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1、数理统计是用有效方法去收集和使用数据的科学。,退 出,目 录,前一页,后一页,概率的概念形成于16世纪，与掷骰子进行的赌博活动密切相关。,引言,在生活当中，经常会接触到一些现象：确定性现象：,特点：（1）在一次观察中，试验中其结果呈现出不确定性； （2）在大量重复实验中其结果又具有统计规律性。,随机现象：,在一定条件下必然发生或必然不发生的现象。,在一定条件下可能发生、也可能不发生的现象。,随机现象、随机试验、随机事件是我们进入概率论世界的三把钥匙。,E1：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、反面T （Tails） 出现的情况。,这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样的科学实验，也包括对事物
2、的某一特征的观察。 其典型的例子有：,随机试验（Experiment ）,E3：观察某一时间段通过某一路口的车辆数。,E2：抛一颗骰子，观察出现的点数。,退 出,前一页,后一页,目 录,E4：观察某一电子元件的寿命。,E5：观察某地区一昼夜的最低温度和最高温度。,这些试验具有以下特点：,（3）每次试验的可能结果不止一个，所有可能结果事先明确；,（4）每次试验之前，不能确定哪一个结果会出现。,（2）在相同的条件下可以重复进行；,称具备上面四个特点的试验为随机试验。,退 出,前一页,后一页,目 录,（1）试验具有明确的目的；,随机事件 : 随机试验中，每个可能出现的结果。 记作 A, B, C 等
3、等；分类： 基本事件 :最简单的不能再分的单个事件. 复合事件:由两个或两个以上的基本事件组成的事件. 必然事件 :在随机试验中必然出现的结果. 不可能事件 :在随机试验中决不会的结果.,随机事件,我们称一个随机事件发生当且仅当它所包含的一个基本事件在试验中出现。,退 出,前一页,后一页,目 录,样本空间,定义 将随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称为 E 的 样本空间,记为 。 样本空间的元素，即 E 的每个结果，称为样本点。 每一个基本事件就是一个样本点。,退 出,前一页,后一页,目 录,E1：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、反面T （Tails） 出现的情况。,E3：观察某一时
4、间段通过某一路口的车辆数。,E2：抛一颗骰子，观察出现的点数。,E4：观察某一电子元件的寿命。,E5：观察某地区一昼夜的最低温度和最高温度。,1 : H , T ,2 : 1, 2, 3, 4, 5, 6 ,5 : ( x , y ) | T0 x , y T1 ,4 : t | t 0 ,3 : 0,1,2,3,退 出,前一页,后一页,目 录,随机试验、样本空间与随机事件的关系,每一个随机试验相应地有一个样本空间, 样本空间的子集就是随机事件.,随机试验,样本空间,随机事件,随机事件,基本事件,必然事件,不可能事件,复合事件,互为对立事件,1 概率的计算2 一维随机变量3 多维随机变量4 数
5、字特征,第一章 概率知识（第一讲）,退 出,目 录,前一页,后一页,一 事件之间的关系和运算二 概率的统计定义与公理化定义三 古典概型及计算,1.1 概率的计算,退 出,目 录,前一页,后一页,1 包含关系,如果A发生必导致B发生，则,2 相等关系,退 出,前一页,后一页,目 录,一、事件间的关系和运算,3 和事件,事件 发生当且仅当 A, B 至少发生一个 .,退 出,前一页,后一页,目 录,4 积事件,事件 发生当且仅当 A , B 同时发生.,5 差事件,发生当且仅当 A 发生 B 不发生.,退 出,前一页,后一页,目 录,6 互斥（互不相容）,7 逆事件 （对立事件）,请注意互不相容与
6、对立事件的区别！,退 出,前一页,后一页,目 录,8 完备事件组,事件的运算规律,交换律:,结合律:,分配律:,德摩根定律:(De Morgan),退 出,前一页,后一页,目 录,差化积:,吸收律:,例如，在 4 中观察某一电子元件的寿命,事件 A=t|t1000,表示 “产品是次品”,事件 B=t|t 1000,表示 “产品是合格品”,事件 C=t|t1500,表示“产品是一级品”,则,表示 “产品是合格品但不是一级品”;,表示 “产品是是一级品” ;,表示 “产品是合格品”.,退 出,前一页,后一页,目 录,是互为对立事件；,是互不相容事件；,练习：设 A, B, C 为三个随机事件，用A
7、, B, C 的运 算关系表示下列各事件.,（1）A 发生.,(2) A 发生，B 与 C 都不发生.,(3) A , B ，C 都发生.,(4) A ，B ，C 至少有一个发生.,退 出,前一页,后一页,目 录,(5) A ，B ， C 都不发生.,二、概率的统计定义与公理化定义,1.概率的统计定义,频率 ,当 n 较小时波动幅度比较大，当 n 逐渐增大时,频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小,它就是事件的概率,概率是用来表示事件发生的可能性大小的度量，记为P(A).,试验序号,1 2 3 4 5 6 7,2,3,1 5 1 2 4,22,25,21,25,2
8、4,18,27,251,249,256,247,251,262,258,0.4,0.6,0.2,1.0,0.2,0.4,0.8,0.44,0.50,0.42,0.48,0.36,0.54,0.502,0.498,0.512,0.494,0.524,0.516,0.50,0.502,实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做7 遍, 观察正面出现的次数及频率.,波动最小,随n的增大, 频率 f 呈现出稳定性,实验者,德 摩根,蒲 丰,频 率 稳 定 值 概率,事件发生的频繁程度,事件发生的可能性的大小,频率的性质,概率的公理化定义,退 出,前一页,后一页,目 录,2.概率的公理化
9、定义,设 是随机试验E 的样本空间，对于E 的每一个事件 A有 一个实数 P(A)与之对应，且P(A)满足：,退 出,前一页,后一页,目 录,1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构，给出了概率的严格定义，使概率论有了迅速的发展.,3、概率的性质,退 出,前一页,后一页,目 录,生活中有这样一类试验，它们的共同特点是：（1）样本空间的元素（基本事件）只有有限个；（2）基本事件发生的可能性相等。,1.古典概型定义,我们把这类随机试验的数学模型称为古典概型。,退 出,前一页,后一页,目 录,三、古典概型及计算,若样本空间的样本点总数为n，事件 A 包含 m 个基本事件，即 A =
10、e1, e2, em , 则有 ：,退 出,前一页,后一页,目 录,2.古典概型的计算：,3.古典概型的性质：,（1）加法原理：完成某件事有两类方法，第一类有n种，第二类有m种，则完成这件事共有n+m种方法。,（3）排列： 1）有重复排列:在有放回选取中，从n个不同元素中取r个元素进行排列，称为有重复排列，其总数为 。,排列组合公式,（2）乘法原理：完成某件事有两个步骤，第一步有n种方法，第二步有m种方法，则完成这件事共有nm种方法。,退 出,前一页,后一页,目 录,2）选排列：在无放回选取中，从 n 个不同元素中取 r 个元素进行排列，称为选排列，其总数为,（4）组合： 从 n 个不同元素中
11、取 r 个元素组成一组，不考虑其顺序，称为组合，其总数为,例1 球放入杯子模型,把 4 个不同球放到 3个杯子中去,求第1、2个杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可放任意多个球.,4个不同的球放到3个杯子的所有放法,因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为,例2 设有 N 件产品，其中有 M 件次品，今从中任取 n 件， 问其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少?,又 在 M 件次品中取 k 件，所有可能的取法有,在 N-M 件正品中取 n-k 件, 所有可能的取法有,解：在 N 件产品中抽取 n 件，取法共有,退 出,前一页,后一页,目 录,由乘法原理知：在 N 件产品 中取
12、 n 件，其中恰有 k件次品的取法共有,于是所求的概率为：,此式即为超几何分布的概率公式。,1 电话号码问题 在7位数的电话号码中,第一位不能为0，求数字0出现3次的概率.,2 骰子问题 掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的概率.,练习,如果事件A 与 B 相互独立的充分必要条件是,退 出,前一页,后一页,目 录,事件的独立性,定理: 若随机事件 A 与 B 相互独立，则,也相互独立.,注意：在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意义来加以判断的。具体的说，题目一般把独立性作为条件告诉我们，要求直接应用定义中的公式进行计算。,定理 若 其中有一对相互独立,则其余的3对都相互独立.,
