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1、2018/1/2,1,牛顿第一定律牛顿第二定律牛顿第三定律,动量定理角动量定理动能定理,三个守恒定律,动量守恒定律角动量守恒定律机械能守恒定律,三个定理,三个定律,第二章 牛顿运动定律,2018/1/2,2,坐标系如图，系统受力：T、 mg,B端下落长度为x时，右半段绳索速度为,右半段绳索长度为,时刻 t，系统动量为,解：,例,2018/1/2,3,时刻 t，系统动量为,根据牛顿定理：,解：,例,2018/1/2,4,题意：,煤粉受力矢量,传送带受力矢量,2-T9,2018/1/2,5,应用动量定理处理质量流动问题,u为-dm 对 主体的速度,研究对象：火箭主体和喷出气体,t时刻系统的动量：,
2、t+dt 时刻系统的动量：,主体动量：,气体动量：,t+dt 时刻系统的动量：,设u为-dm 对地的速度,主体动量 气体动量,2018/1/2,6,u为-dm 相对火箭的速度,有质量进出的 变质量系统的运动方程,应用动量定理处理质量流动问题,2018/1/2,考虑外太空， 系统的合外力为零,注意矢量符号,应用动量定理处理质量流动问题,7,2018/1/2,8,例 喷沙机车将沙沿水平方向喷进货车，机车与货车无联系，但距离保持定值。喷沙速率为 dm/dt，沙对货车的速度为 u，货车初始质量为 m0，初速度为零，地面光滑，求 t 时刻后货 车的速度。,根据变质量系统方程:,解：,设时刻 t，货车与所
3、装沙子的总质量为,系统: 沙、货车,2018/1/2,9,例 喷沙机车将沙沿水平方向喷进货车，机车与货车无联系，但距离保持定值。喷沙速率为 dm/dt，沙对货车的速度为 u，货车初始质量为 m0，初速度为零，地面光滑，求 t 时刻后货 车的速度。,根据变质量系统方程:,解：,货车受力：,系统: 沙、货车,2018/1/2,10,变质量系统运动方程有质量进出的,力的时间累积效应,动量定理,动量守恒定律,2018/1/2,11,所谓质点的角动量就是用角量描述质点的动量。,质点的动量：,质点的角动量定义为：,角动量的单位是：kg m2/s,质点运动按描述量的不同，有不同的表述方法。,线量：,角量：,
4、4.角动量 角动量定理,2018/1/2,12,方向：垂直于 共同决定的平面,力矩,动量矩,角动量的时间变化率：,角动量定理,动量矩,2018/1/2,13,与动量定理类比有:,角动量定理,5.角动量守恒定律,质点所受的合外力对某固定点的力矩为零时，质点对该点的角动量守恒。,其中：,质点对力心的角动量永远守恒！,2018/1/2,14,质点作圆周运动时对圆心的角动量大小：,注意:,质点对某点的角动量守恒，对另一点不一定守恒。,同一运动质点对不同定点的角动量是不同的。,匀速圆周运动时对圆心的角动量守恒,质点对某点的角动量守恒，动量不一定守恒。,2018/1/2,15,例 用角动量守恒定律推导行星
5、运动开普勒第二定律：行星对太阳的位置矢量在相等的时间内扫过相等的面积.,设在时间 t 内，行星的矢径扫过扇形面积s,面积时间变化率：,恒矢量,命题得证。,解：,恒量,2018/1/2,16,显然,对于轨道上的人造卫星：,近地点,远地点,轨道上的人造卫星受到有心力，角动量守恒：,解：,2-11 我国第一颗人造地球卫星绕地球沿椭圆轨道运动，地球的中心 为该椭圆的一个焦点，如图所示。已知地球的平均半径R=6378km ，人造卫星距地面最近距离 ，最远距离 ，若人造卫星在近地点A1 的速度 ，求人造卫星在远地点 A2 的速度。,2018/1/2,17,作业（P.5-6）,2018/1/2,18,功的定
6、义：,6.动能定理,(1) 变力的功,力在一个微分段ds上的功：,轨迹是由无数个微分段ds组成，一段有限的轨迹上力F的功是各段的微功的代数和。,2018/1/2,19,各段的微功的代数和是总功,对于合力,功是力对空间的积累效应。,2018/1/2,20,m,m,XA,XB,A,B,X,(2) 求变力功的实例,弹簧弹力的功,m 在合力的作用下，由A到B点运动。,弹力作正功。,弹力作负功。,从弹力功的数值大小能否得到质点通过平衡点的次数？质点运动的快慢和均匀与否是否会影响功的数值？,2018/1/2,21,重力的功,不规则的光滑斜面，有一物体m，由平衡态下滑，求物体下滑过程中合力的功。,由于支持力
7、的功数值是零，所谓合力的功，在本例的情况下，就是重力的功。,2018/1/2,22,计算两质点间的万有引力的功。,引力的功,2018/1/2,23,任意矢量 与其增量 的标积等于该矢量的模 B 与其模的增量 dB的乘积。,2018/1/2,24,对单个质点：,合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。,质点的动能,质点的动能定理,(3)动能定理,2018/1/2,25,力矩,动量矩,角动量定理,角动量守恒定律,变力做功,质点的动能定理,上次课,2018/1/2,26,质点系的动能定理,质点系动能定理,系统的内力不改变质点系的总动量， 但是内力改变质点系的总动能。,对整个质点系，有,对第 i 个质
8、点，有,内力成对出现，成对内力作功一般不为零。,2018/1/2,27,保守力 势能,在讨论力的功时，有些力的功与物体运动的具体过程无关。如果力所作的功与路径无关，而只与相互作用的质点的始、末位置有关，则该对力称为保守力。,7.机械能守恒定律,保守力的功与质点运动的路程无关，使得复杂的积分运算转化为代数运算。,万有引力的功：,重力的功：,弹力的功：,2018/1/2,28,A,B,保守力的功可统一表述为：,每一保守力对应一个空间位置函数，称为势能函数。,l1,l2,保守力对空间的环路积分为零。,保守力 f 的特征(数学语言描述)：,2018/1/2,29,消去时间参数，得到轨道方程：,解出质点
9、速度：,解出质点速率：,质点位于A 位置的时间：,质点位于B 位置的时间：,解：,例,2018/1/2,30,点,解：,(1)质点在点A、B的动能,点,(2)质点所受的力F 及F 所做的功,2018/1/2,31,(2)质点所受的力F 及F 所做的功,(3) F 是保守力吗？,结果中没有路径参数做功与路径无关,F是保守力,2018/1/2,32,(2)质点所受的力F 及F 所做的功,2018/1/2,33,俯视图,研究对象：滑块,坐标：沿轨迹的切向合法向建坐标,分析：变力作功，用动能定理必须先找出末态的v2,受力分析：,运动方程：,法向切向,例 如图半圆形屏障固定在光滑的水平桌面上，质量为 m
10、 的滑块以初速v1沿屏障一端的切线方向进入屏障内。滑块与屏障间的摩擦系数为。求：当滑块从屏障另一端滑出时，摩擦力对它所作的功,解：,2018/1/2,34,设滑块进入屏障后，速度为v时，已沿屏障转动了角，引入变量 ：,因合外力的功只有摩擦力的功,N不作功.根据动能定理,2018/1/2,35,势能属于系统，在上述差值为定值时，函数EP可取任意值。则：,令终点的势能为零，有：,势能零点确定后，空间任意A点的势能可以唯一确定。,rB是势能函数为零的位置,2018/1/2,36,无穷远定义为势能函数为零的位置。,在势能函数零点确定后，空间任意A点的引力势能函数可以唯一确定。,万有引力势能,2018/
11、1/2,37,空间任意A点的引力势能函数可以唯一确定。,以地球表面为零势能点,势能零点,2018/1/2,38,例 质量为m的人造地球卫星，角动量为L，在半径为r的圆轨道上运行。试求其动能、势能和机械能。,A,r,R,卫星动能：,卫星势能：,卫星机械能：,解：,2018/1/2,39,弹性势能,设弹簧原长处(XB=0)弹性势能是零。,物体在弹簧势能的势阱中运动。物体被势阱限制在一定空间中运动。,2018/1/2,40,机械能守恒定律:,系统的动能定理：,AfA保守内力,AnfA非保守内力,当一个系统所受的外力的功和非保守内力的功的代数和为零时，系统机械能守恒。,外力功,内力功,2018/1/2
12、,41,例 将一质点沿一个半径为r的光滑半球形碗的内面水平投射，碗保持静止，设v0是质点恰好到达碗口所需要的初速率。求v0作为 0的函数表达式，0是用角度表示的质点的初位置。,外力矩方向在水平面内， 角动量在竖直(OO)方向守恒。,仅重力作功，质点机械能守恒。,解：小球受力：、 mg,2018/1/2,42,代入（3）,4-24 一飞船环绕某星球作圆周轨道运动，半径为R0，速度为v0。要使飞船从圆轨道变成近距离为R0，远距离为3R0的椭圆轨道。则飞船的速率v 应变为多大？,例,解：,2018/1/2,43,4-23 一颗卫星环绕地球作圆轨道运动，半径为r。速度为v1。点燃一火箭，其冲力使卫星附
13、加一个向外的径向分速度v2(v2v1)，使卫星的轨道变成椭圆形。求卫星与地球的最近与最远距离。,卫星所受引力、火箭反冲力均通过力心，故卫星在火箭点燃前或后对地心的角动量始终不变，是守恒的。,解：,2018/1/2,44,由(1)、(2)、(3)可得关于 r 的二次方程,并由此解得 r1 ， r2,解：,2018/1/2,45,例 半径为R的光滑的水平圆槽内，放有质量分别为m和M两个小球。两球可在圆槽内自由滑动。现将一不计长度的压缩的轻弹簧置于两球之间。将弹簧压缩释放后，两球沿相反方向被射出，而弹簧本身仍留在原处不动。问：,(1) 两球将在槽内何处发生碰撞？,(1)设两小球被射出后的角速度分别为 m 和 M,解：,根据角动量守恒有：,解得：,2018/1/2,46,由机械能守恒定律得：,(2)设压缩弹簧具有弹性势能E0。两球射出后，经多少时间发生碰撞？,解：,2018/1/2,47,下滑时：,上滑时：,其中：,例题：如图，自动卸料车连同料重为G1，静止开始沿斜面下滑，滑倒底端与自然状态的轻弹簧相碰，当弹簧压缩到最大时，卸料车就自动翻斗卸料，此时卸料车下降高度为h，然后依靠被压缩弹簧的弹性作用力作用下又沿斜面回到原高度。设斜坡倾斜为，空车重为G2，摩擦力是车身重的0.2倍，求G1和G2的比值。,2018/1/2,48,2018/1/2,49,作业（P.7-8）,
