面,上的特征方程D(w), 即:,从而在W平面上应用劳斯稳定判据判别离散控制系统的稳定性例: 设闭环离散控制系统的特征方程为:,试判断此系统的稳定性.,解: 令,代入D(z)得:,列出劳斯表为:,因为劳斯表有两次符号改变, 所以D(w)有两个根在W平面的右半平面上, 即D(z)有两个根在Z平面的单位圆的外部, 故此系统不稳定.,2. 李雅普诺夫稳定判据在离散控制系统中的应用,对于线性定常离散控制系统, 李雅普诺夫直接法的稳定判据可作如下表述: 为讨论问题方便起见, 设采样周期T=1s. 则给定系统的状态方程可表为:,若系统是渐近稳定的, 则任意选定一个正定的对称矩阵Q(一般Q=I
8、), 必存在一个正定的对称矩阵P, 满足离散李雅普诺夫方程, 即:,而李雅普诺夫函数:,李雅普诺夫函数的变化率:,例: 试用李雅普诺夫直接法的稳定判据判别下面给出的离散,状态方程所表示系统的稳定性.,解: 取正定对称矩阵,令,将Q和P代入离散李雅普诺夫方程, 得:,由于P的一阶和二阶主子行列式都大于零, 所以P正定,系统是渐近稳定的.,课外习题:P.416第6.15题(1)(2)(4), 第6.16题,6.6.1 离散控制系统稳态误差的计算 非单位反馈离散控制系统的典型结构图如下图所示:,上图中,叫离散偏差信号, 其Z变换表达式为:,若令, 则上式为:,其中,叫开环Z传递函数. 当,时, 上图
9、为单位,反馈离散控制系统,叫离散误差信号.,定义离散稳态误差(或偏差)信号为:,需强调指出的是, 上面定义的是离散误差(或偏差)信号在采样时刻的稳态值. 计算离散稳态误差(或偏差)值的方法有下面三种:,(1)求出,或,表达式后, 由定义求,(2)当闭环稳定时, 利用Z变换的终值定理求, 即,(3)当系统的输入信号分别为,或为这三种信号,的组合时, 用稳态误差系数法求, 为此, 将离散闭环系统按其,开环Z传递函数中含有0,1,2,个z=1的极点个数而分为0型, 1型,2型, 系统.,下面介绍在典型输入信号作用下, 用稳态误差系数法计算稳态,误差值的具体方法. (1) 阶跃(位置)输入时,令,为位
10、置误差系数，则,，从而对于,0型系统,为有限值。,1型系统,， 2型系统,(2) 斜坡(速度)输入时,为速度误差系数，则,，从而,对于0型系统, 1型系统,为有限值。,2型系统,令,抛物线(加速度)输入时,为加速度误差系数，则,，从而,对于0型系统, 1型系统,为有限值。高于2型系统的,2型系统,由上面推导结果可见,离散系统的稳态误差值不仅与输入信号的型式和大小有关, 与系统的结构和参数有关, 还与采样周期T的大小有关.,例: 试求下图所示系统在输入信号r(t)分别为,时的稳态误差值,. 采样周期T=0.1s,解: 1) 开环S传递函数,开环Z传递函数,可证得闭环稳定, 因开环Z传递函数有一个
11、z=1的极点, 故系统为1型系统. 从而稳态误差系数分别为:,当,时,当,时,当,时,课外习题:P.417第6.19题(1) ,(3) ,(4) ,(5),6.3.3 离散控制系统动态响应的定性分析,当离散控制系统的输入为单位阶跃函数时, 其输出的离散函数的一般表达式可由下面方法求得:,输出的Z变换表达式,上式中,为离散控制系统的Z传递函数.,为分析方便起见, 假设,无重极点, 则,上式中,为,的极点, 而,所以,上式中,由输入阶跃信号Z变换表达式的极点所产生,叫,输出的稳态响应,由离散控制系统的Z传递函数的极,点所产生,叫输出的瞬态响应. 研究不同极点分布时的瞬态响应, 就可定性地说明系统的
12、动态性能.,对于系统的任一极点, 均可表为极坐标形式, 即,从而对应于,的瞬态响应分量为:,则(1)正实数极点时,对应的瞬态响应分量为,是单,调的.,为衰减序列;,为等幅序列;,为,发散序列.,(2)负实数极点时,对应的瞬态响应分量为,是振荡的,此时振荡频率可达最高,可证明为,当,为衰减振荡序列;,为等幅振荡序列;,为发散,振荡序列.,(3)复数极点时必为共轭,瞬态响应分量为,上式中待定系数,和,也共轭, 因而瞬态响应分量为:,由上式可见, 复数极点所引起的瞬态响应分量是振荡的. 当,时, 振荡的衰减速率取决于,的大小,时,瞬态响应分量是等幅振荡的. 当,越小,衰减越快,当,时,瞬态响应,分量
13、是发散振荡的. 且可证明振荡频率,6.6.4 离散控制系统的能控性和能观性,对于n阶线性定常离散控制系统的物理原型, 如能直接写出其离散状态方程,则其能控性的定义为: 是否存在控制作用序列,能使系统由任意初始状态,开始转移, 在第,n步上达到,? 下面直接给出能控性判据.,若能控性矩阵,的秩, 则其为系统的状态完全能控的充分,必要条件.,对于n阶线性定常离散控制系统的物理原型, 如能直接,写出其离散动态方程,则其状态完全能观的充分必要条件是其能观性矩阵,的秩,当线性定常离散控制系统的动态方程是由连续控制,系统的动态方程经离散化后而得到时, 其状态的能控性和能观性可由下面三个定理判定. 定理一:
14、 如连续控制系统A,B,C状态不能控(或不能观), 那么对任意采样周期T离散化后的系统其状态也必不能控(或不能观). 定理二: 如连续控制系统A,B,C状态能控(或能观)则离散化后的系统其状态能控(或能观)的必要条件是,不是A的特征值.,定理三: 如连续控制系统A,B,C状态能控(或能观 则以T为采样周期的离散化后的系统其状态能控(或能,观)的充分条件是: 对A的任意两个特征值,和,不存在,非零整数k, 使,成立.,定理三对于单输入-单输出系统为充分必要条件.,6.7 数字控制器的设计 6.7.1 模拟化设计方法 模拟化设计方法的前提是当采样频率比系统的工作频率高得多, 以致由采样和保持所引入
15、的附加影响可忽略不计. 从而系统中的离散部分可用连续控制器代替, 整个系统可用连续系统的各种设计方法来确定模拟控制器, 再用各种方法将模拟控制器的S传递函数离散化成数字控制器的Z传递函数, 便于计算机进行数值计算. 下面仅介绍各种离散化方法中的一种, 即双线性变换法, 也叫图斯汀变换法. 设经过模拟化设计后的控制器的,S传递函数为:,则上式对应的微分方程为:,将上式写成积分形式有:,上两式之间的关系可由下图直观说明,由上图可见,是由k个梯形面积叠加而成,表达式的,第二项即,用梯形面积近似为,因此,对上式进行整理得:,对上式两边进行Z变换并整理得离散化数字控制器的Z传递,函数为:, 与,相比较得,
