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1、数学建模暑期培训资料,黄淮学院数学系应用统计教研室主讲人：高风昕,现实世界的变化受着众多因素的影响，包括确定的和随机的。如果从建模的背景、目的和手段看，主要因素是确定的，随机因素可以忽略，或者随机因素的影响可以简单地以平均值的作用出现，那么就能够建立确定性模型。如果随机因素对研究对象的影响必须考虑，就应建立随机模型。下面我们讨论如何用随即变量和概率分布描述随机因素的影响，建立随机模型-概率模型。,引 言,如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限制，无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的模型，那么通常要搜集大量的数据，基于对数据的统计分析建立模型，这就是我们还要讨论的用途非
2、常广泛的一类随机模型统计回归模型。,要建立上述两类模型就必须学习概率论与数理统计的知识。,主要内容：,一、概率分布法： 1）概率论基础知识 2）几个概率模型 3） 概率论基础知识在matlab中的实现,二、数理统计法：1）数理统计基础知识 2） 数理统计基础知识在matlab中的实现,三、真题训练：1）足球门的危险区域问题 2）最优评卷问题,一、概率分布方法,在社会、生产、科研和生活实践中，许多问题的不确定现象都是由随机因素的影响所造成的，可将这种不确定现象可以视为一些随机事件,而随机事件一般是按照一定的概率出现的，与此有关的随机因素的变化往往服从于一定的概率分布。,在实际中，就是利用这些概率
3、分布规律进问题进行研究，从而可以对说研究的实际问题做出估计、判断、预测和决策。,因此，概率分布方法在解决实际问题的过程中有着非常广泛的应用。,授课内容,概率论基础知识,概率模型,概率论的起源概率论的主要研究对象概率论的一些基本概念随机变量及其概率分布随机变量的数字特征,报童的诀窍随机存储策略随机人口模型,概论率基础知识在MATLAB中的实现,授课内容,概率论基础知识,概率模型,概率论的起源概率论的主要研究对象概率论的一些基本概念随机变量及其概率分布随机变量的数字特征,报童的诀窍随机存储策略随机人口模型,概论率基础知识在MATLAB中的实现,16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博的一些问题；,1
4、7世纪中叶，法国数学家B. 帕斯卡、荷兰数学家C. 惠更斯基于排列组合的方法，研究了较复杂的赌博问题， 解决了“ 合理分配赌注问题” ( 即得分问题 ).,1.1 概率论的起源,赌金分配问题：,法国有个大数学家巴斯卡尔，巴斯卡尔认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出了一个问题：他们说，他们俩下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金。赌了半天，A赢了4局，B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分?,答案：赢了4局的拿这个钱的3/4，赢了3局的拿这个钱的1/4。,解析：假定他们俩再赌一局，或者A赢，或者B赢。若是A赢满了5局，钱应该全归他；A如果输了，即A、B各赢4局，
5、这个钱应该对半分。现在，A赢、输的可能性都是l/2，所以，他拿的钱应该是1/21+1/2 * 1/2=3/4，当然，B就应该得l/4。,概率论的飞速发展则在17世纪微积分学说建立以后.,第二次世界大战军事上的需要以及大工业与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息论、控制论与数理统计学等学科.,使概率论成为数学的一个分支的真正奠基人瑞 士数学家J.伯努利,对客观世界中随机现象的分析产生了概率论；,授课内容,概率论基础知识,概率模型,概率论的起源概率论的主要研究对象概率论的一些基本概念随机变量及其概率分布随机变量的数字特征,报童的诀窍随机存储策略随机人口模型,概论率基础知识在MATLAB中的实现,
6、“太阳东升西落”,1.确定性现象：在一定条件下必然发生的现象,“同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处”,实例：,自然界所观察到的现象:,确定性现象,随机现象,“函数在间断点处不存在导数” 等.,确定性现象的特征,条件完全决定结果,1.2 概率论的主要研究对象,实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面 出现的情况.,2. 随机现象：在一定条件下可能出现也可能不出现的现象,实例2 用同一门炮向同一目标发射同一种炮弹多发,观察弹落点的情况.,结果: 可能出现正面也可能出现方面.,结果: 弹落点会各不相同.,结果有可能为:,1, 2, 3, 4, 5 或 6.,实例3 抛掷一枚骰子,观察出
7、现的点数.,实例4 出生的婴儿可能是男,也可能是女.,随机现象的特征,条件不能完全决定结果,2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性, 但 人们通过大量重复试验或观察中发现这种结果的出现具有一定的规律性 , 我们把这种规律性成为统计规律性,说明：,1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 , 其数量关系无法用函数加以描述.,实例1：大量重复抛掷硬币这一试验，正面朝上的次数约占一半,实例2：多次重复掷一枚骰子，出现“1”的次数约占1/6,概率论就是研究随机现象统计规律性的一门数学学科.,授课内容,概率论基础知识,概率模型,概率论的起源概率论的主要研究对象概率论的一些基本概念随机变
8、量及其概率分布随机变量的数字特征,报童的诀窍随机存储策略随机人口模型,概论率基础知识在MATLAB中的实现,1.3 概率论的基本概念,随机试验与随机事件,概率的定义,条件概率,事件的独立性,古典概率,1.3 概率论的基本概念,随机试验与随机事件,概率的定义,条件概率,事件的独立性,古典概率,1.3.1 随机试验与随机事件,试验：实际中，把对自然现象进行一次观察或一次科学 试验统称为试验,E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面; E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； E3: 将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数; E4: 掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；,问
9、题：如何研究随机现象,答：随机现象是通过大量的试验和观察来研究的.,(1) 可重复性在相同条件下可重复进行,（2）一次试验结果的随机性在一次试验中可能出现各种不同的结果，预先无法确定,随机试验：具有上述三个特点的试验成为随机试验，简称试验,（3）全部试验结果的可知性所有可能的试验结果预先是可知的,上述试验的共同特点：,注：,随机试验通常用 E 来表示.,样本空间：随机试验E的所有可能出现的结果构成的集合称 为E的样本空间。,样本点：样本空间的元素，即E的每个结果称为样本点,注：样本空间是由样本点构成的。,样本空间包含所有的样本点，它是本身的子集，在每次试验 中它总是发生的，称为必然事件，记为,
10、空集不包含任何样本点，它也是样本空间的子集，在每次 试验中都不发生，称为不可能事件，记为,随机事件：我们称试验E的样本空间的子集为E的随机事件，在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。,由一个样本点组成的单点集称为基本事件,随机事件的关系：,包含事件： A发生必导致B发生，记为,相等事件：A=B当且仅当,随机事件的关系：,和事件：事件A与B至少有一个发生，记为AB,推广：,积事件：事件A与B同时发生，记为AB,推广：,(6) 差事件：事件A发生而事件B不发生，记为A-B,(7) 互不相容事件：A、B不能同时发生，即AB=,(8) 互为对立事件：若AB=，且AB=，表
11、示A与B有且仅有一个发生，记为,1.3.2 概率的定义,实际中，我们在观察一个随机试验的各种事件时，一般来说，总会发现有些事件出现的可能性大，有些事件出现的可能性小，而有些事件出现的可能性彼此大致相同。为此我们希望找到一个合适的数来表征事件在一次试验中发生的可能性大小。,概率的公理化定义：,我们把刻画事件发生可能性大小的数量指标称为事件的概率，记为P(A),概率P(A)满足下列性质：,（2）P()1； P( )=0,（1） 非负性: 对每一个事件, 有 P(A)0;,(4) 可列可加性: 设A1,A2,是两两互不相容的事件,则,（1）概率的有限可加性:若AB= ,则P(A B)=P(A)+P(
12、B),（2） P(A-B)=P(A)-P(AB);,(3) P(A B)=P(A)+P(B)-P(AB),推广:,P(A B C)= P(A)+P(B)+P(C) -P(AB)-P(BC)-P(AC) +P(ABC),概率的其他性质：,1.3.2 古典概率（等可能概率）,1 试验的样本空间只包含有限个元素,E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面; E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；,它们具有两个共同的特点：,2 试验中每个基本事件发生的可能性相同,具有上述两个特点的试验称为古典概型（等可能概型），它曾是概率论发展初期主要的研究对像。,古典概率的计算公式：,
13、设事件A包含k个基本事件，样本空间为S共包含n个基本事件,例如：将一枚硬币抛掷三次，求A=“恰有一次出现正面”的概率,1.3.3 条件概率,定义：在实际问题中，除了要考虑事件A的概率，还要考虑在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为在事件B发生的条件下事件A的条件概率，记作P(B|A).,若P(B)0,则有,同理若P(A)0,则有,当下面的条件概率都有意义时：,乘法公式,由条件概率可得下面的结论：,（1）若事件 互不相容,且P(Ai )0(i=1,2,n),则对任意事件 ，有,（2）若事件 互不相容,且P(Ai )0(i=1,2,n),全概率公式,贝叶斯公式,授课内容,概率论基础知识,概
14、率模型,概率论的起源概率论的主要研究对象概率论的一些基本概念随机变量及其概率分布随机变量的数字特征,报童的诀窍随机存储策略随机人口模型,概论率基础知识在MATLAB中的实现,1.4 随机变量及其概率分布,随机变量的概念,一维随机变量及其概率分布,二维随机变量及其概率分布,随机变量的概念的引入：,为了深入全面地研究随机现象，充分认识随机现象的统计规律性，使定量的数学处理成为可能，就必须将随机试验的结果数量化。,把随机试验的结果与实数对应起来，建立类似函数的映射，我们称之为随机变量。,随机变量的引入，使我们能够利用高等数学的方法来研究随机试验，用随机变量描述随机现象是概率论中最重要的方法。,例如：
15、,1、掷一颗骰子，观察出现的点数：1、2、3、4、5、6,引入一个变量X表示出现的点数：,出现的点数为1 时X=1出现的点数为2时X=2出现的点数为6时X=6,上述的X为一个随机变量，随机试验的结果可用该随机变量的取值来表示,2 某足球队参加比赛，纪律比赛的结果：胜、负、平,引入一个变量Y表示足球比赛的积分数：,当结果为胜时Y=3当结果为平时Y=2当结果为负时Y=1,上述的Y也为一个随机变量，同样随机试验的结果可用该随机变量的取值来表示,在上述两个试验中，均引入了一个变量，在随机试验的结果与实数之间建立了一种对应关系（函数), 将其称之为随机变量。,注：1 随机变量通常用大写字母来X,Y,Z表示,2 引入随机变量后，可用随机变量来描述事件,3 对于同一个随机试验，可引入多个随机变量,随机变量的分类：,离散型随机变量：随机变量的取值为有限多个或无限可列多个值,根据随机变量的取值划分：,连续型随机变量：随机变量的取值为一个区间或者多个区间,根据随机变量中含的分量的个数划分：,
