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1、数字信号处理(Digital Signal Processing)信号与系统系列课程组国家电工电子教学基地 离散随机序列的特征描述离散随机序列的特征描述 平稳随机序列通过平稳随机序列通过 LTI系统系统 经典功率谱估计经典功率谱估计 现代功率谱估计现代功率谱估计功率谱估计功率谱估计现代谱估计简介现代谱估计简介 问题提出问题提出 平稳随机信号的参数模型平稳随机信号的参数模型 AR模型参数与自相关函数的关系模型参数与自相关函数的关系 Y-W 方程的方程的 L-D递推算法递推算法 AR模型参数与线性预测滤波器的关系模型参数与线性预测滤波器的关系 伯格伯格 (Burg)递推算法递推算法功率谱估计功率谱
2、估计问题提出问题提出经典法存在问题经典法存在问题 :1. 方差性能不好，不是 Px()的一致估计2. 平滑周期图和平均周期图改善了周期图的方差性能，但却降低了谱分辨率和增大了偏差。3. 可能使短序列的功率谱估计出现错误的结果出现问题的原因出现问题的原因 :将观测数据以外的数据一律视为零，与实际不符。参数模型法的基本思想参数模型法的基本思想根据所研究信号的先验知识，对观测数据以外根据所研究信号的先验知识，对观测数据以外的数据作出某种比较合理的假设。的数据作出某种比较合理的假设。假设信号是白噪声通过 LTI系统产生的。由观测数据估计 LTI系统模型的参数。最后由 LTI系统模型的参数得出功率谱。h
3、hk yk输入白噪声的自相关函数 功率谱估计功率谱估计平稳随机信号的参数模型平稳随机信号的参数模型AR模型模型(AutoRegressive model )MA模型模型(Moving Average model)ARMA模型模型(AutoRegressive- Moving Average model )功率谱估计功率谱估计若输入白噪声的功率谱则输出序列的功率谱为若能确定模型中各参数 an, bn和 s2就可以求得功率谱 Px()平稳随机信号的参数模型平稳随机信号的参数模型功率谱估计功率谱估计AR模型参数与自相关函数的关系模型参数与自相关函数的关系描述 p阶 AR模型的差分方程为 将上式两端同
4、乘以 yk-m再求数学期望 功率谱估计功率谱估计AR模型参数与自相关函数的关系模型参数与自相关函数的关系由于输入是白噪声信号 Rhn=s2dn对于因果系统 , p阶 AR模型的自相关函数与模型参数的关系 Yule-Walker(Y-W) 方程功率谱估计功率谱估计AR模型参数与自相关函数的关系模型参数与自相关函数的关系Y-W 方程的矩阵表示例 : p=3 时的 Y-W 方程若已知 Ryn ，由 Y-W 方程解出各参数 a3(1), a3 (2), a3 (3), s2。 则可由 AR模型参数获得功率谱 Py()的估计值。功率谱估计功率谱估计Y-W 方程的方程的 L-D递推算法递推算法 一阶 Y-
5、W 方程的解解此方程得 功率谱估计功率谱估计Y-W 方程的方程的 L-D递推算法递推算法 二阶 Y-W 方程的解功率谱估计功率谱估计Y-W 方程的方程的 L-D递推算法递推算法 p阶 Y-W 方程的递推解功率谱估计功率谱估计Y-W 方程的方程的 L-D递推算法递推算法(1) 计算自相关函数的估计值(2) 求解一阶模型参数关函数的估计值 L-D算法估计功率谱的步骤功率谱估计功率谱估计(4) 求出功率谱估计Y-W 方程的方程的 L-D递推算法递推算法(3)由递推算法求解 p阶模型参数 L-D算法估计功率谱的步骤利用利用 L-D算法估计频谱的算法估计频谱的 MATLAB函数函数x： 进行功率谱估计的
6、输入有限长序列；p: 模型的阶数NFFT： DFT的点数；Fs ： 绘制功率谱曲线的抽样频率，默认值为 1；Pxx： 功率谱估计值； f： Pxx值所对应的频率点Pxx,f = pyulear(x,p,NFFT,Fs)例： 利用 L-D算法进行谱估计一序列含有白噪声和两个频率的余弦信号，利用 L-D算法估计该序列的功率谱。N=128;p=40;NFFT=2048;Fs=2; n=0:N-1;randn(state,0);x=cos(0.3*pi*n)+cos(0.4*pi*n)+randn(size(n);P,f=periodogram(x,NFFT,2) ;Py,fy=pyulear(x,p
7、,NFFT,2);subplot(211);plot(f,10*log(P);grid;title( Periodogram );axis(0 1 -60 60);subplot(212);plot(fy,10*log(Py);grid;title( Yule);axis(0 1 -60 60);谱谱 估计结果估计结果 p=40,N=1280 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-60-40-200204060Periodogram 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-60-40-200204060Yule功率谱
8、估计功率谱估计AR模型参数与模型参数与 前向前向 线性预测滤波器的关系线性预测滤波器的关系前向线性预测滤波器前向线性预测滤波器前向预测误差前向预测误差前向预测误差滤波器系统函数前向预测误差滤波器系统函数例 :前向线性预测 (p=2) 功率谱估计功率谱估计AR模型参数与模型参数与 前向前向 线性预测滤波器的关系线性预测滤波器的关系均方误差最小的前向预测误差滤波器均方误差最小的前向预测误差滤波器正交准则正交准则若 则估计的均方误差达到最小。 且功率谱估计功率谱估计预测系数及均方误差的确定预测系数及均方误差的确定 AR模型参数与模型参数与 前向前向 线性预测滤波器的关系线性预测滤波器的关系功率谱估计
9、功率谱估计后向线性预测滤波器后向线性预测滤波器后向预测误差后向预测误差后向预测误差滤波器系统函数后向预测误差滤波器系统函数AR模型参数与模型参数与 后向后向 线性预测滤波器的关系线性预测滤波器的关系例 :后向线性预测 (p=2) 功率谱估计功率谱估计预测系数及均方误差的确定预测系数及均方误差的确定AR模型参数与模型参数与 后向后向 线性预测滤波器的关系线性预测滤波器的关系由可得比较前向 预测系统和后 向 预测系统的 方程后可得 系数 a2(1),a2(2)满足的方程相同 Ab(z)=z -2A(z) 功率谱估计功率谱估计伯格伯格 (Burg)递推算法递推算法L-D算法缺点：算法缺点：在计算相关
10、函数估计时，对 N个观测数据以外的数据作零的假设，故谱估计误差较大。伯格伯格 (Burg)递推算法基本思想：递推算法基本思想：直接从观测的数据利用线性预测器的前向和后向预测的总均方误差之和为最小的准则来估计反射系数，进而通过 L-D算法的递推公式求出 AR模型的优化参数。功率谱估计功率谱估计伯格伯格 (Burg)递推算法递推算法前向预测误差的递推公式前向预测误差的递推公式 2阶前向预测误差 1阶后向预测误差 L-D算法的递推公式 K2=a2(2) 2阶预测器的反射系数 功率谱估计功率谱估计伯格伯格 (Burg)递推算法递推算法预测误差的递推公式预测误差的递推公式 一般地同理可得 后向预测误差的
11、递推公式 Kp=ap(p)为 p阶预测器的反射系数。 功率谱估计功率谱估计伯格伯格 (Burg)递推算法递推算法预测误差滤波器的格形结构预测误差滤波器的格形结构 功率谱估计功率谱估计伯格伯格 (Burg)递推算法递推算法反射系数反射系数 Kp 的的 确定确定前向和后向均方预测误差的总和为 由可得功率谱估计功率谱估计伯格伯格 (Burg)递推算法步骤递推算法步骤(1) 确定初始条件(2) 从 p=1开始迭代计算 : 计算 AR模型参数递推 p阶均方误差伯格伯格 (Burg)递推算法递推算法功率谱估计功率谱估计(3) 递推高一阶前、后向预测误差(4) 若阶数小于 p， 则阶数加 1，回到步骤 (2
12、)进行下一次迭代，直到达到预定阶数 p。(5) 估计功率谱伯格伯格 (Burg)递推算法步骤递推算法步骤伯格伯格 (Burg)递推算法递推算法功率谱估计功率谱估计Pxx,f = pburg (x,p,NFFT,Fs)Burg算法估计频谱的算法估计频谱的 MATLAB函数函数x： 进行功率谱估计的输入有限长序列；p: 模型的阶数NFFT： DFT的点数；Fs ： 绘制功率谱曲线的抽样频率，默认值为 1；Pxx： 功率谱估计值； f： Pxx值所对应的频率点利用利用 Burg法进行谱估计程序法进行谱估计程序N=512;NFFT=1024;Fs=2;p=40;n=0:N-1;randn(state,
13、0);x=cos(0.3*pi*n)+cos(0.32*pi*n)+randn(size(n);P,f=pyulear(x,p,NFFT,2);Pw, f2=pburg(x,p,NFFT,2);subplot(211);plot(f,10*log(P);grid;title(L-D);axis(0 1 -30 60);subplot(212);plot(f2,10*log(Pw);grid;title(Burg);axis(0 1 -30 60);AR模型阶数模型阶数 p=50 的谱估计结果的谱估计结果0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-200204060L-D0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-200204060BurgAR模型阶数模型阶数 p=80 的谱估计结果的谱估计结果0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-200204060L-D0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-200204060Burg
