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1、2018/1/2,1,西安交通大学航天航空学院宋亚勤2013年9-10月,固体力学非线性数值方法,2018/1/2,2,第一章弹性力学简介 第二节:能量原理与变分法,1、弹性体形变势能2、泛函与变分, 最小势能原理、里兹(Ritz)法、伽辽金(Galerkin)法,3、位移变分方程,4、应力变分方程, 最小余能原理、卡氏(Castigliano)定理,5、自然变分原理和广义变分原理,6、弹性力学修正变分原理,2018/1/2,3,1. 弹性力学问题的微分提法及其解法:,(1)平衡微分方程,(2)几何方程,(3)物理方程,(4)边界条件,应力边界条件;,位移边界条件;,定解问题,求解方法:,(1
2、)按位移求解,基本方程:,(a)以位移为基本未知量的平衡微分方程;,(2)按应力求解,基本方程:,(a)平衡微分方程;,(b)边界条件。,(b) 相容方程;,(c) 边界条件。,(a) 归结为求解联立的微分方程组;,求解特点:,(b) 难以求得解析解。,从研究微小单元体入手,考察其平衡、变形、材料性质,建立基本方程:,(3)混合解法,2018/1/2,4,2. 弹性力学问题的变分提法及其解法:,基本思想:,在所有可能的解中,求出最接近于精确解的解;,将定解问题转变为求解线性方程组。,弹性力学中的变分原理, 能量原理,直接处理整个弹性系统,考虑系统的能量关系,建立一些泛函的变分方程,将弹性力学问
3、题归结为在给定约束条件下求泛函极(驻)值的变分问题。,(变分解法也称能量法),(a)以位移为基本未知量,,得到最小势(位)能原理等。,(b)以应力为基本未知量,,得到最小余能原理等。,(c)同时以位移、应力、应变为未知量,,广义(约束)变分原理。, 位移法, 力法, 混合法,有限单元法、边界元法、离散元法 等数值解法。,求解方法:,里兹(Ritz)法、,伽辽金(Galerkin )法、,最小二乘法、力矩法等。,2018/1/2,5,3. 弹性力学问题的数值解法:,(a)直接求解联立的微分方程组(弹性力学的基本方程), 有限差分法;,基本思想:,将导数运算近似地用差分运算代替;,将定解问题转变为
4、求解线性方程组。,典型软件:FLAC,实质:,将变量离散。,(b)对变分方程进行数值求解, 有限单元法、边界元法、离散元法 等,典型有限元软件:,ANSYS,MARC,ADINA,SAP,NASTRAN,ABAQUS 等;,基本思想:,将求解区域离散,,离散成有限个小区域(单元),,在小区域(单元)上假设可能解,,最后由能量原理,(变分原理)确定其最优解。, 将问题转变为求解大型的线性方程组。,2018/1/2,6,1 弹性体的变形能(应变能),1. 变形能的一般表达式,单向拉伸:,外力所做的功:,由于在静载(缓慢加载)条件下,其它能量损失很小,所外力功全部转化杆件的变形能(或应变能)U:,令
5、:, 单位体积的变形能(应变能),,称为应变能密度。,2018/1/2,7,整个弹性体的应变能:,若用张量表示:,应变能密度:,整体应变能:,由能量守恒原理,形变势能的值与弹性体受力的次序无关,只取决于最终的状态。,假定所有应力分量与应变分量全部按比例增加(线弹性),此时,单元体的应变能密度:,2018/1/2,8,2. 应变能的应力分量表示,在线弹性的情况下,由物理方程:,代入应变能密度公式,整理得应变能密度的表达式:,代入应变能公式,有:,2018/1/2,9,表明:,弹性体的应变能密度对于任一应力分量的改变率,就等于相应的应变分量。,3. 应变能的应变分量表示,用应变表示的物理方程:,将
6、应变能密度分别对6 个应力分量求导,并将其结果与物理方程比较,得:,2018/1/2,10,代入应变能密度公式,,并整理可得:,将上式对6个应变分量分别求导,再与应力表示的物理方程比较,可得:,2018/1/2,11,将几何方程代入应变能的表达式,得:,弹性体的应变能密度对于任一应变分量的改变率,就等于相应的应力分量。,4. 应变能的位移分量表示,表明:,2018/1/2,12,2 泛函与变分,(1)函数与泛函的概念:,函数:,x 自变量;,y 因变量;,泛函:,x 自变量;,y 为一变函数,泛函的宗量;,F 为函数 y 的泛函;,例:,U 被称为形变势能泛函。,2018/1/2,13,(2)
7、微分 变分,设函数:,当自变量 x 有一增量:,函数 y 也有一增量:,dx 与 dy分别称为自变量 x 与函数 y 的 微分。,设泛函:,函数 y 有一增量:,泛函 U 也有一增量:,泛函的增量 U 等称为变分。, 微分问题,研究自变函数的增量与泛函的增量 间关系称为变分问题。,是函数取极值的必要条件。,是泛函取极值的必要条件。,2018/1/2,14,例如:,(1)压杆稳定问题,寻求压杆形变势能 U 达到最大值时的压力 P 值。,(2)最速降线问题,球从位置1下落至位置2,所需时间为T,, 泛函的变分问题,2018/1/2,15,(3)变分及其性质,定义:,泛函,增量:,函数,连续性:,称
8、函数 y 在 x0 点连续。,当,有,称泛函 U 在 y0 (x) 处零阶接近。,当,有,称泛函 U 在 y0 (x) 处一阶接近。,当,有,称泛函 U 在 y0 (x) 处二阶接近。,2018/1/2,16,(4)变分的运算,变分与微分运算:,变分运算与微分运算互相交换。,变分与积分运算:,变分运算与积分运算互相交换。,2018/1/2,17,泛函的变分:,一阶变分:,二阶变分:,2018/1/2,18,一阶变分:,二阶变分:, 二阶变分用于判别驻值点是取得极大值还是极小值。,2018/1/2,19,建立:弹性体的形变势能与位移间变分的关系, 位移变分方程,设弹性体在外力作用下,处于平衡状态
9、。,边界:,位移场:,应力场:,满足:平衡方程、几何方程、物理方程、边界条件。, 称为真实解,3 位移变分方程,应变场:,2018/1/2,20,任给弹性体一微小的位移变化:,满足条件:位移边界条件。,考察弹性体的能量变化:(若可能位移为真实位移),由能量守恒原理:,弹性体变形势能的增加,等于外力势能的减少。,(在没有温度改变、动能改变的情况下),设:, 表示弹性变形势能的增量;, 表示外力在虚位移上所做的功,它在数值上等于外力势能的减少。,则有:,可能的位移状态:, 称为位移的变分,或虚位移, 对于的应变叫虚应变,满足几何方程。,2018/1/2,21,体力:,面力:, 外力,代入前式:,表
10、明:,物体应变能的变分,等于外力在虚位移上所做的虚功。,称为位移变分方程,也称 Lagrange 变分方程。,外力的虚功:, 外力的虚功,表示:,实际外力在虚位移上所做的虚功,2018/1/2,22,内力的虚功:,由于:,两边求变分:,将 U1 视为应变分量的函数,而:,2018/1/2,23,将上式代入位移变分方程,有,虚位移方程或虚功方程,表明:,如果在虚位移发生前,弹性体处于平衡状态,则在虚位移发生过程中,外力在虚位移上所做的虚功,等于应力在虚应变上所做的虚功。,虚功方程 是有限单元法的理论基础,也是许多变分原理的基础。,表示:,实际应力在虚应变上所做的虚功, 内力的虚功,2018/1/
11、2,24,最小势能原理, 也是位移变分方程的一个应用,位移变分方程:,由于虚位移为微小的、满足位移边界条件的(通常称为基本边界条件),所以,可认为在虚位移发生过程中,外力的大小和方向都不变,只是作用点位置有微小变化。,于是,有:,若初始状态为零势能状态,并用 V 表示外力势能,则根据能量守恒,外力势能等于外力在实际位移上所做的功的相反值,则,代入前式,有:,外力在实际位移上做的功,2018/1/2,25,其中:, 应变能能与外力势能的总和,,称为系统的总势能,表明:,在给定的外力作用下,实际存在的位移应使系统的总势能的变分为零。,平衡状态:,(1)稳定平衡状态;,(2)不稳定平衡状态;,(3)
12、随遇平衡状态;,稳定平衡,不稳定平衡,随遇平衡, 势能取极小值, 势能取极大值, 不定,最小势能原理:,在给定的外力作用下,满足几何方程和位移边界条件的各组位移中,实际存在的位移,应使系统的总势能取最小值。,2018/1/2,26,实际存在的位移应满足:,(1)位移边界条件;,(2)平衡方程(位移形式);,(3)应力边界条件。,(1)位移边界条件;(基 本边界条件),(2)最小势能原理。,因而,有:,(1)平衡方程(位移形式);,(2)应力边界条件。(自然边界 条 件),(可互相导出),最小势能原理,伽辽金变分方程,由虚位移方程的建立知道虚位移满足位移边界条件,若还满足应力边界条件时,弹性体的
13、位移变分应满足的方程。,将虚应变用虚位移表示:,将其代入虚位移方程:,2018/1/2,27,2018/1/2,28,同理,可得到其余各项的结果:,将其代入虚位移方程,有:,2018/1/2,29, 伽辽金(Galerkin)变分方程,表明:,当所取位移分量同时满足位移边界条件、应力边界条件时,,其位移变分需满足的方程。,2018/1/2,30,1. 里兹(Ritz)法,基本思想:,设定位移函数的表达形式,使其满足位移边界条件,其中含有若干待定常数,然后利用位移变分方程确定这些常数,即得位移解。,设取位移的表达式如下:,其中:,为互不相关的 3m 个系数;,为设定的函数,且在边界上有:,为位移
14、边界上为零的设定函数,显然,上述函数满足位移边界条件。,此时,位移的变分,只能由系数 Am、,Bm、 Cm的变分来实现。,与变分无关。,位移变分法:,2018/1/2,31,(a),位移的变分:,形变势能的变分:,(b),将式(a)、(b)代入位移变分方程,有:,2018/1/2,32,将上式整理、移项、合并,可得:,完全任意,且互相独立,,要使上式成立,则须有:,2018/1/2,33, Ritz 法方程,或称 Rayleigh- Ritz 法方程,说明:,(1),由 U 的位移表达式可知,,U 是系数,的二次函数,,因而,上式为各系数的线性方程 组。,互不相关,因而,总可以求出全部的系数。
15、,(2),求出了系数,就可求得其它量,如位移、应力等,(3),在假定位移函数时,须保证其满足全部位移边界条件。,2018/1/2,34,2. 伽辽金(Galerkin)法,设取位移的表达式如下:,同时满足:,(1)位移边界条件;,(2)应力边界条件;,位移的变分:,将其代入伽辽金变分方程:,得到:,2018/1/2,35,完全任意,且互相独立,,要使上式成立,则须有:,2018/1/2,36,将物理方程和几何方程代入,有, 伽辽金(Galerkin)法方程,说明:,(1),与 Ritz 法类似,得 3m 阶的线性方程组,可求出3m个系数。,(2),伽辽金(Galerkin)法与 Ritz 法的区别:在于设位移函数时,前者要求同时满足应力、位移边界条件,而后者只要求满足位移边界条件。,2018/1/2,37,(1)位移变分方程,(2)虚位移方程,位移变分方程小结:,也称 Lagrange 变分方程:,(3)最小势能原理,说明:,(1)只要求:虚位移满足位移边界条件;,(2)对虚位移方程,也适用各种材料的物理方程。,如:塑性材料、非线性弹性材料等。,2018/1/2,38,(4)伽辽金(Galerkin)变分方程,要求:可能(虚)位移满足:,