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1、全国统一服务热线：4006682155 1to 全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）设 是数列下列命题中不正确的是（ ）若 ，则221（B）若 ，则21n（C）若 ，则D）若 ，则31【答案】 （D）（2）设函数 在 内连续，其 2 阶导函数 的图形如右图所示，则曲线的 的拐()()()个数为（A）0（B）1（C）2（D）3【答案】 （C）【解析】如图所示（3）设 ，函数 在 D 上连续，则 （ 22(x,y),(,)）（A） 24(,co
2、, （B） 24,i ,if f （C） 21(,)2 2 全国统一服务热线：4006682155to 勤求学 自强不息（D）210(,)【答案】 （B）【解析】如图所示（4）下列级数发散的是（ ） （A） 18n（B） 1l()n（C） 2（D） 1!n【答案】C【解析】 （A） ，1221.， 存23 117817(). . ()88 498nn 8在，则收敛。(B) 收敛，所以（B）收敛。33122l(1)n :（C） ，因为 分别是收敛和发散，所以222(22(1),发散，故选（C)。2(1)（D) ，所以收敛。!,全国统一服务热线：4006682155 3to ）设矩阵 ，若集合 ，
3、则线性方程组 有无穷多解的充分必2211,41,2条件为（ ）（A） ,（B） （C） ,（D）【答案】D【解析】 有无穷多解 ，即 ，从而0A(2)10a21a或（6）二次型 在正交变换 下的标准形为 ，其中 ，若123(,)f 23(e,)P， 在正交变换 下的标准型为（ ）13(e,Q,Q（A） 2y（B） 213（C） 2（D） 213y【答案】A【解析】由已知得 ， ，2212313(,)23(1)从而 1232323(,)()T ，其中 ， 均231)0120()1为初等矩阵，所以选 A。（7）若 为任意两个随机事件，则,B（A） ()()P（B） （C） ()2D） ()案】 （
4、C）【解析】排除法。若 ，则 ，而 未必为 0，故A()0P(), 全国统一服务热线：4006682155to 勤求学 自强不息，故 错。()(),()2,则 ，故 错。A（8）设总体 为来自该总的简单随机样本， 为样本均值，则123(,), （A） (（B） )（C） (1)D）【答案】 （B）【解析】 221 (1)()二、填空题(914 小题，每小题 4 分，共 24 分请将答案写在答题纸指定位置上)（9） 【答案】 1【解析】 2000(10) 设函数 连续， ，若 ， ，则 _.()()()()5(1)f【答案】 1【解析】因为 , . ，所以220()()()10()10()()2
5、()5()2f(11) 若函数 ，有方程 确定，则 _.(,),)z【答案】 (0,)13【解析】对方程 两边分别关于 求导，得2,，再将 代入得，23()()023()2()0(,)全国统一服务热线：4006682155 5to 。(0,)(0,)1233(0,)123(12) 设函数 是微分方程 的解，且在 处 取得极值 0x()y【答案】 2【解析】特征方程为 ， ，微分方程的通解为 ，由已知条0r12,r21()件得 ，则 ，则 。(0),()3y2,13 矩 阵 的 特 征 值 为 ， ， 21733， 故特 征 值 为【 解 析 】 易 得【 答 案 】 阶 单 位 矩 阵 ， 则
6、 行 列 式为其 中（14）设二维随机变量 服从正态分布 则0;),N【答案】 析】由 故 独立。0,110, 0,.三、解答题：1523 小题，共 94 明过程或演算步骤.（15）设函数 若 与 在 时为等价无穷小，求2(),()值。,析】由题意， 3/1,2/,1 )(6/)()(3/21ln(li) 全国统一服务热线：4006682155to 勤求学 自强不息（16）计算二重积分 ，其中 。()22(,),【解析】 ，其中12DI ，21(,),0则 。2112 45（17）为实现利润最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设 为该商品的需求量， 为价格 为需求弹性（ ） 。0（1）证明
7、定价模型 ；（2）若该商品的成本函数 ，需求函数为 ，试由（1）中的定价模型确定此2()60Q40商品的价格。【解析】 （1）由题意，C，利润最大，又收益 R=1(1)()其中 ，而 。()2）由题意知， ， ，2C()4040则 。(40)31P（18）设函数 在定义域 上的导数大于 0，若对任意的 ，曲线 在点 处的(),() 轴所围成区域的面积恒为 4，且 ，求 的表达式。0 ()2f()f【解析】 0()()0x0()00()(4解得： 23离变量可得： 13全国统一服务热线：4006682155 7to 0)2y所以 1c综上 ()69） （）设函数 可导，利用导数定义证明 。(),
8、)()()（）设函数 可导， ，写出 的求导公式。12.(),.,f【解析】 （1）证明：令 ，则F)()( )()()( )()( 000 （2） )()( )()( )()( )(321 32121 21nn n （20）设矩阵 ，且 ，013A（1）求 的值。（2）若矩阵 满足 ，其中 E 为 3 阶单位矩阵，求 。【解析】 （1） ，2 2011=02 3232 231110。0（2）由 得，228 8 全国统一服务热线：4006682155to 勤求学 自强不息22 2121()()()()()()当 时， ，则 ， ，0a10201 200,进而 1212(),()001213X(
9、)()（21）设矩阵 相似于矩阵 。312a2031（1）求 的值。,）求可逆矩阵 ，使 为对角矩阵。析】 （1）由 5,4),32(132)(,132,10)(1002322321 2（特 征 值 相 同（2）由（1）得 ，其中特征值 ，0124A123,5当 时，解 方程的基础解系为 ；12()02,01当 时，解 方程的基础解系为 ，35()1全国统一服务热线：4006682155 9to 123123123123(,)(,5)(,)(,)15因为 线性无关，所以令 可逆，即 ，使得 。123, 123,15（22）设随机变量 的概率密度为 ，对 进行独立重复的观测，直到第 2 个大0 的观测值出现为止，记 的观测次数。Y（1）求 的概率分布。Y（2）求 。E【解析】（1） ，2()2213717,2,388 （2） 2 217()()864n 令， ，22()(1) 21() 2102()()1，21()1x 213()()x7648（23）设总体 的概率密度为 ，其中 为未知参数， 为随机)0其 他 12,1）求 的矩阵估计量；（2）求 的最大似然估计量。10 10 全国统一服务热线：4006682155to 勤求学 自强不息【解析】 （1） 。21100(;) 2121（2）设 为观测值，则12,1 ,.()(;)()nn 其 他， ，取 。l(),1,l 0
