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1、1,第二节 平面与立体相交,平面与立体相交，可以认为是立体被平面截切。,研究平面与立体相交，其目的是求截交线的投影。,2,截交线的一般性质：,截交线既在截平面上，又在立体表面上，因此截交线是截平面与立体表面共有线。截交线上的点是截平面与立体表面共有点。,由于立体表面是封闭的，因此截交线必定是封闭的线条，截断面是封闭的平面图形。,截交线的形状取决于立体表面的形状和截平面与立体的相对位置。,求截交线可归结为求截平面与立体表面共有点、线的问题。,3,1、 平面与平面立体相交,平面立体的截交线是一个封闭的平面多边形，它的顶点是平面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每条边是截平面与棱面的交线。,4
2、,截交线的作图,（1） 求截交线的两种方法：, 求各棱线与截平面的交点棱线法。, 求各棱面与截平面的交线棱面法。,关键是正确地画出截交线的投影。,（2）求截交线的步骤：, 截平面与体的相对位置, 截平面与投影面的相对位置,确定截交线的投影特性,确定截交线的形状, 空间及投影分析, 画出截交线的投影,分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。,5,例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平投影和侧面投影。,(1) 求Pv与sa、sb、sc的交点1、2、3为截平面与各棱线的交点、的正面投影。,1,2,3,(2) 根据线上取点的方法，求出1、2、3和1”、2”、3”。,1,1”,2”,
3、2,3,(3) 连接各点的同面投影即等截交线的三个投影。,(4) 补全棱线的投影。,3”,具体步骤如下：,6,1,2,3(4),1”,3”,4”,1,2,4,3,例2 求立体被截切后的投影,7,例3：求四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。,3,2,1,(4), 空间分析,交线的形状？, 投影分析, 求截交线, 分析棱线的投影, 检查 尤其注意检查截 交线投影的类似性,8,棱线法！,9,例4：求四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。,注意： 要逐个截平面分析和绘制截交线。当平面体只有局部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交线后再取局部。,10,11,例5:求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影,作
4、图方法:,1 求棱线与截平面 的共有点,2 连线,3 根据可见性处理轮廓线,3,4,5,6,7,12,13,例6 补全水平投影和侧面投影,14,例 7: 求八棱柱被平面P截切后的水平投影。,P,截交线的形状？,1,5,4,3,2,8,7,6,截交线的投影特性？,2367,18,45,求截交线,1,5,4,7,6,3,2,8,分析棱线的投影,检查截交线的投影,15,16,2、平面与回转体相交,17,截交线的性质：, 截交线是截平面与回转体表面的共有线。, 截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置。, 截交线都是封闭的平面图形。,18,求平面与回转体的截交线的一般步骤,（
5、1）空间及投影分析, 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便确定截交线的形状。, 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出 截交线的已知投影，予见未知投影。,（2）画出截交线的投影,当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：, 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。, 先找特殊点，补充中间点。,19,截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置,垂直,圆,椭圆,平行,两平行直线,倾斜,（1） 圆柱体的截切,20,例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个投影。,由于平面与圆柱的轴线斜交，因此截交线为一椭
6、圆。截交线的正面投影重影为一直线，水平投影与圆柱面的投影重影为圆。侧面投影可根据圆柱表面取点的方法求出。,具体步骤如下：,（1）先作出截交线上的特殊点。,（2）再作出适当数量的一般点。,（3）将这些点的投影依次光滑的连接起来。,1,1,5,5,3,7,3,(7),1”,5”,3”,7”,2,2,2”,4,6,8,4,4”,（4）补全侧面投影中的转向轮廓线。,8”,6”,21,比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。,（与H面的倾角）,22,例2：求侧面投影,虚实分界点,23,24,根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。,（2） 圆锥体的截切,25,例1、如图所示，圆锥被
7、正垂面截切，求出截交线的另外两个投影。,此种截交线为一椭圆。由于圆锥前后对称，故椭圆也前后对称。椭圆的长轴为截平面与圆锥前后对称面的交线正平线，椭圆的短轴是垂直与长轴的正垂线。,26,具体步骤如下：,（1）先作出截交线上的特殊点。,1,2,1,2,1”,2”,34,3,4,56,6,5,（2）再作一般点。,（3）依次光滑连接各点，即得截交线的水平投影和侧面投影。,（4）补全侧面转向轮廓线。,3”,4”,5”,6”,78,7,8,27,例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个投影。,3,4,2,1,5,3,2,(4),1,(5),4”,3”,2”,1”,（1）先求特殊点。,（2）再
8、求一般点。,（3）依次光滑连接各点。,5”,具体步骤如下：,28,例3:求圆锥被截切后的正面投影.,分析:截交线的正面投影为双曲线.,作图:1 求特殊点。,最高点,最低点,2 求一般点。,3 连线。,29,1,(2),(4),3,(6),5,(8),7,9,(10),2”,1”,4,3,3”,4”,6,5,5”,6”,(12),11,11”,12”,7,8,7”,8”,9,10,10”,9”,11,12,已知立体的正面投影，试完成H、W两面投影,30,31,平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但根据截平面与投影面的相对位置不同，其截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。,（3） 球体的截切
9、,平面与球相交,32,例1：求半球体截切后的水平投影和侧面投影。,水平面截圆球的截交线的投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视图上积聚为直线。,两个侧平面截圆球的截交线的投影，侧面投影为部分圆，水平投影积聚为直线。,33,34,例2:求圆球被截切后的水平投影和侧面投影,分析:球面被侧平面截切，侧面投影为圆；球面被水平面截切，水平面投影为圆。,轮廓线要不要?,轮廓线怎样处理?,35,例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。,具体步骤如下：,（1）先求特殊点。,（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。,（3）依次连接各点的水平投影。,36,首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。,例：求作顶尖的水平投影,
