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1、G 0 l、I G S G S i J l E 包装纸箱中的数学问题 江苏省丰县初级中学高灵敏 某种产品的形状是长方体，它的长、宽、 高分别是16 cm、6 em、3 em请为厂家设 计一种包装纸箱，使每箱能装30件这种产 品，且该纸箱所用材料尽可能少 【分析】(1)先从含2块小长方体的包 装纸箱考虑： 包装纸箱 表面积 外观尺寸 长em 宽cm 高em cm 方案1 16 6 32 456 方案2 16 6x2 3 552 方案3 16x2 6 3 612 从表格中可以看出，方案1的表面积最 小(所用材料最少) 观察图4至图6。可以发现：如果相同小 立方块的数量一定，当其重叠部分面积较 大时
2、，包装纸箱的表面积较小 回 图4 图5 格， 仨召 格，可以得出结论：在 二二 乒=二 包装纸箱外观尺寸 图6 中，当长、宽、高的和较小时，包装纸箱的表 面积较小 尜 乖 尔 乖 乖 乖 乖 乖 尔 尔 乔 乔 尔 乔 不 不 ! 尔 尔 不 尔 乖 不 不 3xl=3(平方米)，左视图面积：2xl=2(平方 米)总面积为：3+2=5(平方米)所需地毯 的面积和固定高度、宽度的楼梯所含的台阶 个数有关吗?综合以上三种方法可知无关 正确答案：共需5120=600(元) 【变式应用】一个七级的楼梯要铺地毯， 地毯每平方米3O元楼梯的水平距离是582， 高是26米，每层阶梯宽2米，求要花多少钱 解：
3、(58+2；6)x2=168(平方米) 168x30=504(元)，即要花504元 【点拨】题目中给的楼梯七级是个干 扰条件，意在考察我们对 于楼梯铺地毯问题的解 决方法是否灵活掌握 【变式应用】楼梯的 侧面视图如图3所示，其 A C 图3 中AB=5米，BC=3米，C=90。，楼梯的宽度 为6米，因某种活动要求铺设红色地毯， 则在 引受楼梯所铺地毯的面积应为多少 平方米? 【分析】要想知道地毯的长度就须知道 楼梯的水平距离和高题目中没有给出水 平距离，求出A C就是解决该问题的关键 解： B=5g6：，BC=3， C=90。， 由勾股定理(八年级将学习)求出A C= 4米， 地毯的面积为(4
4、+3)x6=42(平方米) 【总结】解决此类生活问题，要会用数 学中的平移或三视图思想将地毯的长度 算出来，再计算地毯面积关键点：地毯长 度和楼梯的级数无关仅由楼梯的水平距 离和高度确定 T nteIligent mathematics j|l蟹慧数掌 (2)再考虑含1O块小长方体的包装纸 箱的情形 小长方体分别摆放为1层(方案4到方 案7)、2层(方案8e,j方案9)、5层(方案10到 方案11)、l0层(方案12)当小长方体分 别摆放为1、2、5层时，包装纸箱长与宽越 接近，表面积越小因为166也可以说横 向摆放多于纵向摆放时包装纸箱的表面积 较小(即16乘以较小的数，6乘以较大的数) 包
5、装纸箱的长、宽、高是由小长方体的块数 和摆放方式确定的于是将小长方体的块数 1O因数分解：10=1110=125显然这三个 因数可以分别与16、6、3相乘，作为包装纸 箱的长、宽、高但因为1663，所以在乘因 数时，按照从小到大的顺序来确定当按方 案8和12摆放时，得出的包装纸箱的长宽高的 和最小。故此时包装纸箱的表面积最小(用 料最少)即在包装纸箱外观尺寸中，当长、 宽、高的和较小时。包装纸箱的表面积较小 包装纸箱 表面积 长cm 宽em 高em 外观尺寸 era2 方案4 162 6x5 3xl 2 292 方案5 16x5 6x2 3xl 2 472 方案6 16xl 6x10 3xl
6、2 376 方案7 16x10 6x1 3x1 2 916 方案8 16xl 6x5 3x2 1 512 方案9 16x5 6xl 3x2 1 992 方案1O 16x1 6x2 3x5 1 224 方案11 16x2 6xl 3x5 1 524 方案12 16x1 6x1 3x10 l 512 (3)由以上两种情形得出的经验来解 决30块小长方体块包装的问题 首30=1X1x30=lx2x15=1x3X10=1X 56=235 其次对包装纸箱的长、宽、高求和：(I) 16xl+6xl+3x30=112，()16xl+6x2+3X 15=73，()16xl+6x3+3xlO=64，()16x
7、l+6x5+3x6=64(V)16x2+6x3+3x5=65 因为64最小，所以包装纸箱的长、宽、 高分别为16、18、30时用料最少，只是、 两情况下小长方体的摆放方式不同 【变式应用】(1)市场上有某种型号 的肥皂，可看作是长、宽、高分别是16 cm、6 cm、 3 cm的长方体，请你为肥皂设计一个包装 盒继续思考：如果有3O块这样的肥皂， 请你设计一种包装纸箱，要求该纸箱所用 的材料尽可能少 (2)有10盒长12 cm、宽8 cm、高3 cm的 长方体录音磁带，要将他们包装在一起， 要多大的包装纸?怎么样包装最节省包装 纸?(包装纸的重叠部分不计) 【分析】(1)长方体的三视图都是长 方
8、形，只需计算出每个视图的面积再乘以2 即可，这与长方体的表面积公式是吻合的， 在不计接口和损耗的理想状态下包装纸 的面积应为：(16x6+16x3+6x3)x2=324(cm ) 利用上题的结论可知包装纸箱同一 顶点三条棱分别为16 cm、18 cm、30 cm时 表面积最小，此时表面积为(16xl8+16x30+ 18x30)x2=2 616(cm )，只是肥皂的摆放方 式有两种：其一让纸箱16x18作底，横向排 3块再向上摆10层；其二让纸箱16x30作 底，横向排5块再向上摆6层 (2)10=lxlxlO=lx2x5 包装后的长方 体的同一顶点三条棱分别为12 cm、8 cm、3x 10 cm或同一顶点三条棱分别为12 cm、8x 2 cm、3x5 cm时表面积较小，又。12+8+310= 50，12+8x2+3x5=43，而5O43，故横向排2个， 再向上摆5层时包装最节省包装纸此时用 纸为(12xl6+12xl5+16x15)x2=l 224(em ) 【总结】此类生活问题的解决需理论联 系实际。运用发现规律、应用规律、以简_代繁 的思想方法同时考查了分类思想以及思 维的缜密性 数学与生活的联系可以用密不可分来 形容，“源于生活，服务于生活”才是数学学 习的最终目的和最高境界! T ntelligent mathematics 1慧数掌
