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1、1,线性相位FIR数字滤波器的特性窗口设计法（时间窗口法）频率取样法FIR数字滤波器的最优化设计（自学）IIR与FIR数字滤器的比较,内容提要,第四章 FIR滤波器设计方法,2,滑动滤波器,滑动滤波器的幅频相频特性,3,相位延迟,4,相位失真,相位失真的影响,5,4.1线性相位FIR数字滤波器的特性,4.1.1 线性相位的条件线性相位意味着一个系统的相频特性是频率的线性函数，即,式中为常数，此时通过这一系统的各频率分量的时延为一相同的常数，系统的群时延为,6,线性相位FIR滤波器的DTFT为,幅度函数,相位函数,实部、虚部各自相等，实部虚部比值也相等,7,第一类线性相位的充要条件,8,第二类线
2、性相位特性,另外一种情况是：除了上述的线性相位外，还有一附加的相位，即,利用类似的关系，可以得出新的解答为,9,第二类线性相位的充要条件,10,线性相位特性,11,4.1.2 幅度特性,12,1. h(n)偶对称，N为奇数 h(n)=h(N-1-n),13,2. h(n)偶对称，N为偶数 h(n)=h(N-1-n),14,故不能设计成高通、带阻滤波器,15,3. h(n)奇对称，N为奇数 h(n)=-h(N-1-n),16,只适合设计带通,17,4. h(n)奇对称，N为偶数 h(n)=-h(N-1-n),18,h(n)为奇对称时，有900相移，适用于微分器和900移相器，而选频滤波器采用h(
3、n)为偶对称时,不能设计低通、带阻,19,4.1.2 幅度特性,对=0,2偶对称,对=0,2偶对称对=奇对称,对=0,2奇对称,对=0,2奇对称对=偶对称,不能设计成高通、带阻滤波器,只能设计成带通滤波器,不能设计低通、带阻滤波器,20,四种线性相位FIR DF特性，参考 P142 表4.1第一种情况 ，偶、奇数，四种滤波器都可设计。,第二种情况，偶、偶数，可设计低、带通滤波器，不能设计高通和带阻。第三种情况，奇、奇数，只能设计带通滤波器，其它滤波器都不能设计。第四种情况，奇、偶数，可设计高通、带通滤波器，不能设计低通和带阻。,21,例1 N=5, h (0) = h (1) = h (3)
4、= h (4) = -1/2, h (2) = 2，求幅度函数H ()。解 为奇数并且h(n)满足偶对称关系a (0) = h (2) = 2a (1) = 2 h (3) = -1a (2) = 2 h (4) = -1H () = 2 - cos- cos2 = 2- (cos+cos2),22,4.1.2 小结,四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于h(n)的对称性，而与h(n)的值无关。幅度特性取决于h(n)。设计FIR数字滤波器时，在保证h(n)对称的条件下，只要完成幅度特性的逼近即可。注意：当H()用H()表示时，当H()为奇对称时，其相频特性中还应加一个固定相移。,23,4.1.
5、3 线性相位FIR滤波器的零点特性,2）h(n)为实数，则零点共轭成对,1）若 z = zi 是H(z)的零点，则 z = zi-1 也是零点,24,线性相位FIR滤波器的零点特性,单位脉冲响应为实数的线性相位滤波器的零点是互为倒数的共轭对，即共轭成对且镜像成对,25,4.2 窗口设计法（时域）,w(n)：窗函数序列,要选择合适的形状和长度,26,理想低通滤波器的幅度响应及脉冲响应,27,截短并移位的脉冲响应,28,实际滤波特性,0.5,29,设计步骤：,1. 由理想频率响应 得到理想的 ； 由 得到因果、 有限长的单位抽样响应 ；2. 对 加窗得到较好的频率响应。,1,2,3,3,30,一.
6、矩形窗口法,则,a. 对于给定的理想低通滤波器 ，计算,：低通滤波器的延时,31,理想特性的hd(n)和Hd(),非因果,这是一个以为 中心的偶对称的无限长非因果序列，如果截取一段n=0N-1的hd(n)作为h(n)，则为保证所得到的是线性相位FIR滤波器，延时 应为h(n)长度N的一半,即,32,其中,b.计算,33,c.计算 设 为窗口函数的频谱: 用幅度函数和相位函数来表示，则有 其线性相位部分 则是表示延时一半长度 ，,34,对频响起作用的是它的幅度函数,Main lobe,35,理想频响也可以写成幅度函数和相位函数的表示形式 其中幅度函数为 两个信号时域的乘积对应于频域卷积，所以有,
7、36,如果也以幅度函数 和相位函数来表示 ,则实际FIR滤波器的幅度函数 为正好是理想滤波器幅度函数与窗函数幅度函数的卷积。,37,38,39,N-1,40,吉布斯效应及改善：这种由于截断而产生的理想滤波器的幅度特性的波动现象称为吉布斯效应。它使得截断后产生的FIR滤波器特性与理想特性之间有误差。分析误差产生的原因和影响误差的因素可以设计出特性更加好的FIR滤波器。,41,结论： 为了改善逼近效果，需要选用主瓣狭窄，旁瓣相对低的窗函数。但这两项要求往往不能同时满足。因为过渡带宽可以用提高阶数N来满足设计要求，所以工程上主要是选取旁瓣相对低的窗函数来对理想冲击响应序列进行截断。,讨论：,42,窗
8、函数要满足以下两点要求：,窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带；相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量集中在主瓣中，这样就 可以减小肩峰和余振，以提高阻带衰减和通带平稳性。,43,1. 矩形窗,主瓣宽度最窄：,旁瓣幅度大,窗谱：,幅度函数：,44,2. 汉宁窗（升余弦窗） 利用付氏变换的移位特性，汉宁窗频谱的幅度函数W（）可用矩形窗的幅度函数表示为：,45,旁瓣互相抵消，能量集中在主瓣主瓣宽度增加,46,3. 汉明窗（改进的升余弦窗） 它是对汉宁窗的改进，在主瓣宽度（对应第一零点的宽度）相同的情况下，旁瓣进一步减小，可使99.96%的能量集中在窗谱的主瓣内。,与汉宁窗相比：主瓣宽度相同旁瓣
9、峰值更小，小于主瓣峰值的1%,47,频谱的幅度函数为： 增加一个二次谐波余弦分量，可进一步降低旁瓣，但主瓣宽度进一步增加，为 。增加N可减少过渡带。,4. 布莱克曼窗（二阶升余弦窗）,48,49,窗口函数的频谱 N=51，A=20lg|W()/W(0)|,四种窗函数的比较,50,51,52,以上四种窗函数，都是以增加主瓣宽度为代价来降低旁瓣。凯塞窗则可自由选择主瓣宽度和旁瓣衰减。,I0(x)是零阶修正贝塞尔函数，参数可自由选择，决定主瓣宽度与 旁瓣衰减。越大，w(n)窗越窄，其频谱的主瓣变宽，旁瓣变小。一般取 4N时， hM(n)hd(n),窗口设计法的主要工作是计算hd(n)和w(n)，当
10、较为复杂时，hd(n)不容易由反傅里叶变换求得。这时一般可用离散傅里叶变换代替连续傅里叶变换，求得近似值：令,频域采样,IDFT(IFFT),65,窗函数法的设计步骤,给定理想的频率响应函数及技术指标,求出理想的单位抽样响应,根据阻带衰减选择窗函数,计算频率响应 ，验算指标是否满足要求,根据过渡带宽度确定N值,求所设计的FIR滤波器的单位抽样响应,66,公式法：,对 M点等间隔抽样：,67,68,直接截取的频率特性,凯塞窗设计的频率特性,69,线性相位FIR低通滤波器的设计,例：设计一个线性相位FIR低通滤波器，给定抽样频率 ，,通带截止频率 ，,阻带起始频率 ，,阻带衰减不小于50dB，幅度
11、特性如图所示,70,2）求hd(n),71,4）确定N 值,3）选择窗函数：由 确定汉明窗（-53dB）,72,5）确定FIR滤波器的h(n),73,线性相位FIR低通滤波器的设计例子,例：设计一个线性相位FIR低通滤波器，给定抽样频率为10kHz,通带边缘频率为2kHz,阻带边缘频率为3kHz,阻带衰减40dB,74,线性相位FIR高通滤波器的设计,其单位抽样响应：,理想高通的频响：,75,线性相位FIR带通滤波器的设计,其单位抽样响应：,理想带通的频响：,76,线性相位FIR带阻滤波器的设计,其单位抽样响应：,理想带阻的频响：,77,设计例子,用汉明窗设计一个线性相位带通滤波器,N=51,
12、78,用低通滤波器设计带通滤波器,79,用低通滤波器设计高通滤波器,80,4.3 频率采样设计法,一、基本思想 使所设计的FIR数字滤波器的频率特性在某些离散频率点上的值准确地等于所需滤波器在这些频率点处的值，在其它频率处的特性则有较好的逼近。,内插公式,81,二.设计方法,1）确定2）计算3）计算,82,三、约束条件,为了设计线性相位的FIR滤波器，采样值 H（k）要满足一定的约束条件。 前已指出,具有线性相位的FIR滤波器，其单位脉冲响应h(n)是实序列，且满足 ，由此得到的幅频和相频特性，就是对H(k)的约束。（表4.1）。,83,令 则 必须满足偶对称性：而 必须取为：,例如，要设计第
13、一类线性相位FIR滤波器，即N为奇数，h(n)偶对称，则,幅度函数H（）应具有偶对称性：,84,因此，Hk 也必须满足奇对称性： 相位关系同上， 其它两种线性相位FIR数字滤波器的设计，同样也要满足幅度与相位的约束条件。,同样，若要设计第二种线性相位FIR滤波器，N为偶数，h(n)偶对称，由于幅度特性是奇对称的，,85,四、逼近误差,由 或 H（z）。由上述设计过程得到的 与 的逼近程度，以及 与H（k）的关系？由,86,内插公式,87,在每个采样点上， 逼近误差为零，频响 严格地与理想频响的采样值 H(k)相等；在采样点之间，频响由各采样点的内插函数延伸迭加而形成，因而有一定的逼近误差，误差大小与理想频率响应的曲线形状有关，理想特性平滑，则误差小；反之，误差大。在理想频率响应的不连续点附近， 会产生肩峰和波纹。 N增大，则采样点变密，逼近误差减小。,
