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1、,第3节 函数性质的综合应用,基 础 梳 理,1函数奇偶性的特征(1)在x0处有定义的奇函数f(x)一定有f(0)_.(2)偶函数f(x)一定有f(x)_质疑探究1：在x0处有定义的偶函数f(x)，是否一定有f(0)0?提示：不一定，如f(x)x21中f(0)1.,0,f(|x|),a,质疑探究2：若函数f(x)分别满足：(1)f(ax)f(ax)；(2)f(ax)f(ax)；(3)f(xa)f(xa)(a0)你能得到什么结论？提示：若函数f(x)满足(1)，则函数yf(x)的图象关于xa对称；若函数f(x)满足(2)，则yf(x)的图象关于(a,0)对称；若函数f(x)满足(3)，则yf(x
2、)是周期函数，2|a|是它的一个正周期,1(2013年高考湖南卷)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，则g(1)等于()A4B3C2 D1解析：由函数的奇偶性质可得f(1)f(1)，g(1)g(1)，根据f(1)g(1)f(1)g(1)2，f(1)g(1)f(1)g(1)4，可得2g(1)6，即g(1)3，故选B.答案：B,2(2014吉林省吉林市二模)已知f(x)是R上的奇函数，且当x(，0时，f(x)xlg (3x)，那么f(1)的值为()A0 Blg 3Clg 3 Dlg 4解析：f(1)f(1)lg 4.故选D.答案：D,3(2014山东济
3、南质检)已知定义在R上的函数f(x)，对任意xR，都有f(x6)f(x)f(3)成立，若函数yf(x1)的图象关于直线x1对称，则f(2014)等于()A0 B2013C3 D2013,解析：由函数yf(x1)的图象关于直线x1对称，可知函数yf(x)的图象关于y轴对称，故函数yf(x)是偶函数在等式f(x6)f(x)f(3)中，令x3得f(3)f(3)f(3)f(3)f(3)，得f(3)0，故f(x6)f(x)，6是函数yf(x)的一个周期f(2014)f(3)0.答案：A,4(2014江西南昌一模)已知函数f(x)asinxbtan x(a，b为常数)，若f(1)1，则不等式f(31)lo
4、g2x的解集为_解析：函数f(x)为奇函数且周期为10，f(31)f(1)1log2x，得0x2.答案：(0,2),考 点 突 破,函数的奇偶性与单调性的综合,思维导引利用函数是偶函数的特点，分2x10,2x10两种情况求解,函数的奇偶性与周期性的综合,(2)函数f(x)的定义域为R，若f(x1)与f(x1)都是奇函数，则()Af(x)是偶函数 Bf(x)是奇函数Cf(x)f(x2) Df(x3)是奇函数思维导引(1)由函数的周期性及奇偶性把自变量的值转化到0,1范围内求解；(2)根据函数f(x1)与f(x1)都是奇函数可得两个函数等式，通过换元的方法变换这两个等式可以得到f(x)的两种不同的
5、表示方法，等量代换后就得到一个新的函数等式，再变换这个函数等式即可得到函数的周期性，然后根据选项和这个周期解决问题,(2)已知条件就是f(x1)f(x1)，f(x1)f(x1)由f(x1)f(x1)f(x2)f(x)；由f(x1)f(x1)f(x2)f(x)由此得到f(x2)f(x2)，即f(x2)f(x2)，由此可得f(x4)f(x)，即函数f(x)是以4为周期的周期函数可得f(x3)f(x1)，由f(x1)是奇函数，故函数f(x3)是奇函数故选D.,(1)由函数的奇偶性和周期性把求未知区间上的函数值转化为求已知区间上的函数值是解决问题的关键；(2)已知函数的两个等式，采用的二推一的方法是解
6、决问题的一个极为主要的技巧在含有这类函数等式时，由于自变量对任意实数x都成立，因此可以用xa，x,2x等代换x，通过这种代换统一已知条件，达到解决问题的目的,即时突破2 (1)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(3)f(4)等于()A1 B1C2 D2(2)定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期若将方程f(x)0在闭区间T，T上的根的个数记为n，则n可能为()A0 B1C3 D5,与函数性质有关的创新问题,思维导引根据题设条件，分别举出反例，说明错误，正确,即时突破3 (2014四川眉山二模)函数f(x)的定义域为D，若存在非零实
7、数l使得对于任意xM(MD)，有xlD，且f(xl)f(x)，则称f(x)为M上的l高调函数如果定义域为R的函数f(x)是奇函数，当x0时，f(x)|xa2|a2，且f(x)为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是()A1a1 B0a1C2a2 D2a2,答案：A,分析：根据函数性质和已知的不等式可以推知函数f(x)的单调性，f(x)m22am1对所有x1,1恒成立等价于f(x)maxm22am1，进而得到关于a恒成立的不等式，通过构造函数，把问题转化为关于函数端点值的不等式组，即可求出m的取值范围,答案：(，202，),数学解题就是从问题的一个方面转化为另一个方面，这种转化是化难为易、化繁为简、化不能为可能的必要过程转化与化归既是一种数学思想方法，也是一种解决问题的方法,
