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1、1,第 六 讲,两 角 动 量 的 耦 合,coupling of two angular momentums,光谱的精细结构,Fine structures of the optical spectrum,2,原子中有多个电子，而每个电子又有轨道和自旋运动，故角动量有多个，这些角动量又有相应的磁矩，所以有必要研究角动量耦合问题。,两个角动量的耦合 (coupling of two angular momentums),简单情况是两个角动量的耦合。对于多个角动量则依次耦合。,3,两个角动量的耦合 (coupling of two angular momentums),考虑任意两个角动量算符 和
2、,它们满足一般对易关系,它们是相互独立的,一、总角动量,定义 与 的和为总角动量,4,两个角动量的耦合 (coupling of two angular momentums),5,由 、 的本征值和本征矢，可以求出 本征值和本征矢。,设以 和 分别表示 、 的共同本征矢和 、 的共同本征矢。,二、本征值和本征矢,两个角动量的耦合 (coupling of two angular momentums),相应的本征值方程为：,（1）,（2）,6,又因 、 、 、 也是相互对易的，则它们的共同本征矢也组成正交归一完全系，设为：,（4）,两个角动量的耦合 (coupling of two angula
3、r momentums),因为算符 、 、 、 相互对易，则它们的共同本征矢组成正交归一完全系：,（3）,7,耦合表象可按无耦合表象展开：,其中，展开系数 称为CG耦合系数（克来布希-高登系数）,7.4 两个角动量的耦合 (coupling of two angular momentums),显然， 是没有耦合的表示，故称为无耦合表象。,是有耦合的表示，故称为耦合表象。,8,由于,故 或,（5）,两个角动量的耦合 (coupling of two angular momentums),由上面的讨论可知：.当求得了量子数j 和 后,就能得到 和 的本征值。.当求得CG耦合系数后，由（5）式可由
4、和 的共同本征矢 进行线性迭加而得到 和 的共同本征矢 。,9,当 和 为已知时，总量子数的取值为：,的本征值为,三、量子数和本征值,两个角动量的耦合 (coupling of two angular momentums),有 个取值；,有 个取值。,便有 个取值，但不完全独立！,10,例：当氢原子处于P态时，本征值的可能值,，,的本征值为,两个角动量的耦合 (coupling of two angular momentums),的本征值为 ，,的本征值为 。,的独立值：,11,当给定 时， 有 个取值，对应有 个本征矢 。,当给定 时， 有 个取值，对应有 个本征矢 。,四、CG耦合系数和
5、的本征矢,两个角动量的耦合 (coupling of two angular momentums),同时给定 和 时， 和 的共同本征矢 共有 个，相应地，耦合表象的本征矢 也应有 个，而且每一个都是无耦合表象本征矢 的线性迭加,由于耦合系数的明显表达式复杂，一般查专用表，如克来布希-高登系数表。,下表列出第二个角动量为电子自旋角动量 时的几个矢量耦合系数。,12,两个角动量的耦合 (coupling of two angular momentums),将这些系数代入(5)式可得,13,两个角动量的耦合 (coupling of two angular momentums),（6）,（6）式中
6、， 只表述了 和 两个，而 还有不同取值未表述.,注意,的数目不定，还得视 而定，例如对氢原子P态, ，应有6个本征矢，其中4个是独立的。,对氢原子，（6）式也可表示为具体表象形式,用 的本征函数 和 的本征函数 表示：,14,两个角动量的耦合 (coupling of two angular momentums),改写为,15,7.5 光谱的精细结构,Fine structures of the optical spectrum,16,讨论电子自旋与轨道相互作用对类氢原子能级和谱线的影响。,不考虑自旋与轨道相互作用时,对类氢原子,因 彼此对易，它们有共同的本征函数,7.5 光谱的精细结构（
7、1）,无耦合表象基矢,而,自旋量子数,能量本征值,17,有两个取值，故 是 简并的能级,总角动量算符,彼此对易，则它们有共同的本征函数（耦合表象中的基矢）：,将耦合表象的基矢 按无耦合表象基矢 展开,7.5 光谱的精细结构（ 2）,18,电子自旋与轨道运动的相互作用能比电子的动能和在核场中的势能小得多，现表示为：,考虑自旋与轨道运动相互作用能的影响,而,由于 的存在，使 和 都与 不对易，故不能用 和 来描述( 和 不是好量子数),7.5 光谱的精细结构（ 3）,（1）,19,（2）,都和 对易，但由于 的存在, 与 不对易，故不能认为 的本征函数 就是 的本征函数，设 的本征函数为 ，本征方
8、程为,由于 的本征值是简并的，可用简并情况下的微扰理论方法求方程（2）的解。,7.5 光谱的精细结构（ 4）,由（2）式，则有：,（3）,20,矩阵元：,（4）,7.5 光谱的精细结构（ 5）,而：,21,故,由此得能量的一级修正：,7.5 光谱的精细结构（ 6）,（6）,积分：,（7）,22,7.5 光谱的精细结构（ 7）,当 和 给定后， （除外 ）,能量分裂为两个能量值,由此产生了光谱线的精细结构。,故由此可得两个态的能量分别为,（8）,23,两能级差为,7.5 光谱的精细结构（ ）,精细结构常数,对于 的能级，自旋与轨道无耦合，故能级不分裂，不移动。,相应两个态函数为：,对于 的能级，
9、均分裂移动。,24,7.5 光谱的精细结构（ ）,对于 的情况， 有两个取值，能级均一分为二。,由于考虑了电子自旋与轨道运动的相互作用，使能级不仅与 有关，而且与j 有关。,对于氢原子，不考虑相对论效应和轨道与自旋耦合，能级为 度简并。当考虑外电子对核的屏蔽效应或碱金属原子对原子实贯穿时，能级与 有关；再考虑自旋轨道耦合，能级还与 有关，表为 ，但 乃有 个取值，故为 简并。,25,简并是部分消除,7.5 光谱的精细结构（ 1）,表示:,26,氢原子光谱的精细结构,7.5 光谱的精细结构（ 1）,27,钠原子2P项的精细结构,7.5 光谱的精细结构（ 1）,28,附录,7.5 光谱的精细结构（ 1）,
