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1、阿波罗 怙 悛 我们大概知道所学的二次曲线(椭圆、 双曲线、抛物线和圆)一般有三类定义利用 “到两个定点的距离之和或差”可以定义椭 圆或双曲线，利用“到一个定点的距离”可以 定义圆(第一定义)；利用“到一个定点和一 条定直线的距离之比”可以定义椭圆、双曲 线和抛物线，利用“到两个定点的距离之比” 可以定义圆(第二定义)；利用“与两个定点 连线的斜率之积”可以定义椭圆、双曲线和 圆(第三定义，不清楚的同学，可参见本刊本 版2013年第2期中的例说高考解析几何试 题的源和流一文) 这里我们最不熟悉的可能是，利用“到 两个定点的距离之比”可以定义圆(即阿波 罗尼斯圆)，因为我们没有深人研究过这个 问
2、题本文就从这个问题出发，作一番较为 深入的探究，供同学们参考 问题 已知某平面上有两个定点(记 为)A，B，它们之间的距离(AB)为定值2d( O)，设该平面上有一个动点(记为)P，它到 ，D、 A，B的距离之比( )为定值 ( 1)，求 动点P的轨迹 解法1 (平面几何思路)设AB的中 1 点为0，则0A一0B一_去-ABd由 1，知 点P在线段AB中垂线的靠近点B的一侧 先考虑特殊情况。如图1，当点P在直线 AB上时，由面PA= 以及共线关系，可得 罱 可得筹 ， 解得OP一 ，且OP的两个解的均 值为苫 d，差的绝对值为 于是得点 P的两个特殊位置(记为)M，N以及它们的 中点(记为)C
3、，不妨设靠近点0的为M，远离 点。的为N，则oM一 苦 ，ON= aq -1 ， 0c一彗等 ，于是有Cj 一CN MN 2Ad 。一1。 A 0 B 图1 冉考愿一般I胃况。如图1，当点P征1亥半 面上运动时，由 pA 2一 。以及余弦定理，可 得舞4- OP 2d O Pcos BOP ， 。寸 一 筹 氍 ，解得oP +0P 2 OPcosB0P 一 ，其中一( 。4- 1 z一1 ， 1) COS。B0P一( 一1) 所以CP。一OC。+OP 一20COP c。s c0P一( ) ( + +( d) 始,rsiU!L引 彻 搬 一 磊 誊蠢毒 誊 _ 固l本 归细 整理 誊 EG +I
4、)cosZBOP+v- 一2 ( + 1) ( +1)cos ZBOP 4- c。sZBOP一( ) E(A2+ +2( 。 +1)。COS。 BOP一( 。一1)。2( 。+1) cos BOP 一2( +1) COS BOP干 2 +1)c。sLBOP伺一( ) 于是CP 一C 一CN 一( MN) 或者，也可以算得MP。+NP。一0IV12+ ON。+20P。一20MOPcos COP一20N OPcos COP=MN 或者，延长AP至A ，连结MP，NP，设 P到AB的距离为h，M到AP，BP的距离 分别为h ， ，N到AP，BP的距离分别为 于是 PBM一； 2一 ，又 1 1J。，
5、 yiJ 。， 嚣一 一 ，所以 一 即MP平分 APB，同理h。一h ，即NP平分 A PB， 所以 MPN=90。 所以动点P的轨迹形状为：“圆心为在 直线AB上靠近点B且到线段AB中点0 距离为誉等d的点C，半径为 ，的圆， 距离为 的点，半径为 ”的圆， 1 1 即“一条直径的两个端点为在直线AB上靠 近点B且到线段AB中点0距离为A -FiI ， d的点M，N”的圆 解法2 (平面解析几何思路)以直线 AB为z轴，向量 方向为z轴正方向，线 段AB的中垂线为 轴，在该平面内建立坐 标系xOy，则0(0，O)，A(一 ，0)，B(d，0) 设动点P(z， )，由第一 ，可得 一 锈e
6、，0f 。 _纛 掰H ； f z，可得动点P的轨迹方程为( 一鍪 )。 。 2Ad、 十 I J。 所以动点P的轨迹形状为：圆心为点 C A +一I ，o)，半径为r一 的圆，并且可 以发现动点P的轨迹(即圆C)与直线AB (即X轴)的交点(即一条直径的两个端点) 为M( d，0)，N( d，o) 点评 很明显地，利用解析(数形结 合)的思路解决这个问题更加简捷 探究1 上面的解法都是以给定线段 AB的中点。为参照点【原点)来研究问题的 实际上，完全可以以其他点为参照点(原点)， 都不会影响轨迹的大小和轨迹相对于定点A， B的位置(请你从数学、物理的角度，认真理解 位置的相对性和必须有参照系
7、性) 为此，继续研究A，B，O，M，N，C这6个 比较特殊的点，不难发现如下结论：这6个 点都在定直线AB上，研究其他点相对于点 0的位置(方向和距离)，即其他点在0为原 点时的坐标，可得大小关系：一 1” 这一假定能否包含这个问题的所有情况? 当然能 如果以C为参照点(原点)，则N在点C 的一侧，CN一 ，B，M，0，A在点c的另 ，： ，cM： ，co一 ， cA一j阿2A2d。 如果以N为参照点(原点)，则其他点都 在点N的同侧，且Nc一 2d1，Ngt(xN)fgN 一 一 1据此可以定义：M，N分别为分 线段AB(不能写成BA)成定比 的内、外分 点；等价(对称)地可以定义：B，A分
8、别为分 线段NM(不能写成MN)成定比 的内、 外分点 2 】1 2 1 处有一NM一丽十一NAMN旆一 一 渗 ， 嘲 搿 幽 H”一 一 ： “ x ll 赣 - j ； j ： 1 一 ，等价(对称)地还有 一 + 一 一丽1AN BA B N一 d 。 M B 因此，可以定义：A，B，N，M为以A，B (或N，M)为基点，M，N(或B，A)为内、外分 点， (或 a+ 1)为分比的调和点列 加入0。C这2个点，有CACBCN cM一(一 一 一(丢NM)。)一( )。 (等价于)，等价(对称)地有ONOM OAoB(一QA2一oB2一(丢AB) )一 (等价 于)据此可以定义：B，A互
9、为关于以线段 NM为直径的圆C的反演点；等价(对称)地可 以定义：M，N互为关于以线段AB为直径的圆 0的反演点 还有NBNA=NONM一 备， MB 一M0M一 (等价于 )，等价(对称)地还有AMANAC AB一 ，BM BN=BCBA- (等价于) 此外，不难发现，有器一 一 等一 1，等价(对称)地有 一 一会 一 兰簪1；还有，当oI+ 时，ABNM 探究3 最后，结合“以线段NM为直 径的圆C”以及“以线段AB为直径的圆0”， 可以得到如下结论： “以线段NM为直径的圆C上的点”到 “分线段NM成定比A T i的外、内分点A，B” 1 的距离之比为 ，而圆心C到点A，B(可视为 一
10、对反涫点)的距离之比为 0； # ： 嚣 鲥 妻， c 东 l “以线段AB为直径的圆0上的点”到 “分线段AB成定比 的外、内分点N，M”的 距离之比为 ，而圆心0到点N，M(可视 为一对反演点)的距离之比为兴 A 上 总之，根据对称性(定和动的相对性)， 可视A，B为定点，则N，M在一定圆上转 动，也可视N，M为定点，则A，B在一定圆 上转动想一想，如果以某个第三方为参照 点(系)，让A，B，N，M都转动起来呢?想象 一下太阳系(恒星、行星、卫星)的运动 实际上，如果A(或B)不动，N，M在一 个定圆上转动，则B(或A)的轨迹是一条直 线；而“A(或B)”和“B(或A)的轨迹”往往被 称为相应定圆的一组极点和极线 最后。请同学们研究-力入“以线段NM 为直径的圆C”、“以线段AB为直径的圆0” 的根轴(公共弦)与直线AB(即N )的交点 (记为)D后，又有哪些结论? 提示：cD一 ，0D一彗 d，故CO cDcNCM=( )，0c0D OA0B 。，即D，0互为关于以线段NM 为直径的圆c的反演点，D，C互为关于以线 段AB为直径的圆。的反演点如图3， 请同学们继续研究 编者按 关于定比分点、反演点、极点 极线及其本质“调和点列”、“阿波罗尼斯圆” 的更多研究，请参见本刊本版本期中的最后 两篇文章
