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1、1第十三章 Laplace 变换法本章介绍线性电路过渡过程的第二种方法变换法。所谓变换法法，早在初等数学中就已经知道，比如要计算的 ab 值，一种简单的方法是应用对数进行计算， 其基本思想是不直接对“数”本身进行计算，而是对对应的数 进行简单的计算，这就是最简单的变换法。取对数的运算就是作变换，对数的值就是原来数的变换象，取反对数的运算就是反变换。在第八、第九章中计算正弦交流电路的相量法实质上也是一种变换法，其中的相量就是正弦量的“变换”象，应用相量法就可使原来正弦量的计算变为相量（复数）的计算。在数学中，为了求解微分方程，可用适当的“算子” （Operater)或积分变换将原微分方程变成代数
2、方程，通过简单的代数运算进行求解；然后进行反变换，这种方法成为算子法或运算法，现在常用的有傅立叶变换、拉普拉斯（Laplace)变换和 Z 变换。本章采用拉普拉斯（Laplace)变换法。第一节 Laplace 变换的定义、性质一、定义：1、傅立叶变换：当一个时间函数 f(t) 既满足狄里赫利条件，又满足绝对可积条件时，其傅立叶变换成立。正、反变换分别为：2、由傅立叶变换到 Laplace 变换：在电气工程和无线电工程中，常见的函数一般均满足狄里赫利条件，但通常不满足绝对可积条件，因此不能直接进行傅立叶变换。分析函数不满足绝对可积条件的原因是当t时，函数 f(t)不衰减，或不但不衰减，反而增长
3、。为了使 f(t)变的绝对可积，选一个指数衰减因子在电路理论中，常常把换路的瞬间记为 t=0，然后研究 t0 的过渡过程。这就是说，激励是从 t=0 开始作用于电路的，响应也应定义在 t0。因此，傅立叶变换中积分的下限考虑到由 0-到 0+可能发生的跃变，故定义为 0-。即de)j(F1)t(fttfjtj绝 对 可 积 的 函 数 。减 以 趋 于 零 ， 使 其 成 为 时 不 断 的 衰的 幅 度 在使选 得 足 够 大 ， 一 般 就 可其 中， 乘 以 原 函 数 te)t(f),t(fe tt2利用拉氏变换的定义计算下列各题。【例 13-1】求单位冲激函数的拉氏变换式。【例 13-
4、2】求单位阶跃函数和延时的阶跃函数的拉氏变换式。【例 13-2】求衰减的指数函数的拉氏变换式。*对于常见函数的拉氏变换式可以记住，也可以查拉氏变换表。二、拉氏变换的性质：（证明略）利用拉氏变换的性质，可以简化函数的拉氏变换的计算。性质 1：唯一性。象函数 F(S)与半开区间 0，）的时域函数 f(t)存在一一对应的关系。性质 2：线性性质。设 Lf1(t)=F1(S)，Lf 2(t)=F2(S)则：LA 1 f1(t)A2 f2(t)= A1 F1(S) A2 F2(S)【例 13-3】求下列表达式的拉氏变换式。之 间 是 一 一 对 应 的 关 系与称 为 复 频 率 。）（ ）（简 记 为
5、 ： 傅 立 叶 反 变 换 式 。傅 立 叶 正 变 换 式 。 ） 、 （代 入 （时 ， 时 ，当 则 ：令 ）（：两 边 同 乘 以相 应 的 傅 立 叶 反 变 换 ： ）（)t(fsFS)(Ltftdse)(j21)t(ftfsF21jSjdsjdsjs 2de)j(F21)t(fe de)j(F1e 1(t)t(fdt)t(fe)t(fF1t0s tjt t1t0)j0jtt 1dte)(dte)(dte)()t( 00s0st0s S1edt)t(e )Tt(de)Tt(t)TtLS01t)()(00 0sssT s)t(s0st0sts as10eas1dttL t)s(0)
6、as(0satat ST2tjtjatatat esA)t()tAL3( s)j1j(21)e21Sin2 asL)1()T(t3Sin)2(e 解 ：3222s0s*1tCosLtSindtCossti 则 ：解 ： 的 拉 氏 变 换 式 。 求 ：已 知 ：性质 3：时域导数性质。【例 13-4】性质 4：时域积分性质。【例 13-5】求斜坡函数的拉氏变换式。性质 5：时域平移性质（延迟性质或时滞定理） 。性质 6频域平移性质。性质 7卷积定理。第二节 运算电路在高等数学中，拉氏变换法是将给定的微分方程变换为相应的关于 S 代数方程。在电路理论中，微分方程不是给定的，是根据换路后的电路结
7、构列出来的，而列微分方程是一个比较烦琐的过程。因此电路的拉氏变换法从画运算电路开始，同时引入运算阻抗的概念，列出运算形式方程并求出运算形式的解，即象函数，再经过反变换得到时域形式的解。一、无源元件的运算电路：1、电阻：选择电阻两端的电压、电流为关联参考方向，如图 1-1-2。u(t)=Ri(t)。对该方程两边取拉氏变换得到：U(S)=RI(S) 可见，电阻的电压、电流的欧姆定律的形式未变。电路如图 13-2-1。)0(f.)0(fS)(f)(F)(f tf )S(FfL0t)(f 1nn1nnn 推 广 ： 时 的 值 。在为 函 数。 式 中则 ： 内 导 数 存 在 ， 若时 有 定 义
8、， 在 该 定 义 域在设 。 则 ：时 有 定 义 ， 若在设 )(1d)(f)S(FtfL)t(f t02ata 1*tLtrd则 ：又 ：解 ： 斜 坡 函 数 s1e)t(L )s(F*e)t(tfLFf0 0t0 t0 如 ， 则设 2at at)s(Sine )as(FfF)(f如 ， 则设 ）（）（则 ： ）（） ，（如 果由 于 sF*)t(ftL)t(fLsFd)t(fdt)t(f2121 t0212t012142、电感：选择电感两端的电压、电流为关联参考方向，如图 1-2-5。其电压、电流之间关系方程为：电感的运算电路如图 13-2-2。Li(0-)或 i(0-)/s 称为
9、电感的附加电源（或内电源） 。注意：（1）电感两端的电压由两部分组成。 （2）附加电源的参考方向。3、电容：选择电容两端的电压、电流为关联参考方向，如图 1-2-3。其电压、电流之间关系方程为：电容的运算电路如图 13-2-3。Cu(0-)或 u(0-)/s 称为电容的附加电源（或内电源）4、互感：电路如图 13-2-4(a),电压、电流参考方向如图。为 运 算 感 纳 。其 中或 为 运 算 感 抗 。数 值 。为 电 感 电 流 在 换 路 前 的其 中两 边 取 拉 氏 变 换 ， 。 如 果 用 微 分 形 式 。或 SL1)0(iSLU)(I SL)(i )0(i)I*S)(diL1
10、idtut 为 运 算 容 纳 。为 附 加 电 源 ，其 中或 为 运 算 容 抗 。数 值 。为 电 容 电 压 在 换 路 前 的其 中两 边 取 拉 氏 变 换 ， 。 如 果 用 积 分 形 式 。或 SC)0(Cu)()SU*C)(I 1)0(u)S(I*)0(uSdiC1d)iC1udti t0t 5U1(S)=SL1I1(S)-L1i1(0-)+SMI2(S)-Mi2(0-)U2(S)=SL2I2(S)-L2i2(0-)+SMI1(S)-Mi1(0-)运算电路图如（b） 。二、基尔霍夫定律的运算形式：三、象函数的求法：以 R、L、C 串联电路为例，如图 13-2-5（a） 。运
11、算电路如(b)。【例 13-6】求（a）中换路后电流、电压的运算形式。【解】首先计算 t=0-的状态，确定附加电源。步骤：（1）计算初值。 （2）画运算电路。 （3）列方程。 （4）求象函数。第三节 Laplace 反变换两 边 取 拉 氏 变 换dtiMtiLu12211 0)S(,0u Ii 质 ， 则根 据 拉 氏 变 换 的 线 性 性由 质 ， 则根 据 拉 氏 变 换 的 线 性 性由式 。称 为 欧 姆 定 律 的 运 算 形 态 条 件 下 ：称 为 运 算 阻 抗 。 在 零 状）（其 中则 电 流 ），） 中 ， 根 据在 图 （ )S(ZUIC1LR)S(Z)0uLi)(
12、US0(u)(i)S(I S)(i)C1SRIKVLb CC )20S(46.04832SLR1)0(i)US(I )b(A6420(i1 。画 出 运 算 电 路 如6在电路理论中，所得到的响应象函数通常是关于 S 的有理分式。对于此类表达式可用部分分式法展开成部分分式的形式。设则反变换为：【例 13-7】求下列表达式的拉氏反变换。1Sn1n1n1Sn2111 n12)1n(n2t1j2j212121122 tSn21tStS11 n212 2011nnm21 )(Fds*)(K.)(SFK.K)(FS.0S3)(CosAeL)j(F Ae)j(FKKS)( j0F e)(F.e)(Fe)(
13、)(Ln)S( )(Fbam.Sab)S(F1 ）（！ ）（ ）（ ）（）（ ：。 此 时 象 函 数 可 表 示 为重 根 ，有、则 反 变 换 为 共 轭 复 数 。、可 以 证 明则 。有 一 对 共 轭 复 根 。、则 反 变 换 。、个 不 同 的 单 根 ， 分 别 为有、分 三 种 情 况 ： 的 根 。分 母利 用 部 分 分 式 法 首 先 求 均 为 实 数 。、。 系 数是 整 数 ，、其 中 ：tS)1n(tS213tS12tS11 etK)!(.eKeK)(FL ttt22321S331 1322 1S32230S231 023212 232113452tt3222t
14、0t021t 2233e5e)t(5)t(f )1()()SF)(*)(KSds 5)(*)1(SK*)(ds S)(KS)S(F03 )35(Cose7.0Coe5.0tf52jj 5 jS43Fe4)ti 0S46 )1(3S)(I 。 展 开 式 为 ：，分 母 等 于 零 的 重 根 ： 。）（，）（）（ ）（ ）（ ）（ ）（系 数 ： 。，分 母 等 于 零 的 根 ： ）（，）（，）（）（ 。）（ ）（）（ ）（ ：。 直 接 代 入 反 变 换 公 式，分 母 等 于 零 的 根 ： ）（，）（，）（）解 ： （7第四节 用 Laplace 变换法（运算法）解线性电路一、求图例
15、 13-7(a)电路的零状态响应 uC(t)。RCtcCCe1)t(uSUL1)(YI)b(反 变 换 ： 。首 先 作 出 运 算 电 路 图8二、求图例 13-8(a)电路中，开关打开后电感的电流及电感两端电压。分析：从电路结构可以看出，i 2(0-)=0，i 1(0-)=5A。当开关打开后，两个电感变为串联，i 2(0+)=i1(0+)0。因此两个电流均发生跃变。如果用经典法求解比较麻烦，用运算法则不必考虑这些。根据换路前的状态，画出运算电路(b)。三、 求图例 13-8(a)电路中，换路后开关两端电压 uk(t)。t5.12122 t5.1211 t5.12t5.12212121e9.)t(375.0)t(u370SISU6.)t(.)t( .I30 e7.e)(F.)0(ti)
