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1、从知识的传承到智慧的启迪高三数学高效复习的破冰之旅 【摘要】本文结合多年的高三教学经验，试从学生和教师两个维度来解答高三数学高效复习之困惑。文章论述了如何以学生实际为主体，拓展学生的思维角度、提升学生的思维高度和加快学生的思维进度，从而达到课堂教与学的高度和谐；以及如何以教师为主导，去控制教学的思维梯度和思维强度，来实现课堂教学的高效低耗。由此达到由单一的知识传承到合理的智慧启迪的教学转变，并以期实现外在功利价值到内在生命价值的飞跃。【关键词】思维角度 思维高度 思维进度 思维梯度 思维强度高中数学课程教学已愈趋开放，由传授知识的单一性作用转向教学功效的多元化作用。我认为数学教学既是数学知识的
2、教学，更是数学思维方式的教学，在教会学生数学知识的同时，更要教会学生这知识是如何发生、获取和应用的。在面对高三复习教学中，如果只注重知识的单一传承，那给学生带来的将是不断受挫、自信全无的灾难性后果。为了让更多的学生认识数学本质并完成知识建构，逐步理解数学思想方法，建立科学的思维方式，养成对事物进行理性思考的习惯，从根本上提高学习能力，就需要教师一方面从学生实际出发，营造出一个高度和谐的课堂；另一方面精心整合教学素材，打造高效低耗的课堂教学。这样，在化解学生与教材的矛盾的同时，也提升了思维的“五度” ，必将开启一段启迪智慧之旅！1 发现学生实际问题，达到课堂教学的高度和谐在高三数学教学过程中，受
3、时间、进度、精力所限，许多老师只顾自己，不理学生；只讲方法，不管原因；只讲结论，不谈过程。导致许多学生对高三数学学习有一种恐惧心理和畏难情绪。为了营造出一个高度和谐的课堂，必须从学生实际出发，去实实在在地了解学生知道些什么、知道得是否全面、还有哪些方式方法是模糊不清的！所以，在数学教学中，我们要尽可能关注学生的成果，通过心灵沟通去打动和影响学生；尽量全面揭示数学问题的实质，将枯燥的数学学习变得生动有趣；努力创设学生熟悉、擅长的情境，重视知识产生和发展的过程，让数学不再神秘莫测，而是可亲可近的。更多地关注数学思想对学生的熏陶以及学生素养的提高，只有掌握了数学思想方法和精神实质，才能演绎出千变万化
4、的生动结论，显示出其无穷无尽的魅力。只有这样，学生才能“亲其师，信其道，笃其行” 。 1.1 关注学生成果，提倡一题多解，拓展学生的思维角度布鲁姆说过：“人们无法预料教学所产生的成果的全部范围。没有预料不到的成果，教学也就不成为一种艺术了。 ”课堂教学不应是一个封闭的系统，也不应当拘泥于预先设定的固定不变的程式。教学应该是一个动态的过程，是随机生成的过程。课堂教学之所以成为教学艺术，是因为课堂实施中的不可预知性,所以当我们面对无法预设的课堂生成时，要树立正确的课堂教学观，灵活应对，将课堂上的生成性资源发挥到极致！案例 1 由学生提供:数列 所想到的)1(12nnan 2在放缩法习题课中，我预设
5、了 ，但在上课时，n)(2 )(有的学生给出了这种超出预期的方法：生： 。1)1(12 nnnan )2(师：表面上虽然也是将分母缩小（ ） ，但结果却是将一部分放大、一部2分缩小（ ） ，最终还是放大了一点点（ ） 。11n )1(2n对于这样意外的思维角度，我们不止要肯定，还要联系、挖掘和发扬。师：请同学们思考：1.已知 ，证明： ；2.已知 ，证明： 。134na617nSnna)1(32nS在师生的共同努力下得到了如下放缩：1. 。nnn352. 111 )()(3nnna 13n)(为 奇 数评析由于对学生解法的重视，特别是经过打磨后，呈现出了一种光彩夺目的解法，让学生感受到了的艺术
6、魅力，拉近了与数学的距离。同时，上述三个问题形异质同，通过分析，都可以转化到这样的思维角度上加以解决，这种一法多题的变式训练有助于学生掌握这种方法的特点，拓展学生在解决放缩问题上的思维角度。这样，学生处理放缩问题的数学观念得到强化和有效构建，为培养学生的探索性思维奠定了较好的基础。在复习课中，我们要努力做到精心选好例题与训练题；在教学中时刻提醒自己宜细不宜粗，批改作业和批阅试卷细而实，努力从学生的作业和试卷中发现他们存在的问题和更好的解题策略，以便查找错误的根源和分享成功的喜悦；因此，我们在创造美的同时更要有发现美的眼光。这样，数学老师也能成为学生心目中的艺术家！1.2 理解问题实质，更新解题
7、方法，提升学生的思维高度往往学生在解决数学问题时，显得比较迟钝或无助，很大一个原因是方法理解的不够到位，导致不能灵活运用！其实，认知是一个走弯路的过程，要尊重学生的认知心理过程，要讲究民主，注意倾听，让学生把话说完，不要扑灭学生思维的火花。同时注意艺术性地引导启发，适时介入学生的探究活动，调整学生的思维方向，让学生不断更新对知识的理解程度，切实提高思维能力，提升学生的思维高度。案例 2 对线性规划中区域选择的再认识许多同学在选择 所表示区域时，所采用的方法是将特殊点 代入验01yx )0,(证。但遇到选择 所表示区域时，则无能为力，因为特殊点法失效了！此时，m我们应回到最初的问题，去尝试理解该
8、问题的实质师：找“ ”所表示的区域，除了用定量的特殊点进行二选一之外，还01yx有别的办法吗？生：（思考许久，没有办法）师：（指着图像追问） “ ”所表示的区域为直线的左上方，与 轴越01yx x往右 越大（越往左 越小）有什么关系吗？xx生 1：“ ”中， “ ”是“ ”的，而 轴向左，才越来越小，所以应01y x向直线左侧。生 2：“ ”中， “ ”是“ ”的，而 轴向下，才越来越小，所以应xyy向直线下侧。怎么不符合左上方这种说法呢？生：（思考片刻后，开始争相发表看法）那是因为“ ”前还有个负号，应将“”移过去，看成“ ”就向上方了。yy师：恭喜大家能这样定性的看待问题了，不过是否所有同
9、学都明白其实质了呢？哪位同学能再具体分析一下？生 1：假设 在该直线上，则 成立。当 时，),(0yxP010yx01x是成立的，所以作为 左侧的 肯定在该区域内。0yx P),(Q师：揭示的很好，把抽象的直觉，变成具体的分析！评析通过对约束条件实质的理解，更新了对区域选择的方法，把握了该知识的实质，对相应问题的解决提供了更为有效的手段。我们常说，学一门手艺，很重要，但换一种思维更重要。面对全新变化的世界，要有勇气、决心打破关注自己的这扇门。及时反思和提升自己的手艺，这样才能看到更多外面美丽的风景！在夯实学生基础的同时，又不断刷新思维高度。这样，数学老师也能成为学生心目中的建筑学家！1.3 重
10、视方法起源，开展投石问路，加快学生的思维进度数学作为人类认识世界、改造世界的重要工具，它的基础知识和基本技能是重要的，从数学的发展历程中，我们认识到， “双基”包括：问题是怎样提出的，概念是怎样形成的，结论是怎样探索和猜测到的，以及证明的思路和计算的想法是怎样形成的。这样，学生在老师的引导下，以学习主人的心态了解、参与数学知识的发生过程、思维的展开过程，改变被动学习、机械训练的状况，发挥学生的主体性，以此来加快学生思维完善的进度。案例 3 判别式法的生成判别式法在解决求范围问题中起着至关重要的作用，但对于学生而言，最不解的是为什么可以这样用“ ”；最遗憾的是自己怎么想不到；最佩服的是老师怎么运
11、用的这么熟练。因此，为了加快学生对判别式法从无到有、从了解到运用的思维进度，我们不能一讲到底，一定要还原判别式法形成的过程，引导学生探究；求 的值域13)(2xf师：（第一次面对这样的问题，大多数同学束手无策）便将它改为一道选择题再思考。A. B. C. D. 2,6),26,(2,4),24,(生 1：令 ，方程 无解，说明值域中没有 ，所以选 B432x0742x 4师：很好，通过特殊值的试探，得到了答案。请同学们回到填空题的时候，再思考！生 2：令 ，方程 有解，即 ，得 B。tx132 032ttx 0)3(42tt师：通过特殊值的投石问路，得到了一般情况的处理方式。请同学们为这种了不
12、起方法起个名字，以便以后交流。生 3：因为这个方法中最关键的地方是 ，就叫判别式法吧！评析学生无法下手解决的问题，大多数是因为读不懂题目，不明白题目所表达的意图，那么，试探法无疑是拨开云雾，理清思路的最有效办法。通过寻找判别式法的发源地，使学生身临其境地体验它的诞生和应用，为今后的灵活运用打下了坚实的基础。数学教学应让学生在获得知识的过程中，逐步形成科学的思维方式，培养学生认真求实，追求效率的学习态度和习惯。这种（判别式法）来源于实践（求值域的问题） ，又服务于实践（求其它类似值域的问题）的辩证唯物主义观点在课堂中很自然的得以体现，我们数学老师也能成为学生心目中的哲学家！2 发挥教师主导地位
13、，实现课堂教学的高效低耗评价一节课的好坏，不仅仅是看教学方法、教学形式和教学手段的好坏，更主要的是看课堂的思维容量的大小，学生思维密度和强度如何。也就是要对课堂教学怎样精心设计和科学安排。对于较难的问题，在教学时有意识地将其分解，通过解题训练培养学生的自信心，体验学习成功的快乐，然后再慢慢引申，循序渐进地引导学生寻找条件和结论之间的联系，展示知识发生、发展的过程。我坚信，只要这样坚持下去，学生明白知识的来龙去脉，就会记得牢，用得准，就能实现由懂到会，由会到掌握，由掌握到灵活运用的飞跃。2.1 把握教学主线，倡导变式训练，控制教学的思维梯度数学课堂教学的本质是思维活动的教学，一节课的思维密度的控
14、制，直接影响学生的接受程度。在知识编排和问题设计中，应当抓住主体，适度拓展，通过变式教学渗透知识的相互联系，从而形成完整的知识体系。案例 4 线面角范围的教学设计（1）过平面内一个角AOB 从的顶点 O 的斜线 OC,与 OB、OC 所成角都为 ，则OC 在平面 AOB 的射影为AOB 的平分线 。/C（2） 。 与 成正比， 的最小值为/cos2scoCAOB/2AOB（3）已知异面直线 成 60角，过空间中任意一点 A作直线 ，使之与 都成nm, lnm,60，这样的直线有几条？（4）已知异面直线 成 角，过空间中任意一点 作平面 ，使之与 都成, ,，则满足条件的平面 有几个？03评析问
15、题不断变化，由浅入深，但解决问题的本质没变，这就强化了对这一问题的认识。如果直接给出问题 4，其思维能力要求较高，思维的密度也必然加大！通过这类问题的解答，树立的是学生的信心，增强的是学生的勇气，获得的是成功的喜悦！2.2 优化教学手段，串联相近知识，提升教学的思维强度波利亚认为：“数学有两个侧面，它是欧几里得式的严谨科学，但也是别的什么东西。有欧几里得方法提出来的数学看来像是一门系统的演绎科学，但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学。 ”编织知识网络，寻找所学内容主线，在主线的引导下，以全新的逻辑链和学生的思维链将原来知识重新梳理与整合，挖掘知识的内在联系。在教学中要做到，串点为
16、线，聚线为面，面中显点，以点带面。案例 5 函数周期性和对称性的串联在通过特殊值发现、一般性证明后知道了：; ；)()axffT)()(axffT2对称轴 ； 对称中心2)(xf )0,2(a师：还要请同学们对比、总结、归纳来串联函数周期性和对称性：生 1：若括号内和为常数 考虑周期性；括号内差为常数 考虑对称性a生 2：在周期性中若值相等，则常数 为周期；若值相反，则常数的两倍 为周期。生 3：在对称性中若值相等，则常数 的一半为对称轴 ；若值相反，则常数2ax的一半为对称中心 。a)0,2(a师：不错，在对称性中，令 ，会得到什么？生 4：就是以前学过对称性中的关于 轴对称，和关于原点对称，是函数的奇偶性。y师：很好，我们再将这些以逻辑链的形式呈现
