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1、1,第十五章 欧拉图与哈密顿图,主要内容欧拉图哈密顿图带权图与货郎担问题,2,15.1 欧拉图,历史背景：哥尼斯堡七桥问题与欧拉图,3,欧拉图定义,定义15.1 (1) 欧拉通路经过图中每条边一次且仅一次行遍所有顶点的通路. (2) 欧拉回路经过图中每条边一次且仅一次行遍所有顶点的回路.(3) 欧拉图具有欧拉回路的图.(4) 半欧拉图具有欧拉通路而无欧拉回路的图.几点说明：规定平凡图为欧拉图.欧拉通路是生成的简单通路，欧拉回路是生成的简单回路.环不影响图的欧拉性.,4,上图中，(1) ,(4) 为欧拉图，(2),(5)为半欧拉图，(3),(6)既不是欧拉图，也不是半欧拉图. 在(3),(6)中
2、各至少加几条边才能成为欧拉图？,欧拉图实例,5,无向欧拉图的判别法,定理15.1 无向图G是欧拉图当且仅当G连通且无奇度数顶点.证 若G 为平凡图无问题. 下设G为 n 阶 m 条边的无向图.必要性 设C 为G 中一条欧拉回路.(1) G 连通显然.(2) viV(G)，vi在C上每出现一次获2度，所以vi为偶度顶点. 由vi 的任意性，结论为真. 充分性 对边数m做归纳法（第二数学归纳法）.(1) m=1时，G为一个环，则G为欧拉图.(2) 设mk（k1）时结论为真，m=k+1时如下证明：,6,PLAY,从以上证明不难看出：欧拉图是若干个边不重的圈之并，见示意图3.,7,欧拉图的判别法,定理
3、15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G 连通且恰有两个奇度顶点.证 必要性简单. 充分性（利用定理15.1）设u,v为G 中的两个奇度顶点，令 G =G(u,v)则G 连通且无奇度顶点，由定理15.1知G 为欧拉图，因而存在欧拉回路C，令 =C(u,v)则 为 G 中欧拉通路.,8,有向欧拉图的判别法,定理15.3 有向图D是欧拉图当且仅当D是强连通的且每个顶点的入度都等于出度.本定理的证明类似于定理15.1. 定理15.4 有向图D是半欧拉图当且仅当D是单向连通的，且D中恰有两个奇度顶点，其中一个的入度比出度大1，另一个的出度比入度大1，而其余顶点的入度都等于出度. 本定理的证明类似于定理1
4、5.1. 定理15.5 G是非平凡的欧拉图当且仅当G是连通的且为若干个边不重的圈之并. 可用归纳法证定理15.5.,9,例题,例1 设G是欧拉图，但G不是平凡图，也不是一个环，则(G)2.证 只需证明G中不可能有桥（如何证明？）,上图中，(1),(2)两图都是欧拉图，均从A点出发，如何一次成功地走出一条欧拉回路来？,(1) (2),10,Fleury算法,算法：(1) 任取v0V(G)，令P0=v0. (2) 设Pi = v0e1v1e2eivi 已经行遍，按下面方法从 E(G)e1,e2,ei 中选取ei+1： (a) ei+1与vi 相关联； (b) 除非无别的边可供行遍，否则ei+1不应
5、该为 Gi = Ge1,e2,ei 中的桥. (3) 当 (2)不能再进行时，算法停止.可以证明算法停止时所得简单通路 Pm = v0e1v1e2emvm(vm=v0)为G 中一条欧拉回路. 用Fleury算法走出上一页图(1),(2)从A出发（其实从任何一点出发都可以）的欧拉回路各一条.,11,15.2 哈密顿图,历史背景：哈密顿周游世界问题与哈密顿图,(1) (2),12,哈密顿图与半哈密顿图,定义15.2 (1) 哈密顿通路经过图中所有顶点一次仅一次的通路.(2) 哈密顿回路经过图中所有顶点一次仅一次的回路.(3) 哈密顿图具有哈密顿回路的图.(4) 半哈密顿图具有哈密顿通路且无哈密顿回
6、路的图.几点说明：平凡图是哈密顿图.哈密顿通路是初级通路，哈密顿回路是初级回路.环与平行边不影响哈密顿性.哈密顿图的实质是能将图中的所有顶点排在同一个圈上,13,实例,在上图中，(1),(2) 是哈密顿图;(3)是半哈密顿图;(4)既不是哈密顿图，也不是半哈密顿图，为什么？,14,无向哈密顿图的一个必要条件,定理15.6 设无向图G=是哈密顿图，对于任意V1V且V1，均有 p(GV1) |V1|,证 设C为G中一条哈密顿回路(1) p(CV1) |V1|(2) p(GV1) p(CV1) |V1| （因为CG）,推论 设无向图G=是半哈密顿图，对于任意的V1V且V1均有 p(GV1) |V1|
7、+1,证 令 uv为G中哈密顿通路，令G = G(u,v)，则G为哈密顿图. 于是 p(GV1) = p(GV1(u,v) |V1|+1,15,几点说明,定理15.6中的条件是哈密顿图的必要条件，但不是充分条件（彼得松图）由定理15.6立刻可知，Kr,s当sr+1时不是哈密顿图. 易知Kr,r（r2）时都是哈密顿图，Kr,r+1都是半哈密顿图. 常利用定理15.6判断某些图不是哈密顿图.例2 设G为n阶无向连通简单图，若G中有割点或桥，则G不 是哈密顿图.证 设v为割点，则 p(Gv) 2|v|=1. K2有桥，它显然不是哈密顿图. 除K2外，其他有桥的图（连通的）均有割点.其实，本例对非简单
8、连通图也对.,16,无向哈密顿图的一个充分条件,定理15.7 设G是n阶无向简单图，若对于任意不相邻的顶点vi,vj，均有 d(vi)+d(vj) n1 ()则G 中存在哈密顿通路. 证明线索：(1) 由()证G连通(2) = v1v2vl 为G中极大路径. 若l = n, 证毕. (3) 否则，证G 中存在过上所有顶点的圈C，由(1) 知C外顶点存在与C上某顶点相邻顶点，从而得比更长的路径，重复(2) (3) ，最后得G中哈密顿通路.,17,证明,证（着重关键步骤）(1) 由()及简单图的性质，用反证法证明G连通.(2) = v1v2vl 为极大路径，l n, 若l = n（结束）.下面讨论
9、ln的情况，即要证G中存在过上所有顶点的圈. 若(v1,vl)在G中，则(u,v)为G中圈, 否则，设v1与上 相邻，则k2 (否则由极大路径端点性质及()，会得到d(v1)+d(vl)1+l24，由定理15.6可知图中无哈密顿回路.在国际象棋盘上跳马有解，试试看.,25,设GG，称 为G的权，并记作W(G)，即,定义15.3 给定图G = ，(G为无向图或有向图)，设W:ER (R为实数集)，对G中任意边e = (vi,vj) (G为有向图时，e = )，设W(e) = wij，称实数wij 为边e上的权，并将wij标注在边e上，称G为带权图，此时常将带权图G记作 .,15.3 最短路问题与
10、货郎担问题,26,货郎担问题,设G=为一个n阶完全带权图Kn，各边的权非负，且有的边的权可能为. 求G中的一条最短的哈密顿回路，这就是货郎担问题的数学模型. 完全带权图Kn（n3）中不同的哈密顿回路数(1) Kn中有(n1)! 条不同的哈密顿回路（定义意义下）(2) 完全带权图中有(n1)! 条不同的哈密顿回路(3) 用穷举法解货郎担问题算法的复杂度为(n1)！，当n较大时，计算量惊人地大,27,解 C1= a b c d a, W(C1)=10 C2= a b d c a, W(C2)=11 C3= a c b d a, W(C3)=9可见C3 (见图中(2) 是最短的，其权为9.,例6 求图中(1) 所示带权图K4中最短哈密顿回路.,(1) (2),28,第十五章 习题课,主要内容欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图及其判别法哈密顿通路、哈密顿回路、哈密顿图、半哈密顿图带权图、货郎担问题基本要求深刻理解欧拉图、半欧拉图的定义及判别定理深刻理解哈密顿图、半哈密顿图的定义. 会用哈密顿图的必要条件判断某些图不是哈密顿图. 会用充分条件判断某些图是哈密顿图. 要特别注意的是，不能将必要条件当作充分条件，也不要将充分条件当必要条件.,
