高中数学论文：例谈“问题变式”在数学复习课中的作用

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1、1无变不生奇 无奇不引人例谈“问题变式”在数学复习课中的作用【摘 要】数学的魅力在于“变”， 设计问题变式， 让课堂在“变”中出彩，使复习课更有效。【关键词】问题变式； 复习课； 有效复习课以往一贯的做法：复习基本知识与方法，例题精讲，练习巩固。这样做的目的是使学生认知结构得到完善，思维能力得到发展。但数学的复习教学是一个很杂乱的过程，弄不好会有“既费了时间，又不着力”的感觉。如何使复习课更生动，更有效，让数学复习课“活”起来？这就要求数学课堂的设计要做到化繁为简，化散为整。本文仅从“问题变式”的应用入手，谈“问题变式”在数学复习课中的作用。1 在“变式”中理解数学概念复习课的主旨是知识的再现

2、，其目的是唤起学生的记忆，为本节课的进一步深入提供必要的基础支撑。在这个过程中，对一些学生容易混淆的数学概念，可适当地利用问题变式，加深学生对数学概念的认识和理解，提高学生辨别是非的能力，使课堂在学生积极的思维活动中充满活力。案例 1 在复习“空间中的平行关系”时，笔者首先引导学生回忆了空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行关系，接着给出下面的问题变式：问题 1 设 、 、 为三条不重合的直线， 、 、 为三个不重合平面，现给出abc六个命题： ； ； ；/,ba/,/,c ； ； 。其中正确的命题是（ /,/,caa/,）A B C D变式 已知平面 、 和直线 ，给出 5 个条件：

3、m ； ； ； ； 。要使 ，应选择下面四个/mm/选项中的（ ）A B C D空间中的平行关系特别是直线与平面的平行关系，学生特别容易判断错误，通过这样针对性的变式练习，帮助学生加深理解“空间中的平行关系” ，避免学生在理解上可能出现的错误，使复习收到较好的效果。2 在“变式”中掌握数学方法数学不是技艺型的学科，而应是属于思考型的学科，所以在数学教学过程中应注重通性通法。让学生熟练地掌握解题方法、提高解题能力是数学复习的重要目标之一。因此，数学复习课堂上应该更多地注重“一题多变” “一题多用” “多题归一” ，更多地注重抓题目高中数学论文2“核心” ， “提炼”解题的思想方法，并特别重视对题

4、目解后的回顾与反思：能否用别的方法导出这个结果？能否把这个结果或方法用于其他的问题？案例 2 在复习“导数及其运用”时，笔者为了帮助学生更好地掌握导数与函数单调性的关系，设计了下面的问题及其变式：问题 2 已知函数 在区间 内是减函数，求)(1)(23Raxxf 31,2实数 a 的取值范围。变式 1 已知函数 在区间 上递减，在区间)(23f ,上递增，求实数 a 的取值范围。,4变式 2 已知函数 在区间 内存在单调递减区间，求1)(23xxf 31,2实数 a 的取值范围。变式 3 已知函数 在区间 内不单调，求实数 a 的取)(23af ,值范围。在问题 2 中， “函数 在区间 内是

5、减函数” 等价于“不等式)(xf31,对 恒成立” 。虽然本题的求解思路不止一种，但013)( axf ,2转化为不等式恒成立问题显然过程更简洁，更易于理解。变式 1 比问题 2 多了一个单调区间，可转化为两个不等式恒成立问题：当 时，不等式3,x恒成立，且当 时，不等式0123)( axxf ,41恒成立。变式 2 好像是存在性问题，看似思维突变，实则仍是 恒成立问题，不妨从反面入手，假设 在区间 内不存在递减区间，而)(xf3,又不存在常数函数区间，所以 在区间 内递增，由此可转化为不等式)(xf f1,恒成立问题。变式 3 依然可从反面入手，假设 在区间 内单调，可转化为两)(xf3,2

6、个不等式恒成立问题。以上所探讨的“函数在给定区间上单调”问题，通过问题变式，由易到难，很好地完成了引导学生夯实基础，总结解题方法，提高解题能力的任务。3 在“变式”中体会数学思想数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过教师对典型例题的分析和学生的自主探索3ED CAD CAB B活动，使学生逐步掌握数学概念、结论形成的过程，体会其中蕴含的思想方法。在数学复习教学中，合理地运用问题变式，让学生通过探究问题变式，体会数学思想方法的价值和妙用，提高数学复习的有效性。案例 3 在复习“立体几何”时，笔者为了帮助学生能多角度观察空间几何问题，认识图形中的数量关系，拓展学生探究问题的方式和角度，设计了下面的

7、问题及其变式：问题 3 如图，在 中，ABC =60,BAC=90，AD 是 BC 上的高，沿 AD 把ACABD 折起，使 BDC90。（）证明：平面 ADB平面 BDC；（）设 E 为 BC 的中点，求与 夹角的余弦值。ADB变式 1 将条件中的BDC=90改为BDC=120，如何处理？变式 2 改 E 为线段 BC 的一动点，试求 与 夹角的余弦值的取值范围。AE变式3 若AB=1，点F在线段AC上， （其余不变） ，求DEF周长的最小值。变式4 试问在平面ABC上是否存在一点P，使得该点到棱锥A-BCD的四个顶点的距离均相等？若存在，请求出AP，若不存在，请说明理由，并判断在棱锥体内部

8、这样的点存在吗？问题3是一道比较简单的中档题，只要建立空间直角坐标系，所有问题都可迎刃而解，变式1主要考查学生在没有现成的三线两两垂直的情况下，如何建立空间直角坐标系？变式2主要考查学生如何选择参变量写出点的坐标，并构造函数模型求函数的值域？变式3主要考查学生怎样利用空间图形的几何性质探究最值问题？变式4的设计意图是借助固有的研究思路，将平面的“等距问题”拓展到空间。通过以上的问题变式，学生领悟了高中数学中四种主要的数学思想方法函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论等在数学解题中的妙用，能理解、体会并能自觉将数学思想应用于数学问题的分析和解决的过程中，提高了复习的效果。4 在“变式”中总结

9、解题规律数学问题的解决是有规律的，这些规律由教师讲解还是由学生自己发现，教学效果是大不相同的。笔者认为，引导学生用自己的语言理解、概括、提炼知识所取得的成效，远大于教师“系统归纳”知识所取得的成效。借助“问题变式” ，让学生在解题中发现规律、总结规律并利用规律解决问题。案例 4 复习“数列求和”时，笔者提出下面的问题：问题 4 求数列 的前 n 项和： 。)1(n )1(321n变式 1 求和： 。)(423变式 2 已知数列 是等差数列， ，且公差为 d，求和：na0na。1321naa4变式 3 是否存在常数 a，b 使等式： 对一切正整1)(321 nba数 n 恒成立？变式 4 若不等

10、式 恒成立，求实数 a 的取值范围。an)1(321变式 5 若数列 对一切正整数 n 都满足： ，na 11321 nn则数列 是否一定是等差数列？若正确，给予证明，若不正确，请举出反例。na问题 4 到变式 2 体现了数学中的由特殊到一般的思想，变式 2 到变式 4 把求和问题拓展为恒成立问题，体现了数学思维可以向多个方面发散的思想，变式 4 到变式 5 是问题的逆向思维。通过以上问题变式的思考与练习，使学生在思考、比较、归纳的过程中，自主发现数列求和的规律和本质。得出：上述数列的特点是分子为常数 1，分母均为同一个等差数列的连续两项之积，而且除首末两项，其余各项都在分母中连续出现两次，像

11、这种数列求和就用“裂项相消法” 。变式教学有利于学生发现解题规律并掌握规律。课堂上在解完题后，老师必须与学生一起回顾解题的全过程，让学生看到只要学会思考，再复杂的题，都可以转化为简单的问题或已经解决的问题，都能寻找到解题方法背后的规律及蕴涵其中的问题本源。5 在“变式”中拓展数学思维数学解题活动中蕴涵着丰富的逻辑思维、形象思维和直觉思维，它们的综合作用与辨证发展能产生创新思维。而这三种思维能否形成并产生综合作用、能否辨证发展，则取决于数学例题、练习题的设计。鉴于此，数学复习课上重要的是对同一问题进行多角度地思维理解和剖析，或者同一思维方法，用不同的背景问题呈现，化散为整。所以，数学复习课依然要

12、为“思维”而教。适当地运用“问题变式” ，让学生从不同的层次和维度上开掘，能充分调动学生上课的积极性，从而更好地拓展学生的思维。案例 5 复习“向量”时，笔者提出下面的问题：问题 5 点 O 是ABC 所在平面内一点， ，则点 O 是 的（ CBOAABC）A重心 B内心 C外心 D垂心变式 1 点 O 是ABC 所在平面内一点，若 ，则点 O是 的（ ）BCA重心 B内心 C外心 D垂心变式 2 点 O 是ABC 所在平面内一点， ，则点 O 是 的（ 0OBAABC）A重心 B内心 C外心 D垂心变式 3 点 O 是ABC 所在平面内一点，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若，则

13、点 O 是 的（ ）0CcbaA重心 B内心 C外心 D垂心5变式 4 点 O 是ABC 所在平面内一点， ，求ABC 与AOC032OCBA的面积之比。变式 5 点 O 是ABC 所在平面内一点， ，其中 m，n，r 是rnm正数，求BOC 与AOC 的面积之比。向量集数形于一身，是沟通代数与几何的天然桥梁。问题 5 及其变式很好地体现了这一点。从培养思维能力的成效上看，对一个问题从不同层次和维度上开掘 100 次，比对100 个问题各只浅挖 1 次的效果要好的多。复习课上灵活地运用问题变式，通过改变题目的条件或结论，能有效地突破思维定势，使学生的思维更具有灵活性、严谨性和创造性。正所谓：“

14、无变 不 生 奇 ， 无 奇 不 引 人 ”。 在数学复习课中应用变式教学能不断提高学生解决问题的能力和应变能力，是一种行之有效的教学方法。在教师不断的反思过程中，变式的思想就会自然地走进课堂教学中，学生的思维、洞察力就能有效地提升，课堂教学自然也会变大、变活、变深。更为重要的是，学生从解题中获得了愉快的体验，真正做到了快乐地学习。【参考文献】1陈柏良数学课堂教学中的三个“远大于” J中学数学教学参考,2011(12)：22-24.2陈曦数学复习课：在“问题变式”中演绎精彩J中学数学教学参考,2012(10)：13-16.3吕水庚找寻示范课与常态课的“平衡点”J中学数学教学参考,2011(10):22-25.4谢伟，王丹高三数学复习课的例题设计策略J中学数学研究,2012(8).5朱贤良，付朝华一类函数单调性问题的转化策略J中学数学教学参考,2012(11)：41-42.