《工程流体力学(清华版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《工程流体力学(清华版)（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 7章 量纲分析与相似原理本章的主要内容：量纲与量纲分析法模型相似律与相似准则课件制作：武汉大学水利水电学院赵昕27.1 量纲和谐原理量纲 （因次） 物理量的类别力学问题三个 基本量纲 ：长度 L、时间 T、质量 M如：管道的直径 d、长度 l都是长度量dim d = dim l = L 其他教材上对量纲的表示法 d = l =L其他物理量的量纲可以表示为基本量纲的组合 诱导量纲例：速度 u = ds/dt, dim u = LT-1加速度 a = du/dt， dim a = dim u /T = LT-2力 F = ma， dim F = dim m dim a = MLT-2与物理量单
2、位的组合规律相同。7.1.1 量纲和单位：3任一力学量 f， dim f = LTM若 0， 0， 0， f 为 几何学量若 0， 0， f 为 运动学量若 0， f 为 动力学量例：面积 A， dim A = ( dim d 2) = L2体积 V， dim V = L3， 都是几何学量速度梯度 du/dy, dim(du/dy) = dim u /dim y = LT-1/L= T-1，是运动学量密度 =m/V， dim = dim ( m/V) = ML-3切应力 、压强 p ： dim = dim p = dim ( F/A) = dimFL-2= MLT-2/L-2= M L-1T-
3、2 都是动力学量411TMLdim = Tdydu=dydu=已知 ， 则1/dimdimdimdim= Tdydu粘度 的量纲粘度的单位： Pas或 kg/(ms)=运动粘度dim = ML-1T-1/(ML-3) = L2T-1 是运动学量，故名。 若力学问题中涉及到热力学量或电学量，应增加热力学基本量纲或电学基本量纲57. 1. 2 无量纲数 没有单位的量dim f = L0T0M0=11. 可以将若干有量纲的物理量组合为一个无量纲量例 1： 水力坡度 J = hf/l， dim J = L/L= 1（两个量纲相同的量之商是无量纲量 ）例 2：雷诺数=vdRe1121=)TL/(LLTd
4、imddimvdimRedim例 3：弗劳德数glv=Fr1Fr dim2121= /)LLT/(LTgldim/vdim62. 力学公式中的系数最好是无量纲数例：沿程水头损失系数 ，局部水头损失系数 3. 力学公式、方程中的对数、指数、三角函数中的变量应该写成无量纲量的形式，其函数值应该是无量纲数。如： z=z0+z sin t 或 (z-z0)/z =sin tdim (t)=T-1T=1，单位：弧度lnr1 lnr2最好写成 ln(r1/r2)77. 1. 3 量纲和谐原理正确反映客观规律的物理方程或关系式中，求和式中的各项或方程的两边量纲应相同。 推导关系式时检查量纲是否和谐可以减少错
5、误。部分沿用至今的水力学经验公式可能不满足量纲和谐原理（逐渐淘汰中），使用时注意其中各变量和常数的单位。如：伯努利方程 const22=+ Hgugpz各项均具长度的量纲。() LLTMLTMLgp =)/()(dim231187.2 量纲分析法利用量纲的规律确定物理关系式的形式有：瑞利法、 定理法7. 2. 1 瑞利法若某物理量 y与 m个物理量（ x1, x2, , xm）有关，瑞利法假设mamaaxxkxy L2121=利用量纲和谐原理确定幂指数。9例：容器孔口出流流速公式的推导不考虑粘性影响，认为孔口流速 v与水头 h、液体密度 、重力加速度 g有关，且 ，试确定指数。zyxghCv
6、=解：公式两边量纲应相同zzyxxzyxzyxTLM)LT(L)ML()gdim()hdim()dim(CdimLTvdim232311 +=即 x = 0-3x+y+z = 1-2z = -1得： x = 0, y = z = 1/2所以 ghCv=（理论公式为 ）ghv 2=107. 2. 2 定理如果一个物理过程涉及 n个物理量 (x1， ， xn)，且基本量纲数为 m，则该物理过程可以用由这 n个物理量组成的 n m个无量纲量 (1， ， n m)的关系式来描述。即： 原来的关系式为 f(x1， ， xn) = 0新的关系式为 F(1， ， n m) = 0可以减少变量数目不可压缩流体
7、流动， m = 3F(1， ， n 3) = 011例：已知一维恒定总流的壁面平均切应力 0与 、 R、 v、 和壁面粗糙高度 ks有关，欲通过试验确定其关系式。分析： 0与 5个参数有关，试验工作量很大（若每个参数只取 10个值，就总共至少有 105个试验组合）。可以设法用 定理减少 3个独立参数。解：总共六个物理量，基本量纲 3个，可以构造 3个无量纲量，得到关系式 F(1, 2, 3) = 0步骤：（ 1）从（ 0, , ks, R, v, ）中选 3个作为 基本物理量要求几何学量、运动学量和动力学量各一本例选 R、 v、 （ 2） 用余下的 3个量与 R、 v、 一起构造 3个无量纲量
8、1211101 cbavR =2222 cbavR =3333 cbasvRk=（ 3）确定各指数。以 1为例：dim 1=1 所以分子、分母量纲相同11311113111111210bcbaccbacbaTLM)ML()LT(L)dim()vdim()Rdim(TMLdim+=c1=1a1+b1 3c1 1 b1= 2 解得 a1=0， b1=2， c1=1201v=13同理： a2=1， b2=1， c2=1 （ Re 雷诺数 ）RevRRv12=可取 = vRRe2a3=1， b3=0， c3=0 （ 相对粗糙度 ）R/ks=3得020=RkRe,vFs或=RkRe,fvs120令 f
9、= 2 f1则 Fanning公式()220vRkRe,fs=fFanning阻力系数 ，做实验确定，两个参数的函数。140与沿程水头损失 hf的关系(见第 6章) : lhgRf=0()22vRkRe,fs=有gvRlfhf2442=或 达西威斯巴赫公式gvRlhf242=沿程水头损失系数 无量纲，实验确定( )RkRe,fs= 4157.3 流动相似原理流体力学实验（模型试验，原型观测）理论的基础；理论和计算的验证许多理论分析和数值计算不能解决的问题还要靠实验问题：模型试验能否正确反映原型的规律？ 两者的流动是否相似？两者的参数如何换算？ 相似的比例？流动相似 的定义：若两个流动中各相应点
10、上所有相应流动参数维持各自固定比例关系，则这两个流动是相似的。167. 3. 1 三个方面的力学相似流动相似必须满足三个方面的相似1. 几何相似 ：原型、模型的几何形状相似，所有相应长度成同一比例关系 长度比尺如：矩形的边长 a、 b满足 长度比尺lmpmpbbaa=下标 p原型下标 m模型17面积满足 面积比尺AlmpmpmpbbaaAA=2 体积比尺3lVmpVV = 几何相似 所有对应角度相等182. 运动相似 ：原型、模型各相应点上的相应流速大小成同一比例，方向相同。流速比尺 且vmpxmxpmpuvvuuuu= Ltlu=时间比尺ulmpttt = 加速度比尺lutltumpaaa=
11、 22流量比尺213lutltVmpQQQ= 各比尺之间的关系可以由量纲关系导出193 动力相似 ：原型、模型各相应点上相应的各种作用力方向相同，大小成同一比例。微团上作用力：重力 G，压力 P，粘性阻力 T，惯性力 I = ma，有 0=+ ITPGvvrrGpPpTpIpTmGmImPm20动力相似要求流体微团上作用力的力多边形相似GpPpTpIpTmGmImPm力比尺mmppmpmpmpmpmpFamamIITTPPGGFF= 22222223mmmpppultllaVulul=21有2222mmmmppppulFulF=其中 代表流体的 惯性力 （流体抵抗改变运动状态的能力）22ul令
12、 牛顿数( 代表其他作用力与惯性力的比值 )22NeulF=两个相似的流动要求：原型、模型的牛顿数应该相等 牛顿相似准则mpNeNe =具体到各个单项作用力，得到各自的相似准则。224. 初始条件和边界条件的相似其实是以上三个方面相似的体现。恒定流：只需要考虑边界条件的相似。非恒定流：还需要考虑初始条件的相似。231.粘滞力（雷诺）相似准则原型、模型的粘滞力惯性力之比相等2222mmmmppppulTulT=所以，粘滞力比尺222222ulmmmpppmpTululTT=而粘滞力（内摩擦力）dyduAdyduAT =2212ullululT=粘滞力作用相似的比尺关系 为：lu=7.3.2 相似
13、准则24即mmmpppmmppmplulululu=令 雷诺数 （代表惯性力与粘滞力的比值）=ulRe粘滞力相似准则 （雷诺相似准则） :粘滞力作用相似要求原型、模型的雷诺数相等 Rep= Rem u、 l可以选择有代表性的特征流速、特征长度根据比尺关系有：， ，等lu=/= /2ltlQ=时，粘滞力相似准则要求的各比尺关系为等1=1=lu2lt=lQ=252.重力（弗劳德）相似准则2222mmmmppppulGulG=根据牛顿相似准则，原型、模型中的重力惯性力比值应该相等重力比尺 )(222222FulmmmpppmpGululGG=重力gVG =所以223ullgVgG=重力相似对比尺的要
14、求 ：2ulg=26即或22mpmmppuulglg=pppmmmlgulgu22=令 弗劳德数 （ Froude Number）glu=Fr代表了流体惯性力与重力之比 。 弗劳德数中的 u、 l可以取有代表性的特征流速、特征长度，如：断面平均流速、水深等。 一般情况下，重力加速度比尺 ，则 1=g2ul=即： ， ，2/1lu =2/1/lult=2/5lAuQ=重力相似准则 （弗劳德相似准则） :重力作用相似的流动弗劳德数相等 Frp= Frm273. 压力（欧拉）相似准则原型、模型中的压力（压差）惯性力比值应该相等即2222mmmmppppulPulP= 压力比尺222222ulmmmpppmpPululPP=因此2222mmmpppmmppmpupupuupp=压力 P = pA，所以222ullpApP=得到 压强比尺关系2up=28令 欧拉数2Euup=(代表流体压力与惯性力的比值)压力相似准则 （欧拉相似准则） :压力作用相似的流动其欧拉数相等 (Eu)p= (Eu)m2Euup
