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1、- 1 -,第二节 傅里叶变换,傅里叶变换的概念单位脉冲函数及其傅里叶变换三 非周期函数的频谱,- 2 -,一 傅里叶变换的概念,如果在上式中设,则,- 3 -,定义,记,根据定义我们有,- 4 -,解,- 5 -,根据傅立叶逆变换的定义，,- 6 -,解,- 7 -,例3,求钟形脉冲函数,的傅氏,变换。,解,令,则,且,- 8 -,所以,利用,得,- 9 -,由前节可知偶函数,的傅立叶积分为,奇函数,的傅立叶积分为,由此可以得到傅立叶余弦变换、傅立叶正弦变换。,定义,设,在区间,满足傅立叶积分收敛,的条件，,称,为函数,傅立叶余弦,变换式，,记为,即,- 10 -,称,为,傅立叶余弦变换像函
2、数。,称,为,的傅立叶余弦逆变换像原函数.,为,傅立叶余弦逆变换式,记为,即,称,称,为函数,傅立叶正弦变换式，,记为,即,记为,- 11 -,称,为,傅立叶正弦变换像函数。,称,为,的傅立叶正弦逆变换像原函数.,为,傅立叶正弦逆变换式,记为,即,称,- 12 -,例,求函数,傅立叶余弦、正弦,变换。,解,- 13 -,- 14 -,二 单位脉冲函数及其傅里叶变换,现确定该电路的电流,则,由于电流强度为电荷函数对时间的变化率，,所以,即,- 15 -,另一方面，通过电路的总电荷等于电流强度对时间,的积累，,即,记为,即对于任何一个无限次可微,- 16 -,函数,如果满足,其中,记为,或简记为,
3、- 17 -,利用,则有,事实上，,- 18 -,同理我们有,即,或,同理有,或,由此可知,- 19 -,需要指出：关于,的傅氏变换是按,式来定,义的，是一种广义的傅立叶变换，,- 20 -,例4,证明,证,设,由于,- 21 -,由于,所以,因此,- 22 -,例如由于,所以,同理,- 23 -,- 24 -,例4,求正弦函数,的傅氏变换。,解,- 25 -,例6,求符号函数,的傅氏变换。,解,- 26 -,三 非周期函数的频谱,其中,- 27 -,且,因此,这反映了振幅与频率之间的关系。,所谓的频谱图就是反映振幅与频率的关系图，,称为振幅频谱。,所以这种频谱图是不连续的，,由于,称之为,离散频谱。,- 28 -,解,- 29 -,- 30 -,对于非周期函数,其中,解,利用本节例2可得,- 31 -,所以,由于,所以,- 32 -,我们定义,为函数,的相角频谱，则相角频谱为,的奇函数。,
