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1、第 7讲 矢量场的通量及散度（ 1） 张元中 中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院 矢量分析与场论 主要内容 1. 曲线和曲面的概念 2. 曲线积分 3. 曲面积分 4. 通量和源 5. 散度的定义 教材：第 2章 ， 第 3节 矢量分析与场论 1.曲线和曲面的概念 简单曲线：是指这样的连续曲线 ， 设其参数方程为 ， )(),(),( tztytx 曲线上的每一点都只对应唯一的参数值 ，在闭合曲线的情形下 ， 其闭合点是例外 。 t简单曲线是一条没有重点的连续曲线 。 简单曲面：是指这样的连续曲面 ， 设其参数方程为 ， ),(),(),( vuzvuyvux 曲面上的每一点都只对应唯
2、一对参数值 ，在闭合曲面的情形下 ， 其闭合点是例外 。 ),( vu简单曲面是一条没有重点的连续曲面 。 1.曲线和曲面的概念 有向曲面 ：对于双侧的曲面 ， 常常取其中的一侧为曲面的正侧 ， 另一侧为曲面的负侧； 对于 闭合曲面 ， 习惯上取 外侧 为 正侧 。 规定了侧的曲面 ， 叫做 有向曲面 ；其方向用法向矢量来表示 。 对于有向曲面 ， 规定其法矢 恒指向研究问题时所取的一侧 。 n有向曲线：曲线的方向为参数 增大的方向 。 t1.曲线和曲面的概念 曲面分上侧和下侧 曲面分 内 侧和 外 侧 法线指向有向曲面外侧 nzo yx)(tAMl有向曲线 1.曲线和曲面的概念 设 D为平面
3、区域，如果 D内任一闭曲线所围成的部分都属于 D，则称 D为平面单连通区域；否则称为复连通区域。 复连通区域 单连通区域 D D 1.曲线和曲面的概念 设空间区域 G，如果 G内任一闭曲面所围成的区域全属于 G，则称 G是空间二维单连通域。 如果 G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面，则称 G为空间一维单连通区域。 G G G 一维单连通 二维单连通 一维单连通 二维不连通 一维不连通 二维单连通 1.曲线和曲面的概念 2.曲线积分 物体在物理场中运动 ， 必然会与物理场发生相互作用；曲线积分和曲面积分就是反映这种作用的积累和总量 。 曲线积分可以分为两类：弧长曲线积分和坐标曲线积分 。
4、 质点在数量场中的运动 ， 就构成对弧长的曲线积分 。 nl),( iiiu L1lil定义 ：对曲线 上的数量场 作和式极限： ),( zyxuL是把曲线 分成为 个弧长小段 ， 第 段有 ， ni llll , 21Ln i222212121 )()()( iiiiiiiiii zyxzzyyxxl niiiil ui 10),(l i m （ 1） 且 是在 内的一点 。 ),(iii il2.曲线积分 式中 为积分的曲线路径； 通常称为 第 型曲线积分 。 LL dlzyxu ),(如果 （ 1） 式的极限存在 ， 则该极限称之为数量场 在曲线 上对弧长的曲线积分 ， 记作 ),( z
5、yxu L当 为闭合曲线时 ， 记作 LLdlzyxu ),(2.曲线积分 二维弧长积分： )(xfy L dlyxu ),(21 xxx 弧长为： 弧长计算公式为： dxdxdydydxdl 222 )(1)()( 假设曲线 上的 和 之间有函数关系： L y x 212)(1)(,(),( xxLdxdxdyxfxudlyxu2.曲线积分 三维弧长积分： L dlzyxu ),( ，弧长计算公式为： dtdtdzdtdydtdxdzdydxdl 222222 )()()()()()( 三维弧长积分可以看成是二维弧长积分的推广 ，引进参数 ， 写出： t21 ttt )(),(),( tzz
6、tyytxx 21222 )()()()(),(),(),( ttLdtdtdzdtdydtdxtztytxudlzyxu2.曲线积分 坐标曲线积分 的主要对象是 矢量场 。 niiiiil lAi 10),(lim定义：矢量场 和曲线 ， 若点积和 ),( zyxA L的极限存在 ， 称之为 有向曲线积分 ， 并记作 nl),( iiiA L1lil L ldzyxAW ),(2.曲线积分 进一步写出坐标分量的形式： kAjAiAzyxAA zyx ),(kdzjdyidxld L zyx dzAdyAdxAW )(称为对坐标 的曲线积分；也称为 第 II型曲线积分 ； 并不独立 ， 受路径
7、曲线 约束 。 zyx ,zyx , L2.曲线积分 3.曲面积分 曲面积分也分为 2类： 面积曲面积分 ， 坐标曲面积分 。 ),( zyxu 质点在数量场 中做曲线运动 ， 就构成对面积的曲面积分 。 oxyzD),( kkk yxk )( SiS 定义：将曲面 剖分以后其中典型的第 块为 ，取和： SiiSiniiiiS SuMi 10),(lim （ 2） SdSzyxu ),(),( iii ),( zyxu是曲面上 的一点 ，若式 （ 2） 的极限存在 ， 则称为数量场 在曲面上的面积曲面积分 ， 也称为 第 I型曲面积分 。 记作 iSSdSzyxu ),(或 S在这种情况下数量
8、场 中的 并不独立，受到曲面 的约束。 ),( zyxu zyx ,oxyzD),( kkk yxk )( SiS3.曲面积分 0),( zyxf),( yxfz 一般的曲面方程为： 求该积分需要把 的面积曲面积分转化成 平面上 的一般积分 。 Sxoy d0),( zyxF或 法线方程为： kzFjyFixFn曲面方程可以改写为： ox yzD),( kkk yxk )( SiS3.曲面积分 可以得到法向矢量为： dS d 与 之间的夹角余弦为： kjyzixzn )()(22 )()(11c o syzxznkn dSyzxzd22 )()(11 DSdyzxzyxfyxudSzyxu 2
9、2 )()(1),(,),(dSdknSD3.曲面积分 坐标曲面积分 的对象是矢量场 。 典型的例子是电位移矢量 穿过曲面 的电通量 。 D S电通量 是一个标量 ， 但是它 与 和之间的相对关系密切 。 D SSnSD规定 表示 的外法线 ，即曲面的方向 ， 当 时通量穿过 最多； 无通量穿过 ， 即 。 SnnD /S nD S 03.曲面积分 定义：空间矢量场 在有向曲面上构成和式： ),( zyxAA SSdSnzyxASdzyxA ),(),(niiiiiS SAi 10),(lim S其中 处于 中的任一点 ， 若上式的极限存在 ， 则称之为矢量场函数 对 的有向曲面积分 。 记作
10、： S),( iii ),( zyxAA SdSnzyxA ),(3.曲面积分 进一步用矢量表示为： Szyx dSAAA )c o sc o sc o s( kAjAiAA zyx d yd zdS co skjin c o sc o sc o s 分别表示外法向单位矢量在 轴的投影 ， 则有： co s,co s,co s zyx ,dxdyzndS根据右图 ， 有以下关系： d xd zdS co sd xd ydS co skd x d yjd x d zid y d zSd 有向曲面微分 ： 3.曲面积分 最后得到： Szyx d x d yAd x d zAd y d zA )()
11、,( zyxA为矢量函数 对坐标的曲面积分 ， 也 称为第 II型曲面积分 。 zyx ,zyx AAA ,S在上式中 ， 被积函数 中的 并不独立 ，受曲面 的约束 。 0),( zyxf把一般的曲面方程改写为： 3.曲面积分 则有： z n 与 轴正向成锐角时 ， 上式右端取 。 ),()(,(,yxDx xzyxfyxA Szyx d x d yAd x d zAd y d zA )(d x d yyxfyxAyzyxfyxA zy ),(,) (,(,z n 与 轴正向成钝角时 ， 上式右端取 。 上式将曲面积分简化为一般的二重积分 。 3.曲面积分 4.通量和源 miim AAAAA
12、121假若： 定义：设有矢量场 ， 沿其中有向曲面 某一侧的曲面积分： S)(MA SSn SdAdSAS为矢量场 向积分所沿一侧穿过曲面 的 通量 。 )(MA则有： niini SiSmiiSSdASdASdA111)( 上式表明 ， 通量是可以叠加的 。 在直角坐标系中： dSnSd 则通量在直角坐标系中表示为： kzyxRjzyxQizyxPA ),(),(),( 又： SSR d x d yQ d x d zP d y d zSdA )(kzndSjyndSixndS ),c o s (),c o s (),c o s ( kd x d yjd x d zid y d z 4.通量和源 例 1：设由矢径 构成的矢量场中 ， 有一个圆锥面 及平面 所围成的封闭曲面 ， 试求矢量场 从 内穿过 的通量 。 222 zyx )0( HHzSkzjyixr S S rxyzo1SH2S nr 21 SSS
