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1、第五章 质点组动力学的 运动定理,第五章 质点组动力学的运动定理, 质点组动力学问题, 两体问题, 质心运动定理(动量定理), 碰撞, 动量矩定理, 动能定理,质点组以外的物体对质点组内各质点的相互作用力, 质点组动力学问题,质点组运动的总趋向及其某些特征,内力，外力，惯性力（外力）,质点组内各质点的相互作用力, 两体问题,质点组动力学的一个特殊问题,两个质点组成的质点组,彼此以内力相互作用，不受外力作用,彼此以内力相互作用，不受外力作用,质心的运动 Motion of the center of mass,“权重”,“质点”的质量,质量中心 在两质点联线上,质心 center of mass
2、,直角坐标系：,相对的运动 Relative motion, 以质点2作为平动参考系（非惯性） 研究质点1相 对运动,约化质量,例(p241)：两个完全相同的滑块a和b，其质量均为m,用轻弹簧将它们连接，弹簧的原长为l,劲度系数为k。将整个系统放在光滑桌面上，并保持静止。在某个时刻（记t=0),突然给滑块a一个冲量，使它获得向右的初速度v0, 求解它们的运动。, 具体分析（两体问题）, 运动方程,质心运动方程,相对运动方程,a与b相对于质心各作简谐振动，它们的位相正好相反。,开普勒第三定律的修正,F1 = m1v12 / r1 = 4 2 m1r1 / P2F2 = m2v22 / r2 =
3、4 2 m2r2 / P2.Newtons third law tells us that F1 = F2, and so we obtainr1 / r2 = m2 / m1,This tells us that the more massive body orbits closer to the centre of mass than the less massive body.,The total separation of the two bodies is given bya = r1 + r2 which gives r1 = m2a / (m1 + m2).Combining t
4、his equation with the equation for F1 derived above and Newtons law of gravitation gives Newtons form of Keplers third law:,4 2 m1r1 / P2 = Gm1m2 / a2,P2 = 4 2 a3 / G(m1 + m2).,mv2 / a = Gm1m2 / a2v=2 a/Pm=m1m2 / (m1 + m2),P2 = 4 2 a3 / G(m1 + m2).,另解：, 碰 撞 Collisions（1）,1.对心碰撞（正碰）,（两球的相对速度沿球心联线）,碰撞
5、前,碰撞后,碰撞过程,压缩阶段,恢复阶段,恢复系数 0 = e 0；释放质量时dm0.,d(mv)火箭动量的增量,燃料的动量（dm0）,火箭的加速度：,火箭的推力：,火箭的速度：,结构系数,例(p245)：长为l质量为m的软绳，自静止下落。开始（t=0)时，绳的下端与桌面恰相接触，求下落过程中桌面对绳的反作用力。, 具体分析 （变质量问题）, 运动方程 （积分形式动量定理）,系统：“已落在桌上的绳子” 与“即将落下的一段小绳”,答案与前面一致,例(p243)：长为l质量为m的软绳，自静止下落。开始（t=0)时，绳的下端与桌面恰相接触，求下落过程中桌面对绳的反作用力。, 动能定理,（1）动能定理
6、,（2）质点组的动能与质心的动能,（3）机械能守恒原理与功能原理,（4）参考系的选择, 质心运动定理动量定理,（注意：各分量的守恒问题！）,质点的动能定理,质点组的动能定理,（1）动能定理,（2）质点组的动能与质心的动能,=O,柯尼希定理质点组的动能=质心的动能+质点组相对于质心的动能, 两体问题的动能,碰撞前的相对运动动能：,碰撞后的相对运动动能：,碰撞后的相对速度,碰撞前后的动能改变：,e=1, T=0; e1, T0,（3）机械能守恒原理与功能原理,质点组的功能原理,（4）参考系的选择,为了避免计算惯性力所作的功，通常选取（1）惯性参考系原因：F=0（惯性力为零） （2）质心坐标系原因：
7、 dX=0 （惯性力作用下的位移为零）,例(p267)：讨论,i) 质点组动量矩定理, 质点组动量矩定理, 质点组动量矩定理的微分形式：, 质点组动量矩定理的积分形式：,质点组对于某点的动量矩的时间变化率就等于质点组的各质点所受外力对该点的力矩的和。,ii) 质点组的动量矩与质心的动量矩,y,质点组对于z轴的动量矩,质点组对于O点的动量矩L=质心对于O点的动量矩L0+质点组对于质心的动量矩L。,iii) 质点组动量矩守恒原理,质点组对于某点的动量矩守恒,Angular momentum conservation,iv) 参考系的选择,为了避免计算惯性力的力矩，通常选取（1）惯性参考系原因：F=0（惯性力为零） （2）质心坐标系原因： 惯性力作用于质心，力臂为零,v2,例：两球碰撞,习题：光滑球悬在不可伸长的轻绳上，一光滑球以竖直向下的速度u与这球碰撞，碰撞时两球联心线与竖直方向作角。求两球碰撞后的速度。,u1x,压缩阶段, 具体分析 （特殊两体碰撞）,动量守恒: 碰撞处的水平方向恢复系数: 碰撞处联心线,动量守恒: 碰撞处的水平方向恢复系数: 碰撞处联心线,恢复阶段,M,m,u1x,u1y,x,y,碰撞沿联心线方向:(m的动量增量方向)X方向：mu1xY方向：m(u1y-u),
