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1、全国统一服务热线：4006682155 1to 全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）下列反常积分收敛的是（）(A) (B) (C) (D)2222【答案】(D)【解析】 （A）根据 ，所以 。1收 敛发 散 12 散（C） 。222（C）同（A） 。（2）函数 ） 内 （ ）在 （,)0）连续 （B）有可去间断点 （C）有跳跃间断点 （D）有无穷间断点【答案】 （B）【解析】 时， ，所以 为可去间断点。0x2000（3）设函数 ，若 在
2、连续，则（）),(, (f(A) (B) (C) (D)110220【答案】(A)【解析】 ，若要 ，则 。11()0101（4）设函数 在 内连续，其 2 阶导函数 的图形如右图所示，则曲线的 的拐,) ()个数为( )（A）0（B）1（C）2（D）3【答案】 （C）【解析】如图所示2 2 全国统一服务热线：4006682155to 勤求学 自强不息（5）设函数 满足 ，则 与 依次是（ )(,)11A） 1,02（B） ,（C） 1,02（D） ,【答案】 （D）【解析】 ，由 ，21(),212所以 。(1,),1(,)0(,)()（6）设 D 是第一象限中的曲线 与直线 围成的平面区域
3、，函数 在2,413,)连续，则 （ ）(,)A）13in)（B）1（C）13（D）1【答案】 （B）全国统一服务热线：4006682155 3to 析】 转化为极坐标表示即可，所以选择 B。（7）设矩阵 ，若集合 ，则线性方程组 有无穷多解的充分必2211,41,2条件为（ ）（A） ,a（B） （C） ,（D）【答案】D【解析】 有无穷多解 ，即 ，从而3,0(2)10a12a或当 时， 1从而 时 有无穷多解23=0或 时，a22111043A从而 时 有无穷多解23=0或 以选 D.（8）二次型 在正交变换 下的标准形为 ，其中 ，若123(,)23(e,)P， 在正交变换 下的标准型
4、为（ ）13(e,Q,） 2y（B） 213（C） 2（D） 213y【答案】 （A）【解析】由已知得 ， ，2212313(,)23(1)从而 1232323(,)()T ，其中 ， 均231)0120()1为初等矩阵，所以选（A） 。4 4 全国统一服务热线：4006682155to 勤求学 自强不息二、填空题(914 小题，每小题 4 分，共 24 分请将答案写在答题纸指定位置上)（9）设 则 21答案】 48【解析】 2212 22123214810）函数 在 处的 阶导数 n()0答案】 解析】 ()()(0)()(1)(2)()22120 2(2) 2()21)(11) 设函数 连
5、续， ，若 ， ，则 _.()()(1)()5(1)f【答案】 12【解析】因为 , . ，所以220()()()10()0()()2()5()f(12) 设函数 是微分方程 的解，且在 处 取得极值 yyx()案】 2【解析】特征方程为 ， ，微分方程的通解为 ，由已知条0r12,r 21()件得 ，则 ，则 。(0),()3y2,(13) 若函数 ，有方程 确定，则 _.,(0,)答案】 (0,)1解析】对方程 两边分别关于 求导，得23,006682155 5to ，再将 代入得，23()2()023()2()0(,)，则 。(0,)(0,)13(,)114)设 3 阶矩阵 A 的特征值
6、为 2,， ，其中 E 为 3 阶矩阵，则行列式B【答案】21【解析】设 A 的特征值为 ，对应的特征向量为 ，则 ，)1()(22 的所有特征值为 3,7,1故 =3*7*1=21三、解答题：1523 小题，共 94 明过程或演算步骤.（15）设函数 若 与 在 时为等价无穷小，求3(),()值。,析】由题意， 3/1,2/,1 )(6/)()(3/21ln(li)6）设 是由曲线段 及直线 所围成的平面区域， 分A)20,22, 轴与绕 轴旋转所成旋转体的体积，若 ，求 的值。x 12VA【解析】 ， ，由 得，2222101( 012。8A（17）已知函数 满足 ，求(,)(,)2(1)
7、,(0)1,(0),的极值。(,) 全国统一服务热线：4006682155to 勤求学 自强不息【解析】由题意可知： 2(,)可知 ，所以 ，(,0)11代入可知 ，解得2()1因为 可知 (,)f0c故 21则 解得(,)0 1由题意可知唯一驻点为（1，所以极值为 (,)0f（18）计算二重积分 ，其中 。()22,【解析】 ，其中12DI ，21(,),0则 。2112 45（19）已知函数 求 的零点的个数。211,()析】令 ，则 ，2()2221(1)由 ，得 ，因为 ， ，所以 为极值点。0 ()0时 ， ()0时 ，故 ，又 ，故 必小于 1()22 22211 112li(xx
8、 ，故有两个 2 点。221)0,10（20）已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的变化与该时刻物体和介质的温差成正全国统一服务热线：4006682155 7to 将一初始温度为 120 的物体在 20 恒温介质中冷却，30 分钟后该物体温度降至 30 ，若要C C该物体的温度继续降至 21 ，还需要多长时间？【解析】 ()()20所以 解得 ()又因为 ，所以012V10所以 解得(3)30,代入 可得00 分钟就 21了（21）已知函数 在区间 上具有 2 阶导数， 设 曲线()a()0,(),()0,点 处的切线与 轴的交点是 ，证明：()证明】切线方程为 ()()与 轴的
9、交点为) ） 证明 0b因为 ，所以 且 单调增加，()()0f()易得()（2 ） 证明 0x欲证 ，等价于证明 ，0a()因为 ，所以原不等式等价于证明()()()令 ,()(),易知 ()0a又因为 所以 即 单调递增，,()0,x() 全国统一服务热线：4006682155to 勤求学 自强不息易得 ，原不等式得证。()0（22）设矩阵 ，且 ，1A30A（1）求 的值。a（2）若矩阵 满足 ，其中 E 为 3 阶单位矩阵，求 。【解析】 （1） ，2 2101=02 3232 23110。0（2）由 得，222121()()()()()()当 时， ，则 ， ，0a10210 200,进而 1212(),()001213X()()（23）设矩阵 相似于矩阵 。312a2031（1）求 的值。,）求可逆矩阵 ，使 为对角矩阵。析】 （1）全国统一服务热线：4006682155 9to ,4),32(132)(,132,10)(1002322321 2（特 征 值 相 同（2）由（1）得 ，其中特征值 ，0124A123,5当 时，解 方程的基础解系为 ；12()02,01当 时，解 方程的基础解系为 ，35()1从而 ，123123123123(,)(,5)(,)(,)15A因为 线性无关，所以令 可逆，即 ，使得 。123, 123,15
