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1、1,第四章 变形体静力学基础,4.6 一点的应力和应变,4.7 变形体静力学分析,4.1 变形固体的力学分析方法,4.2 基本假设,4.3 内力、截面法,4.4 杆件的基本变形,4.5、杆的轴向拉伸和压缩,2,第四章 变形体静力学基础,前一章，将物体视为刚体，讨论其平衡。事实上，总有变形发生，还可能破坏。 本章讨论的研究对象是变形体。 属于固体力学的范畴。不再接受刚体假设。,3,例1 长2L的木板由二个弹性常数为k、自由长度为h的拉压弹簧支承。若有一人从板中央向一端缓慢行走，试求板与地面刚刚接触时，人所走过的距离x。,解：设人重为W，板重不计。讨论板与地面刚接触的临界状态，板受力如图。,1)
2、力的平衡条件： 由平衡方程有： Fy=FB-FA-W=0 MA(F)=2aFB-(x+a)W=0,二个平衡方程，三个未知量：x、FA、FB，不可解。需考虑变形。板可作刚体处理，只考虑弹簧的变形。,4,弹簧A、B的变形为 A=hA-h (受拉伸长) -(4) 及 B=h-hB (受压缩短) -(5),2) 变形几何协调条件： 刚性板保持为直板，二弹簧变形后应满足的几何条件是：,3) 力与变形间的物理关系： 对于弹簧，力与变形间的关系为： FA=kA -(6) 及 FB=kB -(7),hB/hA=(L-a)/(L+a) (x0) -(3),5,综合考虑平衡条件、变形几何关系、物理关系后，得到七个
3、方程，可求出FA、FB、A、B、hA、hB、x 等全部未知量。,将x代入平衡方程，即可求得FA、FB。,6,各有关参数的影响： 弹簧自由长度h越大、弹簧刚度k越大、人的体重W越小，可以走过的距离x越大。 x之值与a2成正比，与板长L成反比。,结果讨论与分析一：,正确性条件：x0 否则变形几何条件(3)不适用 hW/2k,特例： 当L=(2hk/W-1)a 时，x=a，即在某特定板长下，人走到B处板即触地。,7,-（b）,结果讨论与分析二：,xa时，A0，弹簧A变形如图，是伸长。,B0。弹簧B变形与假设一致，受压。且x ，B。,xa时，AA1=A2；L1L2=L3；,20,是材料的一种应力应变关
4、系模型， 称为线性弹性应力应变（物理）关系模型。,轴向拉压杆的应力、应变和变形L可表达为：,EA是抗拉刚度，反映材料抵抗拉压变形的能力。,=E,21,EA是抗拉刚度，反映材料抵抗拉压变形的能力。,N、L、E、A改变，则须分段计算。,轴向拉压杆变形分析汇总：,求轴力FN？,22,2)求各段应力：AB=FNAB/A1 =40103N/(32010-6)m2 =125106Pa=125MPaBC=FNBC/A2=40103/(80010-6) =50MPa；CD=FNCD/A2=48103/(80010-6)= 60MPa,解：1)求内力(轴力)，,例4.7 杆AB段为钢制，横截面积A1=320mm
5、2， BD段 为铜，A2=800mm2， E钢=210GPa；E铜=100GPa； l=400mm。求杆各段的应力、应变和总伸长量AD。,画轴力图。,23,4)杆的总伸长为： lAD=lAB+lBC+lCD=0.68mm,2)求各段应变：eAB=sAB/E钢=125/(210103) 0.610-3,3)求各段伸长： 注意: l=el=sl/E=FNl/AE lAB=eABlAB=0.610-3400mm=0.24mm,lBC=eBClBC=0.2mm； lCD=eCDlCD=0.24mm,eBC=sBC/E铜=50/(100103) =0.510-3eCD=sCD/E铜=0.610-3,24
6、,讨论：杆 受力如图。BC段截面积为A ，AB段截面积为2A，材料弹性模量为E。欲使截面D位移为零，F2应为多大？,解：画轴力图。,有： D=lAD=lAB+lBD =FNABl /E(2A)+FNBDl /EA,注意：固定端A处位移为零。,25,第一次作业：,请认真思考、讨论思考题。习题: 4-1(a)、(d)、(f) 4-2(b); 4-5; 4-7。,26,前节回顾：,研究变形体力学问题的主线是：,求约束反力,27,EA是抗拉刚度，反映材料抵抗拉压变形的能力。,N、L、E、A改变，则须分段计算。,28,一、 应力 内力连续分布在截面上， 截面法确定的是内力的合力。,T是矢量，法向分量称正
7、应力；切向分量称剪应力。,29,注意：一般情况下， 内力非均匀分布， 截面各点应力不同。,2) 轴向拉压杆横截面上的应力：,截面上只有轴力，故应力为正应力。变形沿轴向是均匀的，故在横截面上均匀分布，,因为 s=const. 故有：,30,3) 一点的应力状态：,单向拉压杆横截面上只有正应力。故 A点的应力状态可用由横截面、水平面截取的微小单元体上的应力描述。是单向应力状态。,一点的应力状态用围绕该点截取的微小单元体上的应力来描述。单元体尺寸微小，各面上的应力可认为是均匀的。,由定义有： 故可知， 一点的应力与过该点之截面的取向有关。,31,设s已知，A点在法向与轴线夹角之截面上应力为、，,斜截
8、面上的应力：,Fx=(dx/sin)1cos,注意式中各项是力的投影分量。,由单位厚度微元力的平衡条件可得：,+(dx/sin)1sin-(dx/tg)1=0,Fy=(dx/sin)1sin -(dx/sin)1cos=0,cosa,32,=0时，=， =0， 横截面上正应力最大；,求得A点在与轴线夹角为之截面上的应力为: =(1+cos2)/2； =sin2/2,如：铸铁试样受压时， =45斜截面上的应力和为： =-/2; =-/2 铸铁抗压能力远大于抗剪或抗拉能力，故实验时先发生与轴线大约成45，剪切破坏。,可见：拉压杆斜截面上有正应力和剪应力。,=45时，=/2， =/2， 45斜截面上
9、剪应力最大，且max=/2。,33,对于单向拉、压杆，任一点 A的应力状态为：,只要确定了一种单元体取向时各微面上的应力， 即可求得该点在其他任意取向之截面上的应力。,结论：1) 应力是矢量。 2) 一点的应力与过该点的截面取向有关。 3) 可以用微小单元体各面上的应力描述一 点的应力状态。,34,变形：物体受力后几何形状或尺寸的改变。 用应变表示，如拉压杆（应变=l/l0），与几何尺寸无关。,一点的应变可由考查该点附近小单元体的变形而定义。变形包括单元体尺寸和形状二种改变。,线应变、剪应变分别与s、t的作用相对应。,二、 应变,35,4.7 变形体静力学分析,再论利用力的平衡、变形几何协调及力与变形间的关系，分析变形体静力学问题的基本方法。,
