《平面点集的基本概念定义将有序实数对》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平面点集的基本概念定义将有序实数对（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十章第十章第十章第十章多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 10.1 多元函数 、平面点集的基本 概念定义 将有序实数对 的集合即 称为二维空间， 记作 ：( , )xy ( ) yxyx ,，上述集合称为 “ 平面点集 ” .=2定义 设 与 是 的任意两点，非负 数),( 111 yxP ),( 222 yxP 2( ) ( )221221 yyxx +称为点 与点 的距离，表示为 | |或 .1P 2P 21 PP ),( 21 PP不难证明，对 的任意三点 它们之间的距离满 足三角不 等式， 即2 , 321 PPP.1 2 1 3 3 2| | | | | |P
2、 P P P P P + 定 义 以 点 为 心 以 任 意 为 半 径 的 圆 内 的 所 有 点 ， 即( )baP, 0r ( )yx,( ) ( ) ( ) rbyaxyx r ( )rPU, E P E2.若 ，邻域 内既有点 属于 ，又有点 不属 于 ，则称点0 r ( )rPU, E E P是 的界点 . 的所有界点，即界 点的集合 ，称为 的边界 .E E E3.若 ，有 ，则 称 是有 界集 ,其中 是坐 标原 点 .反 之 ，0 l ( )lOUE , E O称 是无界集 .E例 1.设 即 是 平面上有理点的全 体， 因此 平 面( ) = 2121 ,|, rrrrMK
3、 KM xy xy上任一点都是 的聚点 .KM例 2.设 都是内点 ， 满足 的点 都( ) 的所有点则 EyxyxE 1|, 22 +yx是 的外点，圆周 的点都是 的界点 .所有的内点都是 的聚点 .所有 的E 122 =+yx E E界点都是 的聚点 .E注：一般地，界点 不一定都 是聚点 .例 3.设 ， 没有 内 点 ， 点 集 的所 有 点 都 是 的界1 1, ,E mn Nmn = E E E点 . 轴上的点 与 轴上的点 及原点 都是 的聚点， 也是 的 界x 0,1m y n1,0 ( )0,0 E E点 . 在 平面上除去 的界点外，其它都 是 的外点 .xy E E定义
4、 若平面 点 集 的每一 点 都是 的内点 ， 则称 为开集 .若集合 的一切E E E E聚点都属于它 ,则称 为闭集 ,无聚点的集合也是 闭集 .E例 4.由 组成 的 平 面 点 集 是 开 集 ,由 组成 的 平 面 点 集1022 于是，矛盾的（非空）子集包含的点，这与不包含这表明从而已知充分大时，有当）有的点不包含，邻域界点，即 的的内点也不是既不是是闭区域，所以因为假设用反证法下面证( ) ( )( ) 矛盾所覆盖中一个开区域被面，没有有限覆盖；另一方子集非空的含有 包一方面，已知充分大时，有），当有，是就是的内点，也是即，使中至少存在一个开区域，有已知条件，由于.DD R .,
5、Rn2 .,UoG,11 GSDGUG GGSDnnnn ( )( ) .EE,U ,0.EE 的聚点是点集的无限多个点，则称都含有邻域 若，也可以不属于可以属于点是一个点是坐标平面点集，设定义 r rE( ) .EE . E .3 DD ，使域有界，则存在有界闭区已知证明 至少有一个聚点集坐标平面上有界无限点聚点定理定理( )( ) ( )( )( ) DrU rErEErrDppppp |, .E,U,U,U,0E,E 于是，开区域集的点不含，则；若只含有点则若的一个点有 至多含邻域的聚点，从而不是没有聚点，即假设用反证法( ) ( )个点，与已知条件矛盾有限至多有因此点集从而也覆盖也覆盖
6、有界闭区域 在有限个开区域根据有限覆盖定理，存覆盖有界闭区域 n E., ,2,1|U . k, ED nkrD kp = ( )= nNnNnnnnn000020nlim, ,0,. 或，表为是存在极限或收敛，极限则称点列有若设坐标平面上有点列定义 ( ) ( )( ) ( ) .lim,lim,lim ,. 00000n000bbaababa babannnnnnnnnn = 引理与设有点列示点列极限也可用坐标表( ) ( ), , . ,n 0000000020200bbaabb bbaaaabbaannnnnnnnnnn+ += 于是， 已知证明( ) .| . ,0 4. .n 有界
7、有界，则称点列若坐标平面点集定义有，收敛点列柯西收敛准则定理 得证由这两个不等式，引理nmnnnNmnN 定义 设坐标平面上有点 列 ， 且 nP 的无限子集，是正整数集 kn zyxzyx 已知体的体积都对应着唯一一个长方 .V对应关系是. xyzV= ( ).,P3 联系着以及时间在三维空间的坐标与点的温度、教室内一点例 tzyxPT( )( )tzyxTT Ttzyx , .,= 是设它们之间的对应关系都对应着唯一一个温度对任意有序四数组定义 设 是 为空间 中任意点A n Afn 对应关系的非空子集，若存在对 ,( ).: , 21AfnAfyfxxxP n元函数，表示为 上的是定义在
8、则称对应关系对应唯一一个按照对应关系( ) ( ).,y ,P 21 nxxxfyPf Pfy = 或 的函数值，表为在点成为函数对应的数点( ) ( ) .,| . . = APPfyyAf ffA 表为的值域函数值的集合称为函数的定义域称为函数数集 ( ). ,1 x 0x-1 ,0 11, 4. 222222222点为心的单位球内的所有即函数的定义域是原点 或必须满足不等式，所以母不能为因为函数值是实数，分解的定义域求函数例=zyzy zyxzyxzyxf( ) ( )( ).x1 01 1ln .21ln, 5. 2222222222yyxyxyxyxyxf+=或的定义域是函数解的定义
9、域求函数例.2 x 02 x-2 222222 + yyxy 或的定义域是函数 ( )GyxGyxG yxfyx 属于区域圆周不属于区域圆周的环形区域与是 ，半径分别的定义域是以原点为心即函数它们的公共部分是 2,1,21 ,21222222 =+=+， ： 或 有0 DP ,|0 0 0 ( ) Dyx , ,|0 0,0 B ),( yx |)1|2|15|14)23(| 2 + ,01,30m in = : 且 有),( yx ,|2| 1） .显 然 ， 与 ， 有,0=xy )0,0(),( yx 0 = ,02= 有 . | AB由 二 重 极 限 的 定 义 , : 与 ,且,0
10、 ,0 ),( yx 或( ) ( ),| 0 ( ) ( )0)y ( 2x |2| |0,0,| 222 2 = ,| :.,0. 2 yxyx取 ( ) ( ) yyxxyx.( ) ( ) 与 ，有 0 ( )yx, Pf( ) ( ).0 ,0 PfDPUP 有或( ) ( ) = 0000 :,0,0P PPDPPfPf 连续，即在已知证明 ( )有 ,0 DPUP ( ) ( ) ( ),| 000 PfPfPf = PfPfPf注： 一元函数 可看作特殊的二元 函数 .( ) ( )yx , 凡是一元连续函数 都是连续 的二元 函数 .例，二元函数( ) ( )223sin 3
11、sin, yx exxyxf y+ +=因为一元函数 等在 都是连续函数， 所以它们都是二元连续函 数yexyxx ,sin 322 定理 5.（有界性） 若函数 在有界闭区域 连续， 则函数 在 有 界 ，( )Pf D ( )Pf D即 ( ) .,0 MPfDPM 有证明 1 用有限覆盖定理 .课本 (P152)证明 2 用致密性定理 .用 反 证 法 ： 假 设 在 有 界 闭 区 域 无 界 ， 即( )Pf D，( ) nPfDPn nn 使点， .按此方法得到点到 时， ，据致密性定理： 点列 为有 nPn 当 , ( ) nPf nP界点列，则 存在收敛子列 ， 由于 是 有
12、nP knP ( ) 的聚点，是点 DP 00 kPPKn D界闭区域，则 ，由 . 则 所以DP0 ( ) ( )nPf n ,n ,kn ( ) knPf（ *）( ).k另一方面 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )PfkPfnfPPfDP k 式矛盾，即与点连续在 *, 000 在 有界 .D定理 6.(最值性 )若函数 在有界区域 连续，则函数 在 取到最 小( )Pf D ( )Pf D值 与最大值 ，即m M ( ) ( ) 有且使 ,. , 2121 DPMPfmPfDPDP = ( ).MPfm 证 明 只 给 出 取 到 最 大 值 的 证 明 .根 据 定 理 5， 函 数 在 有 界 ， 设( )Pf D( ) ( ).,.,|sup 22 MPfDPMDPPf = 使只要证明用 反 证 法 .假 设 函 数 在 连 续 ， 且( ) 显然，有 ., MPfDP 0.于是，函数( )PfM( )PfM1在 连续 .根据定理 5，D 有,0 DPC ( ) ( ) ,1 1 CMPfCPfM PPDPP( ) ( ).2| | 21 ,0,0 ( ) ( ).2| |
