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1、2014年第2期 中学数学月刊 27 “类比催生精彩课堂 “向量的概念及表示的教学设计-9反思 陆 丽 (江苏省如东高级中学 226400) 类比是人们探索、发现新事物，获得新知识的 重要方法它在日常生活、生产实践、科学研究等 方面被广泛应用在数学教学中，类比是获得研究 问题及其思想方法并催生新知识的重要手段它 架构起新旧知识的沟通平台，学生在现有认知基 础上，通过观察比较、联想类推、抽象概括、拓展延 伸，构建出新的知识体系基于此，笔者在江苏省 南通市青年教师优课评比中尝试运用“类比”的方 法执教“向量的概念及表示”一课，收到了良好的 效果 1教学实录 11 问题情境 师：古希腊哲学家毕达哥拉
2、斯说“万物皆数”， 也即世界上的万事万物(一切量)都可以用数来表 示用现代的观点来看，你们认为正确吗? 生1：我认为不正确，我们身边的有些量是可 以用数表示的，比如我们的年龄、身高、学号、班级 的人数等但也有很多量是不能用数表示的，比如 位移 师：很棒，我们一起来看一个Flash动画(图 1)：甲地与乙地、丙地的距离均为1O公里，一只鸟 想从甲地飞到乙地，如果它从甲地出发随意地飞 行10公里能否到达乙地? 甲地与乙地、丙地的距离均为10l【m 乙地 丙地 图1 生2：肯定不能，因为它飞行的方向不确定， 还可能飞到丙地，甚至其他地方 师(追问)：小鸟从甲地飞到乙地就有了一个 位移，位移和距离有什
3、么区别呢? 生3：距离只有大小，而位移既有大小又有方 向 师：现实生活中还有哪些量既有大小又有方 向7 生4：力、速度、加速度等 (上接第24页) 生5刚讲完，生6就迫不及待地站起来说： “老师，我就是用根的分布来做的，而且不用改变 原式” 生6：假设3ax +26z+ba一0(当no 时)在(一l，o)内没有零点，则有 (1)当口0时， ，(O)0， f (一1)0， 1一 b一1或一 b0，或1厂(0)0 【0恒成立， 由线性规划知识得到上述情况无一成立，所 以假设不成立 更令我惊讶的方法还在后面呢! 生7：我能不能利用求根公式求出f(x)的两 个根 和z ，证明 和z z中必有一个属于
4、(一1，0)? 师：这是最原生态的方法了(众生大笑)交给 你们自己去解决吧! 下课的铃声如期而至，同学们的脸上洋溢着 兴奋的红光，种种想法还在像泉水一样涌出来 28 中学数学月刊 2014年第2期 师：像这种既有大小又有方向的量我们住物 理中称作矢量，在数学中称作向量生活中有向 量，生活中用向量，今天这一节课我们就一起来学 习向量的概念及表示(板书课题) 设计意图 教师在课堂教学中创设问题情境 旨在激发学生学习热情，激发学生主动学习的内 驱力本节课开始，笔者利用名人名言与学生现有 认知的冲突，结合动画演示，有助于学生认识到研 究向量的必要性；利用数量与向量的类比，不仅有 助于向量概念的生成，也
5、有助于学生厘清向量概 念的大小和方向这两个本质，激发学生探究新知 的欲望 12概念建构 教师通过创设情境引出向量的概念，并与学 生共同探究了向量的表示方法和向量的模 师：既然向量只有大小和方向这两个要素，接 下来我们就抓住这两要素来研究向量如果从向 量的大小角度来考虑，同学们觉得有哪些向量比 较特殊 生5：我觉得有两类向量比较特殊，一类是模 为1的向量，还有一类是模为0的向量 师：很棒!在实数中我们有两个特殊的数：0 和1类似的，我们在向量中也有两类比较特殊的 向量：模为1和0的向量我们把1个单位长度的 向量称为单位向量单位向量的模为1，它的方向 确定吗? 生6：方向肯定不能确定，是任意的 师
6、：请同学们思考：在平面直角坐标系内，起 点在原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么 图形? 生7：它的轨迹是以原点为圆心，半径为1的 圆 师：很好，这位同学观 察非常仔细!在PPT屏幕 (图2)上我们可以看到任 何一方向上都有单位向量， 如果我们将这些向量的模 不断缩小(动画演示)，直至 模为0时，得到一个新的向 ： 图2 量，大家觉得这样的向量怎么命名比较合理? 生8：零向量 师：不错，我们把长度为0的向量称为零向 量，记作0 师(追问)：0与0有什么区别呢? 生9：数0只有大小；而0是个向量，既有大 小又有方向 师(追问)：0的大小是0，而方向又如何呢? 生1O：它的方向是任意的 师：很好
7、!因为它的起点与终点重合，所以方 向是任意的 设计意图 教师在课堂教学时应结合教学内 容，让学生经历知识的发现过程，体验获得知识与 能力的成功与喜悦笔者从特殊实数0和1的研 究类比到特殊向量(零向量、单位向量)的研究，抓 住向量概念中的关键词“大小”，引出单位向量与 零向量这两个特殊向量，利用单位向量变零向量 的动画演示，使学生直观感受零向量的方向是任 意的，真正理解教材中零向量方向规定的合理性 师冈0刚我们是从向量的大小角度来考虑的， 如果仅从向量的方向角度来研究，你觉得还有哪 些特殊关系的向量呢? 生l1：方向相同或相 反比如图3中n与b方向相 反，n与c方向相同七 一 师：很棒!我们把方
8、向 相同或相反的非零向量称为 平行向量 C 图3 师(追问)：这里定义的平行向量全面吗? 生12：还少了0 师：很好!我们规定0与任意向量都平行因 此平行向量这个定义是分两类来说明的，今后我 们谈到向量平行时同学们不能忘记零向量的情 况 教师接下来出示 了一道练习题：如图4， a与b是平行向量吗? a、 b 图4 生13：这两个向量的方向相反，所以它们是 平行向量 师：很好在平行向量里如果再把大小考虑在 内，大家觉得又会有什么更加特殊的平行向量 呢? 生14：模相等的平行向量 师：很棒!我们把长度相等且方向相同的向 量称为相等向量同学们，你能构造一个图形其中 有相等向量吗? 生15：如图5，在
9、平 行四边形ABCD中，AB 一 B 师：在此平行四边形 中，DC可以看作是AB 图5 D 2014年第2期 中学数学月刊 29 平移得到的虽然这两个向量对应的有向线段的 起点不同，一个是A，另一个是D，但平移过程中 它们的大小和方向都未改变，因此这两个向量相 等由此它能说明什么? 生l6：向量与表示 A_：7D 它的有向线段的起点无 7E 关，只与向量的大小和 B 方向有关 、 师：不错我们可以 图6 通过这个办法将向量随 意平移，比如图6中我们可再将上述的AB平移， 得到一个EF，EFAB由此通过这个办法我们 可得到一系列的相等向量 师：在图5的平行四边形ABCD中，AB与CD 是什么关系
10、呢? 生17：这两个向量长度相等方向相反 师：很好我们把与n长度相等，方向相反的 向量叫作n的相反向量，记作一n规定：一00 师：刚才提到向量与 表示它的有向线段的起 点是无关的，即它们是 “自由”的如果一直线z ， 曼 图7 7)，那么我们可以将这三 。 个向量都平移到直线z上因此，“平行向量”我们 又可以称什么? 生18：共线向量 师：很好“平行向量”与“共线向量”是同一 个概念 设计意图 笔者抓住向量概念中的关键词 “方向”，引出向量间的特殊关系：平行向量抓住 向量的“大小”和“方向”，引出了向量间的另两种 特殊关系：相等向量与相反向量通过学生举例找 相等向量的过程，发现向量与表示它的有
11、向线段 的起点没有关系，进而引出共线向量的概念一个 个环节层层深入，营造了浓厚的研究氛围 13 数学运用 问题1 如何用图形表示两向量ABCD与 两直线ABCD? 问题2 在平几中三线段AB，CD，EF有AB CD，CD=EF，则AB=EF类比向量知识，你能 获得什么结论?并指出该结论是否正确 问题3 在平几中三直线a，b，C有ab，b C，则aC类比向量知识，你能获得什么结 论?并指出该结论是否正确 问题4 已知0为 正六边形ABCDEF的中 心，在图8所标出的向量 中：(1)确定与FE相等 的向量；(2)确定与FE 相反的向量；(3)找出与 FE共线的向量；(4)找 出与 长度相等且平 行
12、的向量 A B 图8 C 设计意图 这一环节主要是让学生巩固所 学的向量概念针对平行向量与共线向量的理解 不易到位，笔者创设了一串辨析题，让学生类比联 想平面几何中的“平行”与“共线”，明确向量平行 (共线)与直线平行(共线)的区别与联系，深化了 学生对概念的理解 =二 共线向量 运用 14 课堂小结(略) 2 教学反思 这是一堂概念课表面上看，概念多而杂，但 概念的内涵却是很简单的，学生理解概念的内涵 不成问题，教师教得无味，学生学得无趣，也就很 容易上成一堂平淡的课但再深入一层，这些概念 是怎么得来的?为什么要引入这些概念?它们有 什么作用?仔细挖掘后，我们发现其中蕴含着研 究数学新问题的一般方法：类比方法从数量类比 向量，从特殊实数0和1的研究类比特殊向量(零 向量、单位向量)的研究，从直线平行(共线)类比 向量平行(共线)等这些类比不但催生出新的知 识，更是打开了学生思维和想象的空间笔者以 “关键词”(向量的“大小”和“方向”)为知识主线 (图9)，以“类比”为思想方法主线，通过引导、联 想、启发等数学活动方式，不仅发现新的知识，更 让学生从中学会了研究新的事物的一般性方法， 学生的思维境界得到进一步拓展，探索和创新能 力得到了有效发展 总之，课堂教学是一个永恒的话题，没有最好 只有更好我们只有不断更新教学观念，更新教学 方法，才能营造思维不断、精彩不断的数学课堂
