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1、专题讲座函数与导数1. 已知函数 32()fxab(1)若函数 图象上任意不同两点连线的斜率都小于 1，则 ；y 3a(2)若 0，1，函数 图象上任一点切线的斜率为 ，求 时 的取值范围。()yfxk解答（1）设 A（ ，B（ 是函数图象上任意不同两点，则 ，显然 ，不妨设1,)x2, 12yx12x，则 ，即 ，构造函数 ，则 在 R 上是减函12x1212y12yx()gf()g数，则 在 R 上恒成立，故 ，解之得()30gxa210a3a（2）当 0，1时， ，即对任意的 0，1， ，即2()3kfxaxx1k在 0，1成立，由于 ，则必需满足 或231xax(0)1f2()301(
2、)3faf或 ，解得(1)321faa()3210faa此题融三次函数、导数、二次函数等问题于一体，在方法上主要是利用函数的单调性、区间最值等问题。2 （本小题满分 12 分）设函数 f(x)| xm|mx，其中 m 为常数且 m0，f (x)在 m，+)上单调递增，要使函数 f(x)存在最小值，则 f(x)在( ，m) 上是减函数或常数，(1+ m)0 即 m1，又 m0，1m 0。故 f(x)存在最小值的充要条件是 1 m0，且 f(x)min= f(m)=m 2. 注： 含参数的不等式要注意分类讨论3已知函数 ()sinfx（1）若 ，求函数 的值域；0,x()yf（2）若 ， ，试确定
3、 与 的大小，并加以证明；,2()3fx2()3xf（3）若 ， ， ，试确定 与 的大小，,xk(,kkZ(f2)3xf解：（1）当 时， ，而 在 连续，则 在(0)1cos0fx()yfx0,(yf上是增函数， ，即函数 的值域为,x()f（2）令 ，则 ，2()233fg212(sinsini33gxx ，由 且 ， 得 ，即当1()sco)xxx)0,(0,)时， ， 时， ，而 在 上是连续的，则 为 的0,()0(,(x()x, ()gx最小值， ，从而当 时， ，因此 ，当且仅当 时,x)g23f2(3xf等号成立；（3）当 为偶数时， ；当 为奇数时， ，证明k2()3fx2
4、()3xfk2()3fx2()3xf过程与（2）相同，从略。4 已知函数 f (x ) = x2 + lnx.1（I）求函数 f (x )在1 ，e 上的最大、最小值；（II）求证：在区间1，+ 上，函数 f (x )的图象在函数 g (x ) = x3 的图象的下方；) 2（III ）求证： (x )n (xn)2 n2（nN*）.ff解：（I）易知 f (x )在1，e 上是增函数. f (x ) max = f (e ) = e2 + 1； f (x )min = f (1 ) = .1（II）设 F (x ) = x2 + lnx x3，则 (x ) = x + 2x 2 = .F x
5、)21)( x1， (x )0，故 F (x )在(1，+ )上是减函数，又 F (1) = 0， 在(1，+) 上，有 F (x )0，6即 x2 + lnx x3，故函数 f (x )的图象在函数 g (x ) = x3 的图象的下方.2（III）当 n = 1 时，不等式显然成立；当 n2 时，有： (x )n (xn) = (x + )n(x n + )ff1= xn1 + xn2 + + x = xn2 + xn4 + + xCC1nC1n2= (xn2 + ) + (xn4 + ) + + ( + xn2 ) (2 + 2 + + 2 ) = 2n2.1n1注：第二问可数学归纳法证
6、5.已知函数 xfln)(（）求函数 的最大值；xfg)1(（）当 时，求证:ba0 2)()(bafb（）解： xfxf)(,ln)(,令 得11l)(xg 1)(g,0)(xg当 时， 当 时 ，又01x0)(xg()0gx()0g当且仅当 时， 取得最大值 0 （）证明： )1ln(llnl)( bababafb 由（1）知 fx)(ln又 20,22()abab2)()(bafb6已知函数 在定义域 上可导，设点 是函数 的图象上距离原点 最近的点. ()fxRP()yfxO(1) 若点 的坐标为 , 求证： ;P(,)af ()0af(2) 若函数 的图象不通过坐标原点 , 证明直线
7、 与函数 的图象上点 处切线垂()yfxOP()yfxP直. 证：(1)设 Q(x , f (x) )为 y = f (x)上的动点，则|OQ| 2 = x2 + f 2 ( x )，设 F(x) = x2 + f 2 ( x ), 则 F(x)=2x +2f (x)f ( x ) 已知 P 为 y = f(x) 图形上距离原点 O 最近的一点，|OP| 2 为 F(x)的最小值，即 F(x) 在 x = a 处有最小值, 亦即 F(x) 在 x = a 处有极小值 F(a)=0， 即 2a+2f (a)f (a)=0(2) 线段 OP 的斜率为 ，y=f(x) 之图形上过 P 点的切线 l
8、的斜率为 f (a)a)(f由(1)知 f (a)f (a) = a，图象不过原点，a 0， f (a) = 1)(OPl，即直线 OP 与 y=f(x)的图形上过 P 点的切线垂直.7. 如图所示，曲线段 OMB 是函数 轴于 A，曲线段 OMB 上一点x，Bxf 的 图 象)60()2处的切线 PQ 交 轴于 P，交线段 AB 于 Q， （1）试用 表示切线 PQ 的方程；（2）设QAP)(,tfMx t的面积为 是单调递减，试求出 的最小值；),(,nmtg在若 函 数 m（3） 横坐标的取值范围。SQAP试 求 出 点,6412 )0,6(APOMQB解:（1） 2(),(),06)k
9、ftytxt（2）令 0,;61yx得 令 322()(),4ttgtAPQt由 得 上单调递减，故4,0,6()ttgmn又 在 min(,)4,6()4n（3）当 单调递增，0()()g在 上得 ，32121()6,5, (04)4tg tt解 方 程 1t则 QAP 的面积 S 点的横坐标 则 P 点横坐标的取值范围为 .(6)6,又 ,2x1,3)28. 用总长 44.8m 的钢条制做一个底面是等腰三角形的直三棱柱容器的框架，如果所制做容器的底面的腰长比底边长的一半长 1m，那么底面的底边，腰及容器的高为多少时容器的容积最大？（参考数据2.662=7.0756，3.34 2=11.15
10、56）解:设容器底面等腰三角形的底边长为 2xm，则腰长为 高为 ,设,)1(mxmx38.403)1(8.4容器的容积为 Vm3，底面等腰三角形底边上的高2140.8(1). 3hxxVx40.8.0,5.13 x,及22()40.86()6.21Vx 令 3,0,)34.(,., xx解 得由得当 有最大值 . 03;50,xVV及这时容器的底面等腰三角形的底边长为 6m，腰长为 4m，容器的高为 5.6m. 注： 以下各题难度较大，技巧性强，供优生参考9设 的定义域为 , 的导函数为 ,且对任意正数 均有 ，()fx(0)(fx()fxx()fxf() 判断函数 在 上的单调性；Fx)(
11、) 设 ， ，比较 与 的大小，并证明你的结论；12(,)12(fxf12()fx（）设 ， ， ，若 ，比较 与1x2 nx(0,)2n12()()nfxffx的大小，并证明你的结论.()f解：() 由于 得， ，而 ，则 ，()fxf()0ffx()0xff则 ，因此 在 上是增函数.()Fx2()0ff()fFx,)()由于 ， ，则 ，而 在 上是增函数，1,12(fx0,)则 ，即 ， （1） ，112()xx112()ffx1212()(ffx同理 （2）122()ff（1）+（2）得： ，而 ，111212()()()xxfx120x因此 .122()fff（）证法 1: 由于
12、， ，则 ，而 在 上是1x(0,)12nxx ()fxF,)增函数，则 ，即 ，112()nFx 112()nff 12112()()n nxxffx 同理 2(x 12 12()()nnnxxffx 以上 个不等式相加得：12121212()()()()n nnnffxfxfx 而 0xx12()()nfff 12)nfxx证法 2：数学归纳法（1）当 时，由（）知，不等式成立；n（2）当 时，不等式 成立，k()12()()nfxffx 12)nfx即 成立，12()()kfxffx 12)kfx则当 时， +nk121(kf 12()kfxx 1()kf再由() 的结论, +()kfx
13、x 1)f21k+12)kfx 1k21()kx因此不等式 对任意 的自然数均成立.12()nffxf 1nf 10 （本题 14 分）.规定：两个连续函数（图象不间断） 、 在闭区间a，b上都有意义，我们)(xfg称函数 在a， b上的最大值叫做函数 与 在 a，b上的“绝对差”.|)(|xgf（1）试求函数 与 在闭区间3，3上的“绝对差” ；2f)4(2)(xxg（2）设函数 及函数 都定义在已知区间 a，b上，记 与)(xmbahm )(xf的“绝对差”为 若 的最小值是 ，则称 可用 “替代” ，试求 m0 的)(xhm.D)()(0D)(xf)(0hm值，使 可用 “替代”f)(0
14、xhm解：（1）记 则),(xgfF 823)()( xgxfF由 ，得 或 （2 分）)(x234（4 分）6)(,1)(,716)34(,2故所求“绝对差”为 12 . （6 分）.1xF（2）由于 )(2)()()(2 baxhxfmxbaxhf mm 从而令 ，得 （8 分）0x|)(|,)(|,)2()(a|)( bfaffD mmm|,4x|2abm由于 )86(2)|)(| 222 baba （12 分）)86(|,|,4)|)( 22bamabD当 时， 最小.220)(0D故当 时， 可用 “替代”. （14 分）)6(81220baxf(0hm11. 已知函数 的定义域为 I，导数 满足 且 ，常数 为方程fx()fx()2fx()fx()1c1的实数根，常数 为方程 的实数根。fx()0c220（I）若对任意 ，存在 ，使等式abI， xab0，成立。求证：方程 不存在异于 的实数根；fbf()()(0fx()c1
