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1、超级画板在数学课堂 教学的应用案例探究 福建师范大学附属中学 黄喜滨江泽刘文清 田堂是教学活动的主战场，素质教育的主阵地因此，数学教 学应以优化课堂教学为切入点，全面提高课堂效率，而提 高效率的关键是教师采用怎样的教学方法针对这一问题，有众 多学者从多个方面进行研究：包括课前准备，课堂节奏，课堂艺 术以及教学技巧等等合理利用信息技术也能有效地辅助课堂 教学本文将针对超级画板在高中数学问题解决过程中的案 例进行探究 众所周知，教育信息化是教育现代化的重要内容，是实现教 育现代化的重要环节作为教师，我们要认识到，信息技术的教 学绝不仅仅是信息技术课的专利，更多的是利用它声像结合的 方式，改变传统的
2、教学模式一直以来，软件以它强大的功能被 广大使用者赞赏，而超级画板是为中国基础数学教育量身定 做的软件，和“几何画板”相比，不仅功能齐全而且使用简单超 级画板一方面吸取并强化了“几何画板”的主要优点(如动态作 图，参数驱动动画，动态测量，跟踪和轨迹等)；另一方面对“几 何画板”不足之处做了改进：如超级画板的智能画笔使得构图 更加方便，它的函数作图功能更加智能化，运动跟踪方式也更加 多样化，并且实现了符号运算程序编写，具有独创的智能推理功 能等 一、数学定理的案例探究 新课程把“以学生发展为本”作为基本理念，因此，教师鼓励 学生积极参与课堂教学的每个环节，主动经历数学定理的发现 与证明过程，体会
3、蕴涵在其中的思想方法，是新课程所倡导的学 习方式 例1(人民教育出版社A版高中数学必修4第二章平面向 量)平面向量基本定理。 如果e 、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一 平面内的任意向量a，有且只有一对实数 、 ：，使a= 。e + 2e 向量是近代数学中重要和基本的数学概念，是沟通代数、几 何与三角函数的一种工具，它有着极其丰富的实际背景，又有着 广泛的实际应用，具有很高的教育价值平面向量基本定理揭示 了平面向量的基本关系和基本结构，是进行向量运算的基本工 具，是进一步学习平面向量坐标表示的重要基础，因此，教师如 何带领学生发现以及证明本定理显得非常重要 对于教师而言，分析本定
4、理时最困难的地方是定理中涉及 的基底e 、e2和向量a的任意性，教师很难在黑板上快速而又清楚 地呈现给学生，但是如果借助超级画板，这些问题便迎刃而解： 当基底e。、e：夹角为锐角时，如图(1)，对于向量o-?，过点P分别作 状态的认真分析，可以对学生有一个初步的了解。对于容易出现 问题的学困生，用真情去教育这些学生。 (2)制订班规，培养良好的行为习惯，引导学生自觉加强严 格的行为训练，同时老师一方面严格要求，另一方面加强督促， 引导学生有意识地反复练习，并行成为自觉行为。 (二)引导老师多和学生加强沟通，及时发现学生学习上存 在的问题，及时加以得体引导，同时，针对学生不同的变化采取 适合孩子
5、的不同措施，做到因人施教。 高中教师着重向学生介绍各科目的学习方法，让高新生 明确各科学习的具体要求的同时，更应激发学生对新生活的热 情，引导高一学生逐渐熟悉高中的规范要求，尽快适应高中的学 习生活，养成踏实的学习作风和良好的学习习惯。 (三)引导初高中教师“走进对方”，互相昕课。 高中教师深入初中，让“衔接”工作中心中有数，胸有成竹。 初中教师走进高中教师的课堂，思考高中学生的学习习惯，在如 何培养初中学生独立思考上下功夫，为初中学生打好坚实的基 础。初、高中教师之间协调、合作，以“协同发展”的教育理念为 指导思想，加强交流与联系。 (四)既要重视和研究对教材内容衔接，更要强化对教法、学 法
6、的研究。 教法与学法衔接与否，得当与否，恰恰是能否有效地防止非 正常分化的关键，夯实教师理论基础，扎实提高教师的基本能力 是大面积提高教学质量的关键。 (责任编辑：林文瑞) 丸z 平行于e，、e2的直线，分别与e 所在直线交于P ，与e，所在直线交于 P ，接着通过超级画板的测量工具，马上可以知道o-g=125e + 147e。，从而让学生迅速发现定理中涉及到的系数 ，、入 ，这是在 黑板上无法达到的效果 当基底e，、c2夹角为钝角时，如图(2)，如果是在黑板上演示， 则必须重新作图，可是在超级画板上，只需鼠标拖动基底e，即 可，马J二得到 分解后对应的 。和 ，在短暂的时间内轻松解决 问题，
7、同时让学生在直观上对本定理有了更深刻的认识 接着我们考虑图(3)的情形，即向量oq分解后对应的系数 和 中有负数的情形，为了达到这个效果，我们可以拖动基底， 也可拖动点P，下面截取拖动点P时的画面：此时o-g=一1ole，+ 131e：，学生清楚看到系数的符号后，稍加总结，便对本定理有了 直观上的证明教师再对此情况下的分解方法稍加指导，便能快 速而又高效的讲解了这一定理 最后我们考虑基底el、e，垂直的情况，如图(4)由于el、e2垂 直，我们把它放在直角坐标系中研究对于x轴正方向上的单位 向量i和v轴正方向上的单位向量j，显然它们不共线，由平面向量 基本定理知：平面上的任意向量o-F，都有o
8、-g： i+v i(实数对 (x，v)唯一)，从而自然地定义向量oq的坐标为(x，v1这样，一方 面完善了对定理的分析，加深了对定理的认识，另一方面为下一 节课的平面向量正交分解做好准备 图(1) 碲 1+磷i 一iOle L31 图(3) 图(2) P o 一 | 一P| oP I l+ ； 2一1 74 Bi+： 64 e 图(4) 二、数学应用问题的案例探究 新课程理念指出，数学学习是让学生亲身经历实际问题抽 象成数学模型并进行解释与应用的过程作为教师，更应当注重 学以致用，培养和发展学生的数学应用意识 例2：在人教A版必修2的第三章直线与方程的331中有 如下探究 当 变化时，方程3x
9、+4y-2+h(2x+v+21-0表示什么图形?图形 有何特点? 这个探究很抽象，因为学生不容易想象过定点的直线束究 竟具体是什么模型笔者做过如下实验：在A班用超级画板辅助 教学，B班直接板书讲解实验发现：在B班上课时，由于教学手 段的限制，教师只能面对黑板和学生一起想象一起作图，当然， 只能画出有限条直线，而且无法营造动态效果再观察学生，已 是满脸困惑：首先对于无数条直线有一个公共交点表示无法想 象，更对于它们是用同一个方程来表示感到不可思议!毕竟之前 学生接触的都是有限条直线的相交其次对于该直线束不过直 线2x+v+2=O更是难以理解，(尽管已经用代数方法给予证明)而 在课后通过对学生抽样
10、调查及作业反馈情况，也体现出了学生 对这一知识点普遍掌握不到位而A班的同学在超级画板的辅助 下，先观察如下动画(图1)：从图1中明显看到很多条直线都过 了一个定点，而这个定点只要在该探究的上面一个例题讲解中 稍加强调即可确认为(一2，2)再拖动变量尺让学生观察整个图 象(图2)：容易发现该图象在中间这条直线(2x+Y+2：0)的附近 是空白，这正是困为该直线束不经过这条直线通过当场修改参 数的值进一步观察，再结合代数上的讲解，很轻松就可以让学生 攻克难关，快速理解并且消化整个上课过程中气氛活跃，学生 兴趣极高，并且踊跃提问，积极参与课堂从两个班的上课情况 及课后学生的反馈情况，明显看出采用信息
11、技术后，把学生从 “被动学”转变成了“主动学”，从而优化了课堂教学，提高了课 堂效率 (图1) (图2) 三、数学概念建构的案例探究 数学概念的建构过程是数学教学中非常重要的一个环节 数学概念相对比较抽象，难以把握因此，教师在教学过程中应 提供数学概念形成的有效情境，先引导学生主动探索，经历观 察、感知、体验、操作等步骤产生对概念的感性认识，然后再启发 引导学生理性思考，概括出数学概念的本质特征，从而形成 概念 例3：人教A版必修4的第一章三角函数的141中涉及到 这样一个问题，通过平移正弦线得到正弦函数图象笔者在A班 教学时采用传统教学，结果发现：这个过程涉及的点线多，作图 过程复杂，在课堂
12、上浪费了大量时间；而且最终呈现给学生的成 品图也不足很美观，影响学生对知识点的理解而在B班笔者制 作并应用了如下课件： (描点图) ， 、 詈 孚 一， - ， 一 l (连线图) 授课时，教师只需要点击鼠标进行绘画，集中精力在概念的 生成过程上，不仅节约了大量时间，而且呈现出的图形更精确、 美观，让学生体会到数学的美与数学的巧妙之处，既提高了学生 的学习兴趣，也提高了课堂的教学效率 四、数学知识拓展的案例探究 在新课程理念下，教师要精选例题，从例题的难度、结构特 征、思维方法等各个角度进行全面剖析，对于课本的典型例题不 能就题论题，而应适时、适度地进行拓展和改造，从而建立联系， 整合知识，提
13、炼思想方法，有利于学生开阔视野，学会借鉴，学会 欣赏，从而更好地激活学生的发散思维 在人教A版选修21的第二章圆锥曲线与方程的221中 有如下例题：设点A，B的坐标分别为(一5，O)，(5，0)直线AM， BM相交于点M，且它们的斜率之积是一 ，求点M的轨迹方程 在本例的求解中，只需要直接根据题目要求列式子化简即 可得到一吾 盂 l(x5) 容易发现，点M在x型椭圆上而在本章的231中有如下探 究：设点A，B的坐标分别为(一5，O)，(5，0)直线AM，BM相交于 点M，且它们的斜率之积是 ，求点M的轨迹方程，并由点M的 轨迹方程判断轨迹的形状类似的，我们通过直接法求得其轨迹 _芏三一I 方程
14、为一鲁+ =l(x5)，从而得到点M在x型双曲线上 对于这两道题目，课本要求对它们进行比较，容易发现，前 者斜率之积为负数，后者为正数，但是仅仅告诉学生这点还是不 完整的，实际上，可以借助超级画板进行如下拓展：动点M到 两定点A(一a，0)，B(a，0)连线的斜率的乘积为k(kR)，试探究 点M的轨迹 根据直接法，我们得到如下方程：kx2+y2=ka2(xa)，直接 在超级画板的圆锥曲线方程中输入该方程，先固定a(不妨令 a=1)，对k做动画，则学生容易看到有不同的轨迹出现(下面截 取动画中5q时刻的状态)： k _2出 【 一 。 I一 ， k 2 l j | k=- l 一， 2 一l O
15、 l 2 通过当场操作，演示动画，不仅让学生直观感觉数学的神奇 美妙，而且对于很难想象的状态间的过渡时刻，学生也能清楚捕 捉在学生观察这些状态后，教师带领学生进行理论分析 对于kx2+y2=ka2(xa)，下面分类讨论： 当k=0时，代入式得y=O(x：a)，点M在直线上； 当k0时，代入式得a0，所以ka20。两边同除以， 得 一乓=1(xa)， a ka (1)当k0时，点在x型双曲线上。 通过这样多角度、多层次的探究活动，学生在类比中学习， 对椭圆，双曲线，圆，直线的区别和联系更加熟悉在拓展的过程 中，学生们看到了不同知识点间的相关性(有利于形成知识链)； 在一题多用，一题多变的拓展中，
16、学生们看到了特殊与一般的转 化；在拓展的过程中，学生的思维得到锻炼，达到解一题、通一 类、提高一步的目的，并从中体验到数学发现给人带来的愉悦感 和成就感，对学生创新意识和能力的发展具有很大的促进作用 由此可见，超级画板能变静态为动态，化抽象为具体，集 趣味性，技巧性和知识性于一体，给学生留下深刻印象的同时， 帮助学生更有实感的去学习，有力培养了学生学习数学的兴趣， 有效提高了学生的学习效率数学教师在教学中将超级画板 与数学教学有机结合，可以使数学变得更加形象化、生动化，更 有利于充分揭示数学概念的形成与发展、数学思维的过程和实 质，使数学教学收到事半功倍的效果当然，超级画板也是一 把双刃剑，盲目使用，往往会酿成本末倒置、事倍功半的恶果如 何恰当
