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1、中小学数学 2014年1-2月上旬(小学) 众所周知，在解答有关包含与排除问题时，我们 常常会用韦恩图来帮着分析思考。但如果单凭韦恩 图这把利器，有时难免也会身陷黔驴技穷的窘境。最 近，在辅导四年级奥数时我就遇到了这样一道三量重 叠问题。 原题是这样的：某班有40名同学参加课外兴趣小 组，参加数学小组的有29人，参加语文小组的有21 人，参加美术小组的有25人，有17人既参加了数学小 组又参加了美术小组，有15人既参加了数学小组又参 加了语文小组，有10人既参加了语文小组又参加了美 术小组。求三个小组都参加的有多少人? 初读题目，简直一头雾水，赶紧画出韦恩图。但 毕竟是三量重叠，要想理清思路，
2、仍颇为困难。于是 查阅了有关容斥原理之三量重叠的资料，得到的公式 是：AUBUC=A+B+C n曰一 nCcnA+ANBAC， 至于为什么要这样做?别说我一个师范生不大明白， 就是有的高中生、大学生也未必了解得那么透彻，更 何况这道题是需要讲给一个四年级的小学生。这该 如何是好?百思不得其解时，突然灵光闪现，何不尝 试用图形处理软件PHOTO- SHOP中的图层关系解题呢? 哈哈!这不就是另一把利剑 吗?看来“双剑合璧”近在 咫尺，于是迅速在原有韦恩 图的基础上标注上了层数 (如图1)。 层数一标注完，韦恩图便立刻有了层次感，瞬间 由一个平面关系图变成了立体图示，顿觉茅塞顿开： 先求出所有参加
3、数学、语文、美术小组的总人数(包括 重复计算的)是29+2l+25=75人，然后用这个总人 数减去参加这三个小组的实际总人数，即754O=35 人，就相当于每个区域都减少了一层，各个区域的层 第44页 数就发生了相应的变化(如图2)。如果把所有参加两 个小组的人数合起来(重复计算)，那就是15+l7+ 10=42人，层数如图3所示。对比图2和图3，不难发 现，图3中的42人比图2所示的35人多出了7人，也就 是最中间这个区域多出了一层，而刚好这个区域就表 示数学、语文、美术这三个小组都参加的人数。所以， 二个小组都参加的有7人。 编者语：许勇老师给四年级小学生讲解的这道题 有些难，用到了“包含
4、排除”的方法。用算术方法计算 集合元素的个数的确不容易。许老师想到了计算3个 集合之和的公式：AUBUC。这个公式说的是“集合的 加法”的事，一般称之为“并运算”。丈中的公式是：AU 曰UC=A+曰+CAn 一BnCCnA+ n曰nC 这里 A+曰+c实际应该写作jA+fBI+I cl，指A、日、c三 集合各自元素个数之和。所得的和因集合间共有元 素被重复计数计重了，需减去计重一次的数，也就是 题中的“既参加又参加”的三种情况：IANBf、lBN cl、CAA，题中对应的数分别是21、25、l7。两两重 叠的情况都减掉了，却拙现减多了的情况，即把三个 组都参加了的人数也减掉了，于是补回来lANBACf， 即3个集合的公共元素数，也即三个集合的交集元素 个数 笔者想说的不是这道题的解法，而是许老师无 意中提到了“集合的加法”，而这与“自然数的加法”在 计算方法上是不同的。两种运算对象实施的加法是 不同的，通过这个公式实际上打通了算术的加法与集 合的加法之间的关系。
